2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教案.doc

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1、1 第二节第二节 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性与简单的线性规划问题规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义， 能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，

2、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z2x3y 等 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(AxByC)0 时，区域为直线 AxByC0 的上方 (2)若 B(AxByC)0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的

3、一个区域( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是( ) A(0，0) B(1，1) C(1，3) D(2，3) C 1310，点(1，3)不在 xy10 表示的平面区域内，故选 C. 2不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是( ) A B C D C 把点(0，0)代入不等式组可知，点(0，0)不在 x3y60 表示的平面区域内，点(0，0)在 xy20 表示的平面区域内，故选 C. 3已知 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，则 z2xy1 的最大值

4、、最小值分别是( ) A3，3 B2，4 C4，2 D4，4 C 不等式组所表示的平面区域如图所示 其中 A(1，1)，B(2，1)，C12，12， 3 画直线 l0：y2x，平移 l0过 B 时，zmax4， 平移 l0过点 A 时，zmin2. 4投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米； 投资生产 B 产品时， 每生产 100 吨需要资金 300 万元， 需场地 100 平方米 现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用 x，y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨)

5、200 x300y1 400，200 x100y900，x0，y0 用表格列出各数据： A B 总数 产品吨数 x y 资金 200 x 300y 1 400 场地 200 x 100y 900 所以不难看出，x0，y0，200 x300y1 400，200 x100y900. 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域 直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线； 特殊点定域：常用的特殊点为(0，0)，(1，0)，(0，1) (2)平面区域的形状问题主要有两种题型： 确定平面区域的形状， 求解时先画满足条件的平面区域，

6、然后判断其形状； 根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论 1.不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( ) 4 A B C D C (x2y1)(xy3)0， 即x2y10，xy30，或x2y10，xy30，与选项 C符合故选 C. 2若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是( ) Aa43 B0a1 C1a43 D 00，且不等式组yx2，ykx1，y0所表示的平面区域如图所示 直线 ykx1 与 x 轴的交点为1k，0 ， 直线 ykx1 与直线

7、 yx2 的交点为3k1，2k1k1， 三角形的面积为1221k2k1k114， 解得 k1 或 k27，经检验，k27不符合题意，k1. 4若函数 y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m的最大值为( ) A.12 B1 C.32 D2 B 在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及xy30，x2y30，xm，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示 6 由图可知，当 m1 时，函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m 的最大值为 1. (1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如 T1，T4. (2)计算平面区域的面积时，根据平面

8、区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积 考点 2 求目标函数的最值 求线性目标函数的最值 截距型：形如 zaxby. 求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系 (2018 全国卷)若 x，y 满足约束条件x2y20，xy10，y0，则 z3x2y的最大值为_ 6 作出可行域为如图所示的ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x2y0，并平移该直线，当直线过点 A(2，0)时，目标函数 z3x2y

9、 取得最大值，且 zmax32206. 母题探究 本例条件不变，试求 z3x2y 的范围 解 z3x2y 变形为 y32x12z，由本例可行域知直线 y32x12z 过 A 点时截距取得最小值，而 z 恰好取得最大值，即 z6. 过 C 点时截距取得最大值而 z 恰好取得最小值，即 z6，z3x2y 的7 范围为6，6 充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键 (2019 北京高考)若 x，y 满足|x|1y，且 y1，则 3xy 的最大值为( ) A7 B1 C5 D7 C 由题意xy10，xy10，y1，作出可行域如图阴影部分所示. 设 z3xy，yz3x，当直线 l0：yz3x 经

10、过点 C(2，1)时，z 取最大值 5.故选 C. 求非线性目标函数的最值 非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有： (1)距离型： x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离 (2) 斜率型：yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率 (2019 广州模拟)若实数 x，y 满足xy10，x0，y2.则yx的取值范围为_ 2，) 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示 8 zyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线 OB的斜率到直线 OA

11、的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax不存在) 由xy10，y2，得 B(1，2)， 所以 kOB212，即 zmin2， 所以 z 的取值范围是2，) 母题探究 1本例条件不变，则目标函数 zx2y2的取值范围为_ 1，5 zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此 x2y2的最小值为 OA2，最大值为 OB2. 易知 A(0，1)，所以 OA21， OB212225，所以 z 的取值范围是1，5 2本例条件不变，则目标函数 zy1x1的取值范围为_ (， 0 zy1x1可以看作点 P(1， 1)与平面内任一点(x， y)连线的斜率 易知点 P(1，1)与 A(0

