2022届高三数学一轮复习（原卷版）13．2　不等式选讲.doc

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1、132 不等式选讲不等式选讲 1基本不等式及其推广 (1)a2b2_(a，bR)，当且仅当_时，等号成立 (2)ab2 _(a ， b0) ， 当 且 仅 当_时，等号成立 (3)abc3_(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立 (4)a1a2ann_(ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立 2绝对值不等式 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab _，当且仅当_时，等号成立 (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac _，当且仅当_时，等号成立 (3)| |xa _ 3证明不等式的方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其

2、基本思想是_与 0 比较大小或_与 1 比较大小； (2)综合法； (3)分析法； (4)反证法； (5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的， 我们把这种方法称为放缩法； (6)数学归纳法 自查自纠： 1(1)2ab ab (2) ab ab (3)3abc abc (4)na1a2an a1a2an 2(1)| |a | |b ab0 (2)|ab |bc (ab)(bc)0 (3)axa xa 3(1)作差 作商 (5)放大 缩小 (2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；

3、(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，f(x)2x4，x1，2，1x2，2x6，x2. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，) (2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图象； (2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值 解：(1)f(x)3x，x12，x2，12x1，3x，x1. yf(x)的图象如图所示 (2)由(1)知

4、，yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3， 故当且仅当 a3 且 b2 时， f(x)axb 在0，)成立，因此 ab 的最小值为 5. 类型一类型一 绝对值不等式绝对值不等式 (2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x)|2x1|，当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3. 因此 f(x)6 的解集为x|1x3 (2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa1

5、2x|a|1a|a， 所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3. 当 a1 时，等价于 1aa3，无解； 当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2. 所以 a 的取值范围是2，) 点 拨： 解决绝对值不等式的基本方法有：公式法、零点分段法、平方法、几何法、构造法等，本例(1)利用等价不等式|h(x)|a(a0)ah(x)a，进而通过解不等式可求得；根据条件可首先将题(2)转化为求解 f(x)g(x)的最小值，再根据恒成立的意义建立简单的关于 a 的不等式；另外，对于含参问题，要注意分离参数及适时分类讨论 (2017 全国卷)已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|

6、. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1，1，求a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化为 x23x40，无解； 当1x1 时，式化为 x2x20，得1x1； 当 x1 时，式化为 x2x40，得 1x1 172. 所以 f(x)g(x)的解集为x1x1 172. (2)当 x1，1时，g(x)2. 所以 f(x)g(x)的解集包含1，1等价于当x1，1时 f(x)2. 又 f(x)在1，1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f

7、(1)2 得1a1. 所以 a 的取值范围为1，1 设函数 f(x)|2xa|2x1|(a0)， g(x)x2. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解： (1)当 a1 时， 原不等式等价于|2x1|2x1|x2. 等 价 于x12，4xx2或12x12，2x2或x12，4xx2， 解得 x或 0 x12或12x23， 所以不等式的解集为x|0 x23. (2)方法一：|2xa|2x1|x2 等价于|2xa|2x1|x20，令 h(x)|2xa|2x1|x2， 因为a0，所以h(x)5xa3，x12，xa1，12x

8、1) (1)若不等式 f(x)2 的解集为x|x12或 x52，求 a 的值； (2)对任意 xR，f(x)|x1|1 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 ： (1)f(x) |x 1| |x a| 2xa1，xa，a1，1xa，2xa1，x1. 当 xa 时，由 2xa12 得 xa32； 当 x1 时，由2xa12 得 xa1212，解得 a2.经检验，a2 满足题意 (2)方法一：由对任意 xR，f(x)|x1|1 恒成立，可得 2|x1|xa|1 恒成立 令 g(x)2|x1|xa|，因为 a1，所以 g(x)3x2a，x1，x2a，1xa，3x2a，xa，易知 g(x)ming(1)

9、a1，只需 a11，即 a2. 综上，实数 a 的取值范围为2，) 方法二：f(x)|x1|1 恒成立，即|xa|12|x1|恒成立 令 g(x)12|x1|2x1，x1，2x3，x1， 作出 yg(x)的图象如图所示， 要使|xa|g(x)恒成立，则需函数 y|xa|的图象恒在 yg(x)图象的上方，由 a1 及数形结合可得 a2. 所以 a 的取值范围是2，) (2017全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m的取值范围 解：(1)f(x)3，x1，2x1，1x2，3，x2. 当 x1 时，f(x

