2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　基本不等式.doc

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1、 第 3 讲 基本不等式 一、知识梳理 1基本不等式： abab2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 (3)其中ab2称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数 点拨 应用基本不等式求最值要注意： “一正、二定、三相等” 忽略某个条件，就会出错 2利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大) 点拨 在利用不等式求最值

2、时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 (2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 (3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号 (4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号 二、教材衍化 1设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 解析：选 Cxyxy22182281，当且仅当 xy9 时等号成立，故选 C 2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地

3、的最大面积是_ 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 xy10，所以 Sxyxy2225，当且仅当 xy5 时取等号 答案：25 m2 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 yx1x的最小值是 2.( ) (2)abab22成立的条件是 ab0.( ) (3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件( ) (4)若 a0，则 a31a2的最小值是 2 a.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽视不等式成立的条件 a0 且 b0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件 1若 x0，则 x1x( ) A有最

4、小值，且最小值为 2 B有最大值，且最大值为 2 C有最小值，且最小值为2 D有最大值，且最大值为2 解析：选 D因为 x0，x1x2 12，当且仅当 x1 时，等号成立，所以 x1x2. 2若 x1，则 x4x1的最小值为_ 解析：x4x1x14x11415. 当且仅当 x14x1，即 x3 时等号成立 答案：5 3设 0 x1，则函数 y2x(1x)的最大值为_ 解析：y2x(1x)2x1x2212. 当且仅当 x1x，即 x12时，等号成立 答案：12 考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 核心素养：

5、逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值 (1)已知 0 x1，则 x(43x)取得最大值时 x 的值为_ (2)已知 x54，则 f(x)4x214x5的最大值为_ 【解析】 (1)x(43x)13 (3x)(43x)133x（43x）2243， 当且仅当 3x43x， 即 x23时，取等号 (2)因为 x0， 则 f(x)4x214x5(54x154x)32（54x）154x3231. 当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立 故 f(x)4x214x5的最大值为 1. 【答案】 (1)23 (2)1 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数

6、是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 角度二 通过常数代换法求最值 已知 a0，b0，ab1，则11a11b的最小值为_ 【解析】 11a11b1aba1abb2ba 2ab52baab549.当且仅当 ab12时，取等号 【答案】 9 【迁移探究 1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a1b的最小值为_ 解析：因为 a0，b0，ab1， 所以1a1babaabb2baab22 baab4，即1

7、a1b的最小值为 4，当且仅当 ab12时等号成立 答案：4 【迁移探究 2】 (变条件)若本例条件变为： 已知 a0，b0，4ab4，则11a11b的最小值为_ 解析：由 4ab4 得 ab41， 11a11b 1ab4a1ab4b 2b4a54ab 522ab5b16a14114258114102.当且仅当 4 2a 5b 时取等号 答案：114102 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值 角度三 通过消元法求最值

8、 若正数 x，y 满足 x26xy10，则 x2y 的最小值是( ) A2 23 B23 C33 D2 33 【解析】 因为正数 x，y 满足 x26xy10，所以 y1x26x.由x0，y0，即x0，1x26x0，解得 0 x0，y0，4xx3y3yx4xx3yx3yx124xx3yx3yx1413(当且仅当 x3y 时等号成立) 3已知 x0，y0，且 x16yxy，则 xy 的最小值为_ 解析：已知 x0，y0，且 x16yxy. 即16x1y1，则 xy(xy)16x1y16116yxxy172 16yxxy25，当且仅 当 x4y20 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 25. 答

9、案：25 考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利

10、润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx12x80 000 x2002 12x80 000 x200200， 当且仅当12x80 000 x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元 (2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 000 12x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400，600，所以 S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40

11、 000 元才能不亏损 应用基本不等式解决实际问题的基本步骤 (1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的泳池，池的深度为 1 米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低 解：设泳池的长为 x 米，则宽为200 x米，总造价 f(x)4002x2200 x100200 x60200800 x

12、225x12 0001 600 x225x12 00036 000(元)，当且仅当 x225x(x0)，即 x15 时等号成立即泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低 基础题组练 1(2020 安徽省六校联考)若正实数 x，y 满足 xy2，则1xy的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 A因为正实数 x，y 满足 xy2， 所以 xy（xy）242241，所以1xy1. 2若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( ) A0，2 B2，0 C2，) D(，2 解析：选 D因为 12x2y2 2x2y2 2xy，(当且仅当 2x2y12，即 xy1时等号成立)所以 2xy12，所

13、以 2xy14，得 xy2. 3若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解析：选 C因为1a2b ab，所以 a0，b0， 由 ab1a2b21a2b22ab， 所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)， 所以 ab 的最小值为 2 2. 4(多选)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aab2 ab B1a1b1ab Cbaab2 Da2b22ab 解析：选 CD因为 ab0，所以ba0，ab0，所以baab2baab2，当且仅当 ab 时 取等号所以选项 C 正确，又 a，bR，所以(ab)20，即 a2b2

