2018高考数学（理）大一轮复习习题：第八章 立体几何 课时达标检测（四十一） 利用空间向量求空间角 Word版含答案.doc

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1、课时达标检测课时达标检测( (四十一四十一) ) 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 一、全员必做题一、全员必做题 1 1已知直三棱柱已知直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1，ACBACB9090，CACACBCBCCCC1 1，D D为为B B1 1C C1 1的中点，求异面直的中点，求异面直线线BDBD和和A A1 1C C所成角的余弦值所成角的余弦值 解：如图所示，解：如图所示，以以C C为坐标原点，为坐标原点，CACA，CBCB，CCCC1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 设设CACA

2、CBCBCCCC1 12 2，则，则A A1 1(2,0,2)(2,0,2)，C C(0,0,0)(0,0,0)，B B(0,2,0)(0,2,0)，D D(0,1,2)(0,1,2)， BD(0(0，1,2)1,2)，1AC( (2,02,0，2)2)， coscosBD，1ACBD1AC| | BD|1AC| |10105 5. . 异面直线异面直线BDBD与与A A1 1C C所成角的余弦值为所成角的余弦值为10105 5. . 2 2(2016(2016大连二模大连二模) )如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABABBCBC，AA

3、AA1 12 2，ACAC2 2 2 2. .M M是是CCCC1 1的中点，的中点，P P是是AMAM的中点，点的中点，点Q Q在线段在线段BCBC1 1上，上，且且BQBQ1 13 3QCQC1 1. . (1)(1)证明：证明：PQPQ平面平面ABCABC； (2)(2)若直线若直线BABA1 1与平面与平面ABMABM所成角的正弦值为所成角的正弦值为2 2 15151515，求，求BACBAC的大小的大小 解：解：(1)(1)取取MCMC的中点，记为点的中点，记为点D D，连接，连接PDPD，QDQD. . P P为为MAMA的中点，的中点，D D为为MCMC的中点，的中点， PDPD

4、ACAC. . 又又CDCD1 13 3DCDC1 1，BQBQ1 13 3QCQC1 1， QDQDBCBC. . 又又PDPDQDQDD D， 平面平面PQDPQD平面平面ABCABC. . 又又PQPQ 平面平面PQDPQD， PQPQ平面平面ABCABC. . (2)(2)BCBC，BABA，BBBB1 1两两互相垂直，两两互相垂直，以以B B为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以BCBC，BABA，BBBB1 1所在的直线所在的直线为为x x，y y，z z轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系B B xyzxyz，设，设BCBCa a，BABAb b，则各点的坐

5、标分，则各点的坐标分别为别为B B(0,0,0)(0,0,0)，C C( (a,a,0,0)0,0)，A A(0(0，b,b,0)0)，A A1 1(0(0，b,b,2)2)，M M( (a,a,0,1)0,1)， 1BA(0(0，b b, ,2)2)，BA(0(0，b,b,0)0)，BM( (a,a,0,1)0,1) 设平面设平面ABMABM的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )，则，则 n nBA0 0，n nBM0 0， byby0 0，axaxz z0 0， 取取x x1 1，则可得，则可得平面平面ABMABM的一个法向量为的一个法向量为n n(1,0(1,0，a

6、 a) )， |cos|cosn n，1BA| | |2 2a a| |a a2 21 1b b2 24 42 2 15151515， 又又a a2 2b b2 28 8，a a4 44 4a a2 212120 0， a a2 22 2 或或6(6(舍舍) )，即，即a a 2 2. . sinsinBACBAC2 22 2 2 21 12 2，BACBAC6 6. . 3.3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P P ABCDABCD中，中，PAPA平面平面ABCABCD D，ABCABC9090，ABCABCADCADC，PAPAACAC2 2ABAB2 2，E E是线段是线段PCPC的中点的

7、中点 (1)(1)求证：求证：DEDE平面平面PABPAB； (2)(2)求二面角求二面角D D CPCP B B的余弦值的余弦值 解：解：(1)(1)证明：以证明：以B B为坐标原点，为坐标原点，BABA所在的直线为所在的直线为x x轴，轴，BCBC所在的直线为所在的直线为y y轴，过点轴，过点B B且与平面且与平面ABCABC垂直的直线为垂直的直线为z z轴，建立空间直角坐标系如图所示轴，建立空间直角坐标系如图所示 则则B B(0,0,0)(0,0,0)，C C(0(0， 3 3，0)0)，P P(1,0,2)(1,0,2)，D D 3 32 2，3 32 2，0 0 ，A A(1,0,0

8、)(1,0,0)，E E 1 12 2，3 32 2，1 1 ， DE( (1,0,1)1,0,1)，BP(1,0,(1,0,2)2)，BA(1,0,0)(1,0,0) 设平面设平面PABPAB的法向量为的法向量为n n( (a a，b b，c c) )， 则则 n nBP0 0，n nBA0 0， a a2 2c c0 0，a a0 0， n n(0,1,0)(0,1,0)为平面为平面PABPAB的一个法向量的一个法向量 又又DEn n0 0，DEDE 平面平面PABPAB， DEDE平面平面PABPAB. . (2)(2)由由(1)(1)易知易知BC(0(0， 3 3，0)0)，DP 1

