2011年海南高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年海南高考理科数学真题及答案年海南高考理科数学真题及答案第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数2i的共轭复数是12iAi35Bi35CiDi2下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是Ay xCy x 122By x 1Dy 2 x3执行右面的程序框图，如果输入的N 是 6，那么输出的 p 是A120B720C1440D50404有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A13B12C23D345已知角的顶

2、点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则cos2=AC45BD3535456在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为7设直线l 过双曲线 C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，AB为 C的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为A25B3C2D3a 18x2x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为xxA-40B-20C20D409由曲线y Ax，直线y x2及y轴所围成的图形的面积为B4C10316D6310已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题2P:ab 1 0,13 2P:ab

3、1,23P3:ab 10,P4:ab 1,33其中的真命题是AP1,P4BP1,P3CP2,P3DP2,P411 设 函 数f(x)sin(x)cos(x)(0,2)的 最 小 正 周 期 为，且f(x)f(x)，则Af(x)在0,单调递减2单调递增2Bf(x)在3,443,44单调递减单调递增Cf(x)在0,12函数y Df(x)在1的图像与函数y 2sinx(2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于x1B4C6D8A2第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小

4、题，每小题 5 分。13若变量x,y满足约束条件3 2x y 9,则z x2y的最小值为。6 x y 9,14在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为过 F1的直线交于 CA,B两点，且ABF2的周长为 16，那么C的方程为。2。215已知矩形ABCD的顶点都在半径为4 的球O的球面上，且AB 6,BC 2 3,则棱锥O ABCD的体积为。16在ABC中，B 60,AC 3，则AB2BC的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）2等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a3 9a2a6.求数列an的通

5、项公式.设bn log3a1log3a2.log3an,求数列 1 的前 n 项和.bn18(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。19（本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组频数9

6、4，98）98，102）102，106）106，1102042228B 配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数412423210（I）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为90，94）82,t 94y 2,94 t 1024,t 102从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元）求 X 的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20（本小题满分 12 分）在平面直角

7、坐标系 xOy 中，已知点 A（0，-1），B 点在直线y 3上，M 点满足MB/OA，MA AB MB BA，M 点的轨迹为曲线 C（I）求 C 的方程；（II）P 为 C 上动点，l为 C 在点 P 处的切线，求 O 点到l距离的最小值21（本小题满分 12 分）已知函数f(x)alnxb，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x2y 3 0 x1xlnxk，求 k 的取值范围x1x（I）求 a，b 的值；（II）如果当 x0，且x 1时，f(x)请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方

8、框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D，E 分别为ABC的边 AB，AC 上的点，且不与ABC的顶点重合 已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程x 14xmn 0的两个根（I）证明：C，B，D，E 四点共圆；（II）若A90，且m 4,n 6,求 C，B，D，E 所在圆的半径23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程2x 2cos在直角坐标系 xOy 中，曲线C1的参数方程为，M 为C1上的动点，(为参数）y 22sinP 点满足OP 2OM，点 P 的轨迹为曲线C2（I）求C2的方程；（II）在以 O 为极点

9、，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线点为 A，与C2的异于极点的交点为 B，求|AB|.24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数f(x)|xa|3x，其中a 0（I）当 a=1 时，求不等式f(x)3x2的解集（II）若不等式f(x)0的解集为x|x 1，求 a 的值2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题3与C1的异于极点的交（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空题x2y21（15）8 3（16）2 7（13）-6（14）168三、解答题（17）解：2322（）设数列a

10、n的公比为 q，由a3 9a2a6得a3 9a4所以q 1。9由条件可知 c0，故q 1。31。3由2a13a21得2a13a2q 1，所以a1故数列an的通项式为 an=1。n3（）bn log3a1log3a2.log3an(12.n)n(n1)2故1211 2()bnn(n1)nn1111111112n.2(1)().()b1b2bn223nn1n1所以数列(18)解：（）因为DAB 60,AB 2AD，由余弦定理得BD 3AD从而 BD+AD=AB，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为x