14、2ab 一定成立 5已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x13y的最小值是( ) A2 B2 2 C4 D2 3 解析：选 C因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1. 因为 x0，y0，所以1x13y(x3y)1x13y23yxx3y223yxx3y4，当且仅当x3y12时取等号，所以1x13y的最小值为 4.故选 C 6设 P(x，y)是函数 y2x(x0)图象上的点，则 xy 的最小值为_ 解析：因为 x0，所以 y0，且 xy2.由基本不等式得 xy2 xy2 2，当且仅当 xy 时等号成立所以 xy 的最小值

15、为 2 2. 答案：2 2 7函数 yx2x1(x1)的最小值为_ 解析：因为 yx211x1x11x1x11x12(x1)， 所以 y2 120， 当且仅当 x0 时，等号成立 答案：0 8 (2020 湖南岳阳期末改编)若 a0， b0， 且 a2b40， 则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_ 解析：因为 a0，b0，且 a2b40，所以 a2b4，所以 ab12a 2b12a2b222，当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，所以 ab 的最大值为 2，因为1a2b1a2ba2b414(52ba2ab)14522ba2ab94，当且仅当 ab 时等号成立，所以1a2b的最小

16、值为94. 答案：2 94 9(1)当 x32时，求函数 yx82x3的最大值； (2)设 0 x2，求函数 y x（42x）的最大值 解：(1)y12(2x3)82x332 32x2832x32. 当 x0， 所以32x2832x232x2832x4， 当且仅当32x2832x， 即 x12时取等号 于是 y43252， 故函数的最大值为52. (2)因为 0 x0， 所以 y x（42x） 2 x（2x） 2x2x2 2，当且仅当 x2x， 即 x1 时取等号， 所以当 x1 时，函数 y x（42x）的最大值为 2. 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy 的最小值；

17、(2)xy 的最小值 解：(1)由 2x8yxy0， 得8x2y1， 又 x0，y0， 则 18x2y2 8x2y8xy. 得 xy64， 当且仅当 x16，y4 时，等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0，得8x2y1， 则 xy8x2y (xy) 102xy8yx102 2xy8yx18. 当且仅当 x12，y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18. 综合题组练 1 设 a0， 若关于 x 的不等式 xax15 在(1， )上恒成立， 则 a 的最小值为( ) A16 B9 C4 D2 解析：选 C在(1，)上，xax1(x1)ax112 （x1）a（x

18、1）12 a1(当且仅当 x1 a时取等号) 由题意知 2 a15，所以 a4. 2(2020 福建龙岩一模)已知 x0，y0，且1x11y12，则 xy 的最小值为( ) A3 B5 C7 D9 解析：选 C因为 x0，y0.且1x11y12，所以 x1y21x11y(x1y)2(11yx1x1y)2(22yx1x1y)8，当且仅当yx1x1y，即 x3，y4 时取等号，所以 xy7，故 xy 的最小值为 7，故选 C 3已知正实数 x，y 满足 xy1，则 x2y2的最小值为_；若1x4ya 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 解析：因为 xy1，所以 xyxy2214，所以 x2y2(x

19、y)22xy114212，所以 x2y2的最小值为12. 若 a1x4y恒成立， 则 a 小于等于1x4y的最小值，因为1x4y1x4y(xy)5yx4xy52yx4xy9，所以1x4y的最小值为 9，所以 a9，故实数 a 的取值范围是(，9 答案：12 (，9 4(2020 洛阳市统考)已知 x0，y0，且1x2y1，则 xyxy 的最小值为_ 解析： 因为1x2y1， 所以 2xyxy， 所以 xyxy3x2y， 因为 3x2y(3x2y) (1x2y)76xy2yx，且 x0，y0，所以 3x2y74 3，所以 xyxy 的最小值为 74 3. 答案：74 3 5已知 x，y(0，)，

20、x2y2xy. (1)求1x1y的最小值； (2)是否存在 x，y 满足(x1)(y1)5？并说明理由 解： (1)因为1x1yxyxyx2y2xy2xyxy2， 当且仅当 xy1 时， 等号成立， 所以1x1y的最小值为 2. (2)不存在理由如下： 因为 x2y22xy， 所以(xy)22(x2y2)2(xy) 又 x，y(0，)，所以 xy2. 从而有(x1)(y1)（x1）（y1）224， 因此不存在 x，y 满足(x1)(y1)5. 6某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3km1(k 为常数)

21、如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2020 年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？ 解：(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)， 所以 13kk2，所以 x32m1(m0)， 每件产品的销售价格为 1.5816xx(元)， 所以 2020 年的利润 y1.5x816xx816xm 16m1（m1）29(m0) (2)因为 m0 时，16m1(m1)2 168， 所以 y82921，当且仅当16m1m1m3(万元)时，ymax21(万元) 故该厂家 2020 年的促销费用投入为 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元