9、12 2，3 32 2，2 2 ，DC 3 32 2，3 32 2，0 0 ，设，设平面平面PBCPBC的法向量为的法向量为n n1 1( (x x1 1，y y1 1，z z1 1) )， 则则 n n1 1BP0 0，n n1 1BC0 0， x x1 12 2z z1 10 0，3 3y y1 10 0，令令x x1 12 2，则，则y y1 10 0，z z1 11 1， n n1 1(2,0(2,0，1)1)为平面为平面PBCPBC的一个法向量的一个法向量 设平面设平面DPCDPC的法向量为的法向量为n n2 2( (x x2 2，y y2 2，z z2 2) )， 则则 n n2

10、2DP0 0，n n2 2DC0 0， 1 12 2x x2 23 32 2y y2 22 2z z2 20 0，3 32 2x x2 23 32 2y y2 20 0， 令令x x2 21 1，则，则y y2 2 3 3，z z2 21 1， n n2 2(1(1， 3 3，1)1)为平面为平面DPCDPC的一个法向量的一个法向量 coscosn n1 1，n n2 22 21 15 5 5 51 15 5， 故二面角故二面角D D CPCP B B的余弦值为的余弦值为1 15 5. . 二、重点选做题二、重点选做题 1.1.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P P ABCDABCD中，中，ADA

11、DBCBC，平面，平面APDAPD平面平面ABCDABCD，PAPAPDPD，E E在在ADAD上，且上，且ABABBCBCCDCDDEDEEAEA2.2. (1)(1)求证：平面求证：平面PECPEC平面平面PBDPBD； (2)(2)设直线设直线PBPB与平面与平面PECPEC所成的角为所成的角为6 6，求平面，求平面APBAPB与平面与平面PECPEC所所成的锐二面角的余弦值成的锐二面角的余弦值 解：解：(1)(1)证明：连接证明：连接BEBE. . 在在PADPAD中，中，PAPAPDPD，AEAEEDED， 所以所以PEPEADAD. . 又平面又平面APDAPD平面平面ABCDAB

12、CD，平面，平面APDAPD平面平面ABCDABCDADAD， 所以所以PEPE平面平面ABCDABCD， 又又BDBD 平面平面ABCDABCD，故，故PEPEBDBD. . 在四边形在四边形ABCDABCD中，中，BCBCDEDE，且，且BCBCDEDE， 所以四边形所以四边形BCDEBCDE为平行四边形，为平行四边形， 又又B BC CCDCD， 所以四边形所以四边形BCDEBCDE为菱形，为菱形， 故故BDBDCECE， 又又PEPEECECE E， 所以所以BDBD平面平面PECPEC， 又又BDBD 平面平面PBDPBD， 所以平面所以平面PECPEC平面平面PBDPBD. . (

13、2)(2)取取BCBC的中点的中点F F，连接，连接EFEF. . 由由(1)(1)可知，可知，BCEBCE是一个正三角形，所以是一个正三角形，所以EFEFBCBC， 又又BCBCADAD，所以，所以EFEFADAD. . 又又PEPE平面平面ABCDABCD，故以，故以E E为坐标原点，分别以直线为坐标原点，分别以直线EFEF、直线、直线EDED、直线、直线EPEP为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设设PEPEt t( (t t0)0)， 则， 则D D(0,2,0)(0,2,0)，A A(0(0， ， 2,0)2,0)，

14、P P(0,0(0,0，t t) )，F F( ( 3 3，0,0,0)0)，B B( ( 3 3，1,0)1,0) 因为因为BDBD平面平面PECPEC， 所以所以BD( ( 3 3，3,0)3,0)是平面是平面PECPEC的一个法向量，的一个法向量， 又又PB( ( 3 3，1 1，t t) )， 所以所以 coscosPB，BDPBBD| |PB|BD| |6 64 4t t2 222 3 3 3 34 4t t2 2. . 由已知可得由已知可得 sinsin6 6|cos|cosPB，BD| |3 34 4t t2 2，得，得t t2 2 2 2( (负值舍负值舍去去) ) 故故P P

15、(0,0,2(0,0,2 2 2) )，PB( ( 3 3，1 1，2 2 2 2) )，AB( ( 3 3，1,0)1,0) 设平面设平面APBAPB的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )， 则由则由 n nPB0 0，n nAB0 0，可得可得 3 3x xy y2 2 2 2z z0 0，3 3x xy y0 0， 取取y y 6 6，则，则x x 2 2，z z 3 3， 故故n n( ( 2 2， 6 6， 3 3) )为平面为平面APBAPB的一个法向量，的一个法向量， 所以所以 coscosBD，n nBDn n| | BD|n n| |4 4 6 62 2