12、，1)连线的斜率最大，为 0.无最小值所以 z 的取值范围是(，0 求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意义及转化的等价性，如 x2y2是距离的平方，易忽视平方而求错，y1x1是点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易误认为点(x，y)与(1，1)连线的斜率 (2019 海南五校模拟)已知实数 x，y 满足不等式组xy2，xy2，y1，则(x3)2(y2)2的最小值为_ 13 画出不等式组xy2，xy2，y1表示的平面区域(图略)，易知(x3)2(y2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，9 当(x，y)为直线 xy2 与 y1 的交点(1，1)时

13、，(x3)2(y2)2取得最小值，最小值为 13. 求参数值或取值范围 由目标函数的最值求参数的 2 种基本方法 一是把参数当成常数用， 根据线性规划问题的求解方法求出最优解， 代入目标函数确定最值， 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子， 通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件， 确定最优解的位置，从而求出参数 (1)已知 z2xy，其中实数 x，y 满足yx，xy2，xa，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是( ) A211 B14 C4 D112 (2)(2019 湖南湘东六校联考)若变量 x，y 满足3xy10，3xy110，y2，且 z

14、axy的最小值为1，则实数 a 的值为_ (1)B (2)2 (1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示： 由 z2xy 得 y2xz， 由图可知当直线 y2xz 经过点 A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值 由xy2，yx，解得x1，y1，即 A(1，1)， zmax2113. 当直线 y2xz 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小 10 由xa，yx，解得xa，ya，则点 B(a，a) zmin2aa3a， z 的最大值是最小值的 4 倍， 343a，即 a14. (2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a3，则直线 zaxy 经过点 B(1，

15、2)时，z 取得最小值，由 a21，得 a1，与 a3 矛盾；若0a3，则直线 zaxy 经过点 A(2，5)时，z 取得最小值，由 2a51，解得 a2； 若 a0，则直线 zaxy 经过点 A(2，5)或 C(3，2)时，z 取得最小值，此时 2a51 或 3a21，解得 a2 或 a13，与 a0 矛盾，综上可知实数a 的值为 2. (1)“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素， 用运动变化的观点来探究参数， 此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力 (2)当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条

16、件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题 x， y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( ) A.12或1 B2 或12 C2 或 1 D2 或1 D 作出可行域(如图)， 为ABC 内部(含边界) 由题设 zyax 取得最大值的最优解不唯一可知： 线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由 kAB1，kAC2，11 kBC12可得 a1 或 a2 或 a12，验证：a1 或 a2 时，成立；a12时，不成立故选 D. 考点 3 线性规划的实际应用 解线性规划应用题的一般步骤 (1)审题仔细阅

17、读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么 (2)转化设元，写出约束条件和目标函数 (3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系 (4)作答就应用题提出的问题作出回答 某化肥厂生产甲、 乙两种混合肥料， 需要 A， B， C 三种主要原料 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元

18、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润 解 (1)由题意知，x，y 满足的数学关系式为4x5y200，8x5y360，3x10y300，x0，y0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分 12 图 1 (2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z2x3y. 考虑 z2x3y，将它变形为 y23xz3，它的图象是斜率为23，随 z 变化的一族平行直线，z3为直线在 y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大 根据

19、 x，y 满足的约束条件，由图 2 可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 M 时，截距z3最大，即 z 最大 图 2 解方程组4x5y200，3x10y300， 得点 M 的坐标为(20，24)， 所以 zmax220324112. 答：生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为112 万元 求解线性规划应用题的 3 个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号 (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别13 注意分析 x，y 是否为整数、是否为非负数等 (3)正确地写出目标函数，一般地，目标

20、函数是等式的形式 (2016 全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不 超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元 216 000 设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，则 1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xN*，y0，yN*. 目标函数 z2 100 x900y. 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0) 当直线 z2 100 x900y 经过点(60，100)时，z 取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)