2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题08 不等式选讲（解析版）.doc

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1、备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典专题八 不等式选讲【考生存在问题报告】 （一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）选修4-5：不等式选讲:已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且的最小值为.若，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】（1）当时，原不等式可化为，当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时，综上，原不等式的解集为.（2）由题意得， ，因为的最小值为，所以，由，得，所以 ，当且仅当，即，时，的最小值为.【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解

2、法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向（二）不能对条件进行正确的等价转化【例2】【2017全国卷23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求m的取值范围.【解析】原式等价于存在，使成立，即 设 ，由已知得 当时，当时，当时，综上述得，故的取值范围为.【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等

3、式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.【例3】（2020·福建高三）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）x|或（2）（，8）【解析】（1）当m=5时，或或或或或或或，所以不等式的解集为x|或；（2）由条件，有当时，不等式，即恒成立，令，则因为，且， 所以，所以m<8，即实数m的取值范围为（，8）【评析】（1

4、）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；（2）由题意可得恒成立，令，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论 （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法【例4】（2020·广西高三）设，且.（1）求证：；（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由 ，（当且仅当时取等号）故有（2）由，有故当时，.【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不熟练，无法优选算法化简求解过程【例5】【2014全国卷24（1

5、）】设函数= 证明：2；【解析】法一：因为，所以当时，为增函数，所以，当时，当时，为减函数，所以综上述得成立.法二：因为，又所以.【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）强化绝对值不等式的求解训练 高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图象求解、利用绝对值不等式性质求解等方法，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合

6、，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例6】（2020·贵州高三）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，解不等式，即，所以，解得.所以不等式的解集为.（2） 当时，.因为有解，所以，即，所以，所以，所以的取值范围为.（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强

7、化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例7】（2020·黑龙江哈九中高三期末）已知.（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，且， ，由题意知，所以，解得，所以实数的取值范围是. （2），当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故对任意的，恒成立可转化为， 所以或，解得.所以实数a的取值范围是.【例8】（2020·江西高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（I）当时，由解得，综合得；当时，由解得

8、，综合得；当时，由解得，综合得.所以的解集是.（II）的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即的取值范围是.【例9】（2020·江西高三）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，当时，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为 （2）， 当或时，不等式显然成立；当时，则 故的取值范围为（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅

9、当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例10】（2020·河南高三期末）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），由，解得，故.（2）证明：因为，所以，所以，所以.【例11】（2020·重庆西南大学附中高三）已知实数a、b、.（1）若，求的最小值；（2）若，求证：.【答案】（1） ；（2）证明见解析.【解析】（1），当且仅当时，等号成立.（2），（当且仅当时取等号）.，（当且仅当时取等号）.，（当且仅当时取等号）.又因为实数a、b、，由得

10、：当且仅当时取等号二、典型问题剖析（一）含绝对值不等式的求解1零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点；(2)划区间，去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值2绝对值不等式恒成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)形式；(2)转化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a无解f(x)maxa；f(x)<a无

11、解f(x)mina；(3)得结论【例12】【河南省九师联盟2019届高三2月检测】已知函数f(x)=2x-1+x+2.（1）求不等式f(x)4的解集；（2）设函数f(x)的最小值为M，若不等式x2+2x+mM有解，求实数m的取值范围.【解析】（1）f(x)=2x-1+x+2，当x1时，f(x)=2(x-1)+(x+2)=3x，由f(x)4，解得x43；当-2<x<1时，f(x)=-2(x-1)+(x+2)=-x+4，由f(x)4，解得-2<x0；当x-2时，f(x)=-2(x-1)-(x+2)=-3x，由f(x)4，解得x-2.综上x0或x43.所以不等式f(x)4的解集是x

12、x0或x43.（2）由（1）可知f(x)=3x,x1-x+4,-2<x<1-3x,x-2，所以函数f(x)在区间(-,1单调递减，在区间1,+)上单调递增，所以函数f(x)的最小值f(1)=3.由题意得x2+2x+m3有解，所以m-x2-2x+3有解.设g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，则g(x)max=4.所以m4.故实数m的取值范围是(-,4.【例13】（2020·福建省福州第一中学高三期末）（1）解不等式；（2）若成立，求常数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】（1）由，得所以或解得：或故不等式的解集为：或（2）由已知得：当a=1时，恒成立；当a

13、>1时，,即，从而；当a<1时，,即，从而；综上：a的取值范围是：【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：求零点；分区间、去绝对值号；分别解各区间上所得不等式；取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值也可以采用图象法，通过作出函数图象，利用数形结合的思想求解.（二）给定条件，求参数的取值范围【例14】（2020·深圳市南山区华侨城中学高三）已知函数(1)解不等式: f(x)<5;(2)当xR时，f(x)> ax+1,求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）解:由题,当时,则,解得,则；当时,则,解得

14、,则；当时,则,解得,则,综上,解集为（2）由题,则的图象如图所示:因为均满足,则的图象在直线的上方,因为直线恒过定点,点,则,由图象可知【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【例15】（2020·湖南师大附中高三）已知函数，（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）可化为，故，或