11、轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则22212n的前 n 项和为bnn1A1,0,0，B 0，3,0，C 1,3,0，P0,0,1。AB (1,3,0),PB (0,3,1),BC (1,0,0)设平面 PAB 的法向量为 n=（x，y，z），则nPB0,即nAB0,x3y 03y z 0因此可取 n=(3,1,3)设平面 PBC 的法向量为 m，则mBC0,可取 m=（0，-1，3）cos m,n mPB0,42 7 72 7故二面角A-PB-C的余弦值为（19）解2 77（）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B 配方生

12、产的产品中优质品的频率为的产品的优质品率的估计值为0.42228=0.3，所以用A 配方生产1003210 0.42，所以用B 配方生产100（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为 0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04，P(X=2)=0.54，P(X=4)=0.42，即 X 的分布列为XP20.0420.5440.42X 的数学期望值 EX=-20.04+20.54+40.42=2.68(20）解：()设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1).所以MA=（-x，-1-y），MB=(

13、0，-3-y)，AB=(x，-2).再由题意可知（MA+MB）AB=0，即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.12x-2.4111()设 P(x0，y0)为曲线 C：y=x2-2 上一点，因为 y=x，所以l的斜率为x042212因此直线l的方程为y y0 x0(x x0)，即x0 x2y 2y0 x0 0。2所以曲线 C 的方程式为 y=则 O 点到l的距离d 2|2y0 x0|2x04.又y012x02，所以412x04142d 2(x04)2,22x042x04当x0=0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为 2.2（21）解：(（）f(x)x1ln x)bx22(x1)x f(1

14、)1,1由于直线x2y 3 0的斜率为，且过点(1,1)，故1即f(1),22b 1,a1b ,22解得a 1，b 1。（）由（）知f(x)ln x1，所以x1xlnxk1(k 1)(x21)f(x)()(2ln x)。x1x1 x2x(k 1)(x21)(x 0)，则考虑函数h(x)2ln xx(k 1)(x21)2xh(x)。2xk(x21)(x1)2(i)设k 0，由h(x)知，当x 1时，h(x)0。而h(1)0，故x21h(x)0；1 x21当 x（1，+）时，h（x）021 xlnxklnxk从而当 x0，且 x1 时，f（x）-（+）0，即 f（x）+.x 1xx 1x12（ii

15、）设 0k0，故h(x）0，而1k11h（1）=0，故当 x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得21 x当x(0,1)时，h(x)0，可得h（x）1 与 0 x1 时，需证x(x1)ln x x 1 x(x1)ln x2x211即lnx 即需证lnx x（1）xx设g(x)lnx x11，则g(x)1xx1在（1，+）上为减函数又因 g（1）=0 x由 x1 得g(x)0，所以g(x)lnx x所以 当 x1 时 g（x）0即（1）式成立同理 0 x1 时，需证lnx x1（2）x1在（0，1）上为增函数又因g（1）=0 x而由 0 x1

16、 得g(x)0，所以g(x)lnx x所以 当 0 x1 时 g（x）0即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算（22）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADAB=mn=AEAC，即ADAE.又DAE=CAB，从而ADEACBACAB因此ADE=ACB所以 C，B，D，E 四点共圆。（）m=4，n=6 时，方程 x-14x+mn=0 的两根为 x1=2，x2=12.故 AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为 C，B，D，E 四点共圆，所

17、以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=90，故 GHAB，HFAC.HF=AG=5，DF=故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 52（23）解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M(021(12-2)=5.2X Y,).由于 M 点在 C1上，所以22x 2cos,x 4cos2即yy 4 4sin 2 2sin2从而C2的参数方程为x 4cos（为参数）y 44sin（）曲线C1的极坐标方程为 4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin。射线3与C1的交点A的极径为1 4sin与C2的交点B的极径为28sin3，。射线33所以|AB|2 1|2 3.（24）解：（）当a 1时，f(x)3x2可化为|x1|2。由此可得x 3或x 1。故不等式f(x)3x2的解集为x|x 3或x 1。()由f(x)0得xa 3x 0此不等式化为不等式组x ax a或xa3x 0a x3x 0 x ax aaa即x 或a 42因为a 0，所以不等式组的解集为x|x 由题设可得a2a=1，故a 22