10、)1 无解； 当1x2 时，由 f(x)1 得，2x11，解得 1x2； 当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为x|x1 (2)由 f(x)x2xm 得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454， 且当 x32时，|x1|x2|x2x54. 故 m 的取值范围为，54. 点 拨： 分离参数后，不等式化为了 mg(x)解集非空，再 利 用 存 在 成 立 问 题 的 等 价 转 化 ， 转 化 为mg(x)max. (2017东北三校联考)已知函数 f(x)|2x1|2x3|； (1)求不等式 f(x)6 的解集

11、； (2)若对任意 x12，1 ，不等式 f(x)|2xa|4 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 x12时，2x12x36x1， 所以1x12. 当12x32时，2x12x36 恒成立， 所以12x32. 当 x32时，4x26x2，所以32x2. 综上，不等式的解集为1，2 (2)当 x12，1 时，f(x)|2xa|4|2xa|8， 即82xa8， a18，a28， 7a6.故 a 的取值范围为7，6 已知函数 f(x)|2xa|x1|. (1)当 a3 时，求不等式 f(x)2 的解集； (2)若 f(x)5x 对xR 恒成立， 求实数 a 的取值范围 解：(1)a3 时，即

12、求解|2x3|x1|2， 当 x32时，原不等式化为 2x3x12，解得 x2； 当 1x32时， 原不等式化为 32xx12，解集为空集； 当 x1 时，原不等式化为 32x1x2，解得 x23. 综上，所求不等式的解集为x|x23或x2 . (2)f(x)5x 对xR 恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立， 令 g(x)5x|x1|62x，x1，4，x1，则由函数 g(x)的图象可得它的最大值为 4. 故函数 y|2xa|的图象应该恒在函数 g(x)的图象的上方，数形结合可得a23, 所以 a6，即 a的取值范围是6，) 点 拨： 本例及变式展示了数形结合法解决不等式恒成立或存在成立问题

13、的优越性，即省去了不必要的或更复杂的分类讨论，从而更直观、简捷 设函数 f(x)1|2x3|. (1)求不等式 f(x)3x1 的解集； (2)若不等式 f(x)mx0 的解集非空，求 m 的取值范围 解：(1)由 f(x)3x1， 得|2x3|3x0， 则x32，2x33x0或x32，32x3x0， 即x32，x35或x32，x3， 解得 x3，所以不等式的解集为x|x3 (2)由 f(x)1|2x3|42x，x32，2x2，x32，作出 yf(x)与 ymx 的图象如图所示 由单调性可知 f(x)的最大值点为 A32，1 . 因为过原点的直线 ymx 过点 A 时，m23；与AC 平行时，

14、m2， 所以当230，b0，求证： a2b12b2a12a12b12. 证法一：左边右边（ a）3（ b）3ab( a b) （ a b）（a abb） ab（ a b）ab （ a b）（a2 abb）ab（ a b）（ a b）2ab0， 所以原不等式成立 证法二：因为不等式左边0，右边0， 所以左边右边（ a b）（a abb）ab（ a b） a abbab2 ab abab1. 所以原不等式成立 点 拨： 用比较法证明不等式，一般有作差(或商)、变形、判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二 (2)(

15、综合法)已知 a，b，c 均为正数，证明： a2b2c21a1b1c26 3， 并确定 a，b，c 为何值时，等号成立 证法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式得 a2b2c23(abc)23， 1a1b1c3(abc)13， 所以1a1b1c29(abc)23. 故 a2b2c21a1b1c23(abc)239(abc)23. 又 3(abc)239(abc)232 276 3， 所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等号成立 当且仅当 3(abc)239(abc)23时，式等号成立， 即 abc314时，原式等号成立 证法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a

16、2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 所以 a2b2c2abbcac. 同理1a21b21c21ab1bc1ac. 故 a2b2c21a1b1c2 a2b2c21a21b21c22ab2bc2ac abbcac3ab3bc3ac6 3. 所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立即当且仅当 abc314时，原式等号成立 点 拨： 综合法是“由因导果”的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的

17、性质证明 (3)(分析法)设 x0，y0 且 xy，求证： (x3y3)13(x2y2)12. 证明：因为 x0，y0 且 xy， 所以要证(x3y3)13(x2y2)12， 只需证(x3y3)2(x2y2)3， 即 2x3y33x2y2(x2y2)， 只需证 2xy3(x2y2)， 因为 x2y22xy， 所以 2xy3(x2y2)成立， 从而得证 点 拨： 对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手， 通常采用分析法求证分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范 (4)(反证法)已知 x，y，zR，且 xyz1，x2y2z212，证明：x，y，z0，2