15、，或；解得：，或，或；不等式的解集为；（2）由题意：，故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点当时，实数的取值范围是.【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.（三）不等式的证明对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法(3)能转化为比较大小的可以用比较法(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法【例16】（2020&#

16、183;云南昆明一中高三）已知正数，满足等式.证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）要证不等式等价于，因为，所以，当且仅当时取等号.（2）因为，所以，又因为，.所以，所以，当且仅当时取等号.【例17】（2020·四川三台中学实验学校高三）已知，证明：(1)；(2).【答案】(1) 见解析(2) 见解析【解析】（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5ba5，即ab1时取等号；（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）33ab（a+b）2，ab，由均值不等式可得：ab（a+b）32，（a+b）32，a+b

17、2，当且仅当ab1时等号成立【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.【新题好题针对训练】一、单选题1（2020·浙江高三期末）若函数的最小

18、值3，则实数的值为（ ）A5或8B或5C或D或【答案】D【解析】由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得（舍）或；当时，即，此时，不满足题意，所以或，故选D.二、解答题2（2020·湖南长郡中学高三）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）或.（2）4【解析】（1）原不等式可化为，当时，原不等式可化为，解得，；当时，原不等式可化为，解得，；当时，原不等式可化为，解得，；综上，不等式的解集为或.（2），.由恒成立可知，不等式恒成立.，当且仅当时等号成立.故的最小值4.3（2020·山西高三）已知函数（其中）.

19、（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）当时，函数，则不等式为，当时，原不等式为，解得：；当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数 ，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为 ，即关于的不等式恒成立.而 ，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.4（2020·山西大同一中高三）设函数，（1）若不等式的解集为，求a的值；（2）若存在，使，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，可化为，解得（2）令，所以函数

20、的最小值为，根据题意可得，所以a的取值范围为5（2020·海南高三）已知都是正数，求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1），当且仅当时等号成立，同理可得，即；（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，同理可得，即.6（2019·广西大学附属中学高三）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】（1）当时，解得，所以；当时，；当时，解得，所以.综上，不等式的解集为.（2）证明：因为为正数，则等价于对任意的恒成立.又因为，且，所以只需证，因为，当且仅当时等号成立.所以成立.7（2020

21、3;南昌市新建区第二中学高三）已知函数.（）解关于x的不等式；（）若a，b，函数的最小值为m，若，求证：.【答案】（）或；（）见解析【解析】（）即，可得或或，解得或或，则原不等式的解集为；（）证明：，当且仅当，即时上式取得等号，可得函数的最小值为1，则，且a，b，由，可得，当且仅当取得等号，即.,8（2020·河北衡水中学高三）已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，可转化为或或，所以不等式的解集为. （2）根据题意，即，.记不等式右边函数为，根据题意于是的值域为，因此实数的最小值为.9（2020·江西高三期末）已知函数.

22、（1）解不等式； （2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】（1）或或或或不等式的解集为（2）由可知当且仅当即当时的最小值为8.10（2020·甘肃高三期末）已知函数（1）求不等式的解集；（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得：或或解得：；由，或或解得：.故不等式的解集为：.（2）依题意可得等价于，由（1）知的解集为.因为对恒成立，所以，所以解得，所以a的取值范围为.11（2019·云南昆明一中高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范

23、围.【答案】（1） （2）【解析】（1）当时，即.当时，由解得，所以，当时，不等式恒成立，所以，当时，由解得；所以.综上，不等式的解集为.（2）因为，所以，解得.12（2020·内蒙古高三期末）已知函数，.（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，得，所以，即或，解得：或，所以原不等式的解集为.（2）因为存在，使得成立，所以只需要，因为，当时，等号成立，即，当时，等号成立，即.所以，解得.所以实数的取值范围是.13（2020·全国高三）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（

24、1），（2）【解析】（1）当时，不等式，即为，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，当时，由，得，所以，故不等式的解集为.（2）当时， ，由，得，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，因为函数在上单调递减，所以当时，取最大值为，故实数a的取值范围是.14（2020·广东金山中学高三期末）已知函数，且的解集为（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），等价于，由有解，得且其解集为，又的解集为，故；（2）证明：由（1）知，又，是正实数，由基本不等式，得，当且仅当时取等号15（2020·武邑县教育局教研室高三期末）已知函数

25、（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值【答案】（）； （）.【解析】（） 或 或 ,不等式解集为.（） , ,又, , ,当且仅当 即时取等号,所以.16（2020·福建高三期末）设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时.所以不等式的解集为；（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，所以.，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.17（2020·广东深圳中学高三期末）已知函数.()若，求实数的取值范围；()若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】()；().【解析】（）由可得， 当时，不等式化为，解得，； 当时，不等式化为，解得，； 当时，不等式化为，解得，. 综上实数的取值范围是 （）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值不等式恒成立， ，即，解得或 实数的取值范围是.18（2020·陕西高三）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.