高考~专题复习：平面向量.doc

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1、|高考复习专题：平面向量第 1 节 平面向量的概念及其线性运算向量专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： .0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与 共线的单位向量是 .ABAB（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作： .ab向量 与 共线，则有且仅有唯一一个实数 ，使 ；)0(abab规定：零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一

2、定相等；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；|（6）2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设 ， ，则 ；),(1yxa),(2yxb),(212yxba（2）设 ， ，则 ；, ,（3）设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 = ；A1,xy2AB),(12yx（4）设 ， ，向量平行 ；),(1yxa),(2bba/121yx（5）设两个非零向量 ， ，则 ，,1yxa),(2yx所以 ；002ba（6）若 ，则 ；),(yxyxa（7）定比分点：设点 是直线 上异于 的任意一点，若存在一个实数P21,p21,p，使|，则 叫做点 分有向线段 所成的比， 点叫做有向线段 的2

3、1PP21P21P以定比为 的定比分点；当 分有向线段 所成的比为 ，则点 分有向线段所成的比为 .211注意：设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则1(,)Pxy2(,)xy(,)Px21P， 21xy在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别(,)xy1,)2(,)xy为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 .当 时，就得到线段 的中12P点公式 .12xy 的符号与分点 的位置之间的关系：P当 点在线段 上时 ；P210当 点在线段 的延长线上时 ；1当 点在线段 的反向延长线上时 ；21 03.平面

4、向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量 、 ，作 ， ，abaOAbBAO称为向量 、 的夹角。0ab（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 、 ，它们的夹角为 ，我们把ab|数量 叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即cosbaab ba.零向量与任一向量的数量积是 0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3） 在 上的投影为 ，投影是一个实数，不一定大于 0.bacosb（4） 的几何意义：数量积 等于 与 在 上的投影的乘积。aba（5）向量数量积的应用：设两个非零向量 、 ，其夹角为 ，则，bacos当 时， 为直角；0当 时， 为锐角或 同向；ba

5、ba,当 时， 为钝角或 反向；0 ,（6）向量三角不等式：baba当 同向 ， ；ba,当 反向 ， ；,baba当 不共线 ；ba, |4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对1e2于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 成立，a1221ea我们把不共线的向量 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底 。1e2（2）O 为平面任意一点， A、B、C 为平面另外三点，则 A、B、C 三点共线且 .BA21 215.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有 x，y ，z. 空间向量的性

6、质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若 、 、 三个向量共面，则 .同时，对于空间任意MP MA MB MByAxP一点 O，存在 ，其中 OnmByAx_1_nm考点一：向量的概念例 1 给出下列四个命题：若| a| b|，则 a b 或 a b； 若 ，则四边形 ABCD 为平行四边形；若 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab； ， 为实数，若 a b，则 a 与|b 共线其中假命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4答案 D.下列说法中错误的是( )A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B若向量 a 和 b 不共线，则 a 和 b

7、 都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等 答案 C例 2 (1)(2014金华模拟)已知两个非零向量 a， b 满足| a b| a b|，则下面结论正确的是( ) A ab B ab C| a| b| D a b a b(2)(2013四川高考)如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 _.(3)(2013江苏高考)设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点，|AD AB， BE BC.若 (1， 2为实数)，则 1 2的12 23值为_答案 (1)B (2)2 (3)121在平行四边形 ABCD 中，

8、 AC 与 BD 相交于点 O， E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若 ( )A. a b B. a b C. a b D. a b14 12 23 13 12 14 13 23易误警示( 四)平面向量线性运算中的易误点典例 (2013广东高考)设 a 是已知的平面向量且 a0.关于向量 a 的分解，有如下四个命题：给定向量 b，总存在向量 c，使 a b c；给定向量 b 和 c，总存在实数 和 ，使 a b c；给定单位向量 b 和正数 ，总存在单位向量 c 和实数 ，使 a b c；给定正数 和 ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a b c.上述命题中

9、的向量 b， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )|A1 B2 C 3 D4答案 B下列命题中正确的是( )A向量 a， b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使 b aB在 ABC 中，C不等式| a| a b| a b| a| b|中两个等号不可能同时成立D向量 a， b 不共线，则向量 a b 与向量 a b 必不共线第二节 平面向量基本定理及坐标表示1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 则 AOB 叫做向量 a 与 b的夹角(2)范围：向量夹角 的范围是 0， a 与 b 同向时，夹角 0； a 与 b 反向时，夹角 .|(3)向量垂直

10、：如果向量 a 与 b 的夹角是 ，则 a 与 b 垂直，记作 a b.22平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x， y，使得 a xi yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x， y 唯一确定，我

11、们把有序数对( x， y)叫做向量 a 的坐标，记作 a( x， y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标3平面向量的坐标运算(1)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 ab( x1x2， y1y2)；(2)若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 (x2 x1， y2 y1)；(3)若 a( x， y)，则 a( x， y)；(4)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a bx1y2 x2y1.例 1 在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若其中 ， R，则 _. 答案 43|

12、：在本例条件下，若 试用 c， d 表示互 动 探 究：如图，在 ABC 中， AB2， BC3， ABC60，AH BC 于点 H， M 为 AH 的中点若 则 _.答案：231(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是( )A e1(0,0)， e2(1,2) B e1(1,2)， e2(5，2)C e1(3,5)， e2(6,10) D e1(2，3) ， e2( 2,3)解析：选 B 例 3 (1)(2013陕西高考)已知向量 a(1 ， m)， b( m,2)，若 a b，则实数 m 等于( )A B. C 或 D02 2 2 2(2)(2014丽水模拟)设向量 a， b 满足| a|2 ， b(2,1)，且 a 与 b 的方向5相反，则 a 的坐标为_ (3)(2014台州模拟)若三点 A(2,2)， B(a,0)， C(0， b)(ab0)共线，则 的1a 1b值等于_