18、3. 证明：分两种情况讨论： 若 x， y， z 三数中有负数， 不妨设 x0， 12x2y2z2x2（yz）22x2（1x）2232x2x1212，矛盾 若 x，y，z 三数中有最大者大于23，不妨设 x23， 则12 x2 y2 z2 x2（yz）22 x2（1x）2232x2x1232xx231212，矛盾 故 x，y，z0，23. 点 拨： 对于一些直接证明比较困难的命题常常采用反证法证明利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾 (1)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明： ()若 abcd，则 a b c d； () a b c d是|ab

19、cd，得( a b)2( c d)2.因此 a b c d. ()(i)若|ab |cd ，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd，由()得 a b c d. ()若 a b c d，则( a b)2( cd)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab c d是|ab 0，b0，且 ab1a1b.求证： ()ab2； ()a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1. ()由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2，当且仅当 ab1 时取等号 ()假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，

20、则由a2a0 得 0a1；同理 0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b1 的解集 解：(1)f(x)x4，x1，3x2，132. yf(x)的图象如图所示 (2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3； 当 f(x)1 时，可得 x13或 x5， 故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为xx5 . 所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5 2(2018 广东潮州二模)设函数 f(x)|2x3|x1|. (1)解不等式 f(x)4； (2)若x(，32)，不等式 a1f(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1

21、)因为 f(x)|2x3|x1|， 所以 f(x)3x2，x32，x4，32x1，3x2，x1， f(x)4 等价于： x32，3x24或32x1，x44或x1，3x24， 等价于：x2 或 0 x1 或 x1. 所以不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，) (2)由(1)知，当 x32时，f(x)3x2， 因为当 x32时，f(x)3x252， 所以 a152，即 a32. 所以实数 a 的取值范围为(，32 3(2018河南郑州二模)已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|x|a. (1)当 a0 时，解不等式 f(x)g(x)； (2)若存在 xR， 使得 f(x)g(x)成立， 求

22、实数 a的取值范围 解：(1)当 a0 时，由 f(x)g(x)得|2x1|x|，两边平方整理得 3x24x10， 解得 x1 或 x13， 所以原不等式的解集为(，113，) (2)由 f(x)g(x)得 a|2x1|x|， 令 h(x)|2x1|x|， 则 h(x)x1，x12，3x1，12x0，x1，x0， 故 h(x)minh(12)12， 所以实数 a 的取值范围为12，) 4(2018山西太原一模)已知函数 f(x)|xa|12a(a0) (1)若不等式 f(x)f(xm)1 恒成立， 求实数 m的最大值； (2)当 a12时，函数 g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数 a 的

23、取值范围 解：(1)f(x)f(xm)|xa|xma|m|， 所以|m|1， 即1m1， 所以实数 m 的最大值为 1. (2)当 a12时，g(x)f(x)|2x1| |xa|2x1|12a 3xa12a1，xa，xa12a1，ax12，3xa12a1，x12， 所以 g(x)ming(12)12a12a2a2a12a0， 所以0a12，2a2a10或a0，2a2a10， 所以12a0， 所以实数a的取值范围是12，0) 5(2016广东惠州模拟)已知函数 f(x)|xa|x1a|(a0) (1)当 a2 时，求不等式 f(x)3 的解集； (2)证明：f(m)f(1m)4. 解：(1)当

24、a2 时，f(x)|x2|x12|，原不等式等价于x2，x2x123或2x12，x2x123或 x12，x2x123， 解得 x14. 故不等式的解集为x|x114或 x14 (2)证明：f(m)f(1m)|ma|m1a|1ma|1m1a|ma|1ma|m1a|1m1a|2|m1m|2(|m|1|m|)4， 当且仅当m 1，a1时等号成立 6(2017武汉二月调考) (1)求函数 y2|x1|x4|的值域； (2)若不等式 2|x1|xa|1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的范围 解 ： (1) 因 为y 2|x 1| |x 4| x2，x4，3x6，1x4，x2，x1，y6，3y6，y3.

