2011年吉林高考理科数学真题及答案.pdf

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1、20112011 年吉林高考理科数学真题及答案年吉林高考理科数学真题及答案第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数21 2ii的共轭复数是A35iB35iCiDi2下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是A2yxB1yxC21yx D2xy3执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是A120B720C1440D50404有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A13B12C23D345已知角的顶点

2、与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=A45B35C35D456在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为7设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，AB为 C的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为A2B3C2D38512axxxx的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为A-40B-20C20D409由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为A103B4C163D610已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:10,3Pab 22:1,3Pab

3、3:10,3Pab 4:1,3Pab 其中的真命题是A14,P PB13,P PC23,P PD24,P P11 设 函 数()sin()cos()(0,)2f xxx 的 最 小 正 周 期 为，且()()fxf x，则A()f x在0,2单调递减B()f x在3,44单调递减C()f x在0,2单调递增D()f x在3,44单调递增12函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于A2B4C6D8第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题

4、共 4 小题，每小题 5 分。13若变量,x y满足约束条件329,69,xyxy则2zxy的最小值为。14在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,F F在x轴上，离心率为22。过 F1的直线交于 C,A B两点，且2ABF的周长为 16，那么C的方程为。15已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥OABCD的体积为。16在ABC中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）等比数列 na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a求数列 na的通项

5、公式.设31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前 n 项和.18(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。19（本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组90，94

6、）94，98）98，102）102，106）106，110频数82042228B 配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数412423210（I）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为2,942,941024,102tytt 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元）求 X 的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系

7、xOy 中，已知点 A（0，-1），B 点在直线3y 上，M 点满足/MBOA，MA ABMB BA ，M 点的轨迹为曲线 C（I）求 C 的方程；（II）P 为 C 上动点，l为 C 在点 P 处的切线，求 O 点到l距离的最小值21（本小题满分 12 分）已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy（I）求 a，b 的值；（II）如果当 x0，且1x 时，ln()1xkf xxx，求 k 的取值范围请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑2

8、2（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D，E 分别为ABC的边 AB，AC 上的点，且不与ABC的顶点重合已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程2140 xxmn的两个根（I）证明：C，B，D，E 四点共圆；（II）若90A，且4,6,mn求 C，B，D，E 所在圆的半径23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxy为参数），M 为1C上的动点，P 点满足2OPOM ，点 P 的轨迹为曲线2C（I）求2C的方程；（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极

9、轴的极坐标系中，射线3与1C的异于极点的交点为 A，与2C的异于极点的交点为 B，求|AB|.24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数()|3f xxax，其中0a（I）当 a=1 时，求不等式()32f xx的解集（II）若不等式()0f x 的解集为x|1x ，求 a 的值2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）-6（14）221168xy（15）8 3（16）2 7三、解答题（17）解：（）设数列an的公比为 q，由232

10、69aa a得32349aa所以219q。由条件可知 c0，故13q。由12231aa得12231aa q，所以113a。故数列an的通项式为 an=13n。（）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n 故12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn 所以数列1nb的前 n 项和为21nn(18)解：（）因为60,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD从而 BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射

11、线 DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则1,0,0A，03,0B，1,3,0C，0,0,1P。(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBC uuu vuuvuuu v设平面 PAB 的法向量为 n=（x，y，z），则0,0,n ABn PBuuu ruu u r即3030 xyyz 因此可取 n=(3,1,3)设平面 PBC 的法向量为 m，则m0,m0,PBBCuu u ruuu r可取 m=（0，-1，3）42 7cos,72 7m n 故二面角A-PB-C的余弦值为2 77（19）解（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100

12、，所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为32 100.42100，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为 0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04，P(X=2)=0.54，P(X=4)=0.42，即 X 的分布列为X224P0.040.540.42X 的数学期望值 EX=-20.04+20.54+40.42=2.68(20）解：()设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(

13、0，-1).所以MAuuu r=（-x，-1-y），MBuuu r=(0，-3-y)，ABuuu r=(x，-2).再由题意可知（MAuuu r+MBuuu r）ABuuu r=0，即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y=14x2-2.()设 P(x0，y0)为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为 y=12x，所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2000220 x xyyx。则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x=0 时取等号，所以

14、 O 点到l距离的最小值为 2.（21）解：（）221(ln)()(1)xxbxfxxx由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即1,1,22bab 解得1a，1b。（）由（）知ln1f()1xxxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2()kxxh xx。(i)设0k，由222(1)(1)()k xxh xx知，当1x 时，()0h x。而(1)0h，故当(0,1)x时，()0h x，可得21()01h xx；当 x（1，+）时，h（x）

15、0从而当 x0，且 x1 时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk.（ii）设 0k0，故h(x）0，而h（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0，而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得211xh（x）1 与 0 x1 时，需证2(1)ln1(1)lnx xxxx xx 即21lnxxx即需证1ln xxx（1）设1()lng xxxx，则1()1g xx由 x1 得()0g x，所以1()lng xxxx在（1，+）上为减函数又因 g（1）=0所以 当 x1 时 g（x）0即（1）式成立同理 0 x1 时，需证1ln

16、 xxx（2）而由 0 x1 得()0g x，所以1()lng xxxx在（0，1）上为增函数又因 g（1）=0所以 当 0 x1 时 g（x）0即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算（22）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADAB=mn=AEAC，即ABAEACAD.又DAE=CAB，从而ADEACB因此ADE=ACB所以 C，B，D，E 四点共圆。（）m=4，n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，A

17、B 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=900，故 GHAB，HFAC.HF=AG=5，DF=21(12-2)=5.故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 52（23）解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M(2,2YX).由于 M 点在 C1上，所以sin222,cos22yx即sin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21|2 3AB.（24）解：（）当1a 时，()32f xx可化为|1|2x。由此可得3x 或1x 。故不等式()32f xx的解集为|3x x 或1x 。()由()0f x 得30 xax此不等式化为不等式组30 xaxax或30 xaaxx即4xaax或2xaaa 因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x 由题设可得2a=1，故2a