25、 所以 y2|x1|x4|的值域为3，) (2)方法一：令 f(x)2|x1|xa|. 当 a1 时，f(x)x2a，xa，3x2a，1xa，（x2a），x1， f（x）2a2，1af（x）1a， 此时 f(x)的最小值为 1a，故只需 1a1，所以 1a2. 当 a1 时，f(x)x2a，x1，2a3x，ax1，x2a，xa， f（x）1a，a1f（x）22a ，f（x）22a. 而1a22a，此时 f(x)的最小值为 a1， 只需 a11，0a0 时，不等式等价于x22t，22tx2xt 或22tx2，x22t2xt或x2，x22tx2t， 解得x0 时，原不等式的解集为x|x2t2. 1

26、(2018莆田模拟)设 a，b 是非负实数求证：a2b2 ab(ab) 证明：因为(a2b2) ab(ab) (a2a ab)(b2b ab) a a( a b)b b( b a) ( a b)(a ab b) (a12b12)(a32b32) (a12b12)2(aba12b12)0. 所以 a2b2 ab(ab) 2(2018临汾模拟)设 a，b，c 都是正数，求证：bcaacbabcabc. 证明：由基本不等式得：12(bcaacb)bcaacbc， 12(acbabc)acbabca， 12(abcbca)abcbcab， 当且仅当bcaacbabc，即 abc 时等号成立 三式相加即

27、得原不等式成立 3设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc 3. 证明： 因为 a， b， c0， 所以要证 abc 3， 只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca) 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2，当且仅当 abc 时等号成立 所以原不等式成立 4(1)已知 a，b 都是正数，且 ab，求证：a3b3a2bab2； (2)已知 a， b， c 都是正数， 求证：a2b2b2c2c2a2abcabc. 证明：(1)(a

28、3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2. 因为 a，b 都是正数，所以 ab0. 又因为 ab，所以(ab)20. 于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0， 所以 a3b3a2bab2. (2)因为 b2c22bc，a20，所以 a2(b2c2)2a2bc. 同理，b2(a2c2)2ab2c. c2(a2b2)2abc2. 相加得 2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2， 从而 a2b2b2c2c2a2abc(abc) 由 a，b，c 都是正数，得 abc0， 因此a2b2b2c2c2a2abcabc. 5(2016商丘三模)设 f(x)|x1|2

29、|x1|的最大值为 m. (1)求 m； (2)若 a，b，c(0，)，a2c22b2m，求abbc 的最大值 解 ： (1)f(x) |x 1| 2|x 1| x3，x1，3x1，1x0) ， 当 且 仅 当_时，等号成立 (3)abc3_(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立 (4)a1a2ann_(ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立 2绝对值不等式 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab _，当且仅当_时，等号成立 (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac _，当且仅当_时，等号成立 (3)| |xa _ 3证明不等式的方法 (1)比较法：比较法是证明

30、不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与 0 比较大小或_与 1 比较大小； (2)综合法； (3)分析法； (4)反证法； (5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的， 我们把这种方法称为放缩法； (6)数学归纳法 自查自纠： 1(1)2ab ab (2) ab ab (3)3abc abc (4)na1a2an a1a2an 2(1)| |a | |b ab0 (2)|ab |bc (ab)(bc)0 (3)axa xa 3(1)作差 作商 (5)放大 缩小 (2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|.

31、(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，f(x)2x4，x1，2，1x2，2x6，x2. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，) (2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图象； (2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值 解：(1)f(x)3x，x12，x2，12x1，3x

32、，x1. yf(x)的图象如图所示 (2)由(1)知，yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3， 故当且仅当 a3 且 b2 时， f(x)axb 在0，)成立，因此 ab 的最小值为 5. 类型一类型一 绝对值不等式绝对值不等式 (2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x)|2x1|，当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3. 因此 f(x)6 的解集为x|1x3 (2)当 xR

33、 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a， 所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3. 当 a1 时，等价于 1aa3，无解； 当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2. 所以 a 的取值范围是2，) 点 拨： 解决绝对值不等式的基本方法有：公式法、零点分段法、平方法、几何法、构造法等，本例(1)利用等价不等式|h(x)|a(a0)ah(x)a，进而通过解不等式可求得；根据条件可首先将题(2)转化为求解 f(x)g(x)的最小值，再根据恒成立的意义建立简单的关于 a 的不等式；另外，对于含参问题，要注意分离参数及适时分类讨论 (2017 全国卷)

34、已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1，1，求a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化为 x23x40，无解； 当1x1 时，式化为 x2x20，得1x1； 当 x1 时，式化为 x2x40，得 1x1 172. 所以 f(x)g(x)的解集为x1x1 172. (2)当 x1，1时，g(x)2. 所以 f(x)g(x)的解集包含1，1等价于当x1，1时 f(x)2. 又 f(x)在1，1的最小值必为

35、 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2 得1a1. 所以 a 的取值范围为1，1 设函数 f(x)|2xa|2x1|(a0)， g(x)x2. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解： (1)当 a1 时， 原不等式等价于|2x1|2x1|x2. 等 价 于x12，4xx2或12x12，2x2或x12，4xx2， 解得 x或 0 x12或12x23， 所以不等式的解集为x|0 x23. (2)方法一：|2xa|2x1|x2 等价于|2xa|2x1|x20，令 h(x)|2xa|2x1|x2， 因

36、为a0，所以h(x)5xa3，x12，xa1，12x1) (1)若不等式 f(x)2 的解集为x|x12或 x52，求 a 的值； (2)对任意 xR，f(x)|x1|1 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 ： (1)f(x) |x 1| |x a| 2xa1，xa，a1，1xa，2xa1，x1. 当 xa 时，由 2xa12 得 xa32； 当 x1 时，由2xa12 得 xa1212，解得 a2.经检验，a2 满足题意 (2)方法一：由对任意 xR，f(x)|x1|1 恒成立，可得 2|x1|xa|1 恒成立 令 g(x)2|x1|xa|，因为 a1，所以 g(x)3x2a，x1，x2a，

37、1xa，3x2a，xa，易知 g(x)ming(1)a1，只需 a11，即 a2. 综上，实数 a 的取值范围为2，) 方法二：f(x)|x1|1 恒成立，即|xa|12|x1|恒成立 令 g(x)12|x1|2x1，x1，2x3，x1， 作出 yg(x)的图象如图所示， 要使|xa|g(x)恒成立，则需函数 y|xa|的图象恒在 yg(x)图象的上方，由 a1 及数形结合可得 a2. 所以 a 的取值范围是2，) (2017全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m的取值范围 解：(1)f(x)3，x

38、1，2x1，1x2，3，x2. 当 x1 时，f(x)1 无解； 当1x2 时，由 f(x)1 得，2x11，解得 1x2； 当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为x|x1 (2)由 f(x)x2xm 得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454， 且当 x32时，|x1|x2|x2x54. 故 m 的取值范围为，54. 点 拨： 分离参数后，不等式化为了 mg(x)解集非空，再 利 用 存 在 成 立 问 题 的 等 价 转 化 ， 转 化 为mg(x)max. (2017东北三校联考)已知函数 f(x)|2

39、x1|2x3|； (1)求不等式 f(x)6 的解集； (2)若对任意 x12，1 ，不等式 f(x)|2xa|4 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 x12时，2x12x36x1， 所以1x12. 当12x32时，2x12x36 恒成立， 所以12x32. 当 x32时，4x26x2，所以32x2. 综上，不等式的解集为1，2 (2)当 x12，1 时，f(x)|2xa|4|2xa|8， 即82xa8， a18，a28， 7a6.故 a 的取值范围为7，6 已知函数 f(x)|2xa|x1|. (1)当 a3 时，求不等式 f(x)2 的解集； (2)若 f(x)5x 对xR 恒成

40、立， 求实数 a 的取值范围 解：(1)a3 时，即求解|2x3|x1|2， 当 x32时，原不等式化为 2x3x12，解得 x2； 当 1x32时， 原不等式化为 32xx12，解集为空集； 当 x1 时，原不等式化为 32x1x2，解得 x23. 综上，所求不等式的解集为x|x23或x2 . (2)f(x)5x 对xR 恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立， 令 g(x)5x|x1|62x，x1，4，x1，则由函数 g(x)的图象可得它的最大值为 4. 故函数 y|2xa|的图象应该恒在函数 g(x)的图象的上方，数形结合可得a23, 所以 a6，即 a的取值范围是6，) 点 拨： 本例

41、及变式展示了数形结合法解决不等式恒成立或存在成立问题的优越性，即省去了不必要的或更复杂的分类讨论，从而更直观、简捷 设函数 f(x)1|2x3|. (1)求不等式 f(x)3x1 的解集； (2)若不等式 f(x)mx0 的解集非空，求 m 的取值范围 解：(1)由 f(x)3x1， 得|2x3|3x0， 则x32，2x33x0或x32，32x3x0， 即x32，x35或x32，x3， 解得 x3，所以不等式的解集为x|x3 (2)由 f(x)1|2x3|42x，x32，2x2，x32，作出 yf(x)与 ymx 的图象如图所示 由单调性可知 f(x)的最大值点为 A32，1 . 因为过原点的

42、直线 ymx 过点 A 时，m23；与AC 平行时，m2， 所以当230，b0，求证： a2b12b2a12a12b12. 证法一：左边右边（ a）3（ b）3ab( a b) （ a b）（a abb） ab（ a b）ab （ a b）（a2 abb）ab（ a b）（ a b）2ab0， 所以原不等式成立 证法二：因为不等式左边0，右边0， 所以左边右边（ a b）（a abb）ab（ a b） a abbab2 ab abab1. 所以原不等式成立 点 拨： 用比较法证明不等式，一般有作差(或商)、变形、判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形

43、过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二 (2)(综合法)已知 a，b，c 均为正数，证明： a2b2c21a1b1c26 3， 并确定 a，b，c 为何值时，等号成立 证法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式得 a2b2c23(abc)23， 1a1b1c3(abc)13， 所以1a1b1c29(abc)23. 故 a2b2c21a1b1c23(abc)239(abc)23. 又 3(abc)239(abc)232 276 3， 所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等号成立 当且仅当 3(abc)239(abc)23时，式等号成立， 即 abc314时，原式等号成立 证

44、法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 所以 a2b2c2abbcac. 同理1a21b21c21ab1bc1ac. 故 a2b2c21a1b1c2 a2b2c21a21b21c22ab2bc2ac abbcac3ab3bc3ac6 3. 所以原不等式成立 当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立即当且仅当 abc314时，原式等号成立 点 拨： 综合法是“由因导果”的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一

45、两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的性质证明 (3)(分析法)设 x0，y0 且 xy，求证： (x3y3)13(x2y2)12. 证明：因为 x0，y0 且 xy， 所以要证(x3y3)13(x2y2)12， 只需证(x3y3)2(x2y2)3， 即 2x3y33x2y2(x2y2)， 只需证 2xy3(x2y2)， 因为 x2y22xy， 所以 2xy3(x2y2)成立， 从而得证 点 拨： 对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手， 通常采用分析法求证分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范 (4)(反证法)已知 x，y，zR，且

46、 xyz1，x2y2z212，证明：x，y，z0，23. 证明：分两种情况讨论： 若 x， y， z 三数中有负数， 不妨设 x0， 12x2y2z2x2（yz）22x2（1x）2232x2x1212，矛盾 若 x，y，z 三数中有最大者大于23，不妨设 x23， 则12 x2 y2 z2 x2（yz）22 x2（1x）2232x2x1232xx231212，矛盾 故 x，y，z0，23. 点 拨： 对于一些直接证明比较困难的命题常常采用反证法证明利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾 (1)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明： ()若 abcd，

47、则 a b c d； () a b c d是|ab cd，得( a b)2( c d)2.因此 a b c d. ()(i)若|ab |cd ，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd，由()得 a b c d. ()若 a b c d，则( a b)2( cd)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab c d是|ab 0，b0，且 ab1a1b.求证： ()ab2； ()a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1. ()由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2，当且仅当 ab1 时

48、取等号 ()假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由a2a0 得 0a1；同理 0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b1 的解集 解：(1)f(x)x4，x1，3x2，132. yf(x)的图象如图所示 (2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3； 当 f(x)1 时，可得 x13或 x5， 故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为xx5 . 所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5 2(2018 广东潮州二模)设函数 f(x)|2x3|x1|. (1)解不等式 f(x)4； (2)若x(，32)，不等式

49、a1f(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为 f(x)|2x3|x1|， 所以 f(x)3x2，x32，x4，32x1，3x2，x1， f(x)4 等价于： x32，3x24或32x1，x44或x1，3x24， 等价于：x2 或 0 x1 或 x1. 所以不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，) (2)由(1)知，当 x32时，f(x)3x2， 因为当 x32时，f(x)3x252， 所以 a152，即 a32. 所以实数 a 的取值范围为(，32 3(2018河南郑州二模)已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|x|a. (1)当 a0 时，解不等式 f(x)g(x)； (

50、2)若存在 xR， 使得 f(x)g(x)成立， 求实数 a的取值范围 解：(1)当 a0 时，由 f(x)g(x)得|2x1|x|，两边平方整理得 3x24x10， 解得 x1 或 x13， 所以原不等式的解集为(，113，) (2)由 f(x)g(x)得 a|2x1|x|， 令 h(x)|2x1|x|， 则 h(x)x1，x12，3x1，12x0，x1，x0， 故 h(x)minh(12)12， 所以实数 a 的取值范围为12，) 4(2018山西太原一模)已知函数 f(x)|xa|12a(a0) (1)若不等式 f(x)f(xm)1 恒成立， 求实数 m的最大值； (2)当 a12时，函