16、 3 3 11112 2 22221111. . 设平面设平面APBAPB与平面与平面PECPEC所成的锐二面角为所成的锐二面角为， 则则 cos cos |cos|cosBD，n n| |2 2 22221111. . 2 2如图如图 1 1，正方形，正方形ABCDABCD的边长为的边长为 4 4，ABABAEAEBFBF1 12 2EFEF，ABABEFEF，把四边形，把四边形ABCDABCD沿沿ABAB折起，使得折起，使得ADAD平面平面AEFBAEFB，G G是是EFEF的中点，如图的中点，如图 2.2. (1)(1)求证：求证：AGAG平面平面BCEBCE； (2)(2)求二面角求二

17、面角C C AEAE F F的余弦值的余弦值 解：解：(1)(1)证明：连接证明：连接BGBG， 因为因为BCBCADAD，ADAD底面底面AEFBAEFB， 所以所以BCBC底面底面AEFBAEFB，又，又AGAG 底面底面AEFBAEFB， 所以所以BCBCAGAG， 因为因为ABAB綊綊EGEG，ABABAEAE， 所以四边形所以四边形ABGEABGE为菱形，所以为菱形，所以AGAGBEBE， 又又BCBCB BE EB B，BEBE 平面平面BCEBCE，BCBC 平面平面BCEBCE， 所以所以AGAG平面平面BCEBCE. . (2)(2)由由(1)(1)知四边形知四边形ABGEA

18、BGE为菱形，为菱形，AGAGBEBE，AEAEEGEGBGBGABAB4 4， 设设AGAGBEBEO O，所以，所以OEOEOBOB2 2 3 3，OAOAOGOG2 2， 以以O O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则则O O(0,0,0)(0,0,0)，A A( (2,0,0)2,0,0)，E E(0(0，2 2 3 3，0)0)，F F(4,2(4,2 3 3，0)0)，C C(0,2(0,2 3 3，4)4)，D D( (2,0,4)2,0,4)， 所以所以AC(2,2(2,2 3 3，4)4)，AE(2(2，2 2 3 3，0)

19、0)， 设平面设平面ACEACE的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )， 则则 ACn n0 0， AEn n0 0， 所以所以 2 2x x2 2 3 3y y4 4z z0 0，2 2x x2 2 3 3y y0 0， 令令y y1 1，则，则x x 3 3，z z 3 3， 即平面即平面ACEACE的一个法向量为的一个法向量为n n( ( 3 3，1 1， 3 3) )， 易知平面易知平面AEFAEF的一个法向量为的一个法向量为AD(0,0,4)(0,0,4)， 设二面角设二面角C C AEAE F F的大小为的大小为，由图易知，由图易知 0 0，2 2， 所以所以

20、 cos cos | |n nAD | | |n n|AD| |4 4 3 37 74421217 7. . 三、冲刺满分题三、冲刺满分题 1 1(2016(2016四川高考四川高考) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P P ABCDABCD中，中，ADADBCBC，ADCADCPABPAB9090，BCBCCDCD1 12 2ADAD，E E为棱为棱ADAD的中点，异面直线的中点，异面直线PAPA与与CDCD所成的角为所成的角为 90.90. (1)(1)在平面在平面PABPAB内找一点内找一点M M，使得直线，使得直线CMCM平面平面PBEPBE，并说明理由；，并说明理由； (2)(2)若

21、二面角若二面角P P CDCD A A的大小为的大小为 4545，求直线，求直线PAPA与平面与平面PCEPCE所成角的正弦值所成角的正弦值 解：解：(1)(1)在梯形在梯形ABCDABCD中，中，ABAB与与CDCD不平行如图，延长不平行如图，延长ABAB，DCDC相交于点相交于点M M( (M M平面平面PABPAB) )，点，点M M即为所求的一个点即为所求的一个点 理由如下：理由如下： 由已知，知由已知，知BCBCEDED，且，且BCBCEDED， 所以四边形所以四边形BCDEBCDE是平行四边形，从而是平行四边形，从而CMCMEBEB. . 又又EBEB 平面平面PBEPBE，CMC

22、M 平面平面PBEPBE， 所以所以CMCM平面平面PBEPBE. . (2)(2)由已知，由已知，CDCDPAPA，CDCDADAD，PAPAADADA A， 所以所以CDCD平面平面PADPAD，从而，从而CDCDPDPD， 所以所以PDAPDA是二面角是二面角P P CDCD A A的平面角，的平面角， 所以所以PDAPDA45.45. 因为因为PAPAABAB，所以，所以PAPA平面平面ABCDABCD. . 设设BCBC1 1，则在，则在 RtRtPADPAD中，中，PAPAADAD2 2，作，作AyAy平面平面PADPAD，以，以A A为原点，以为原点，以AD，AP的方向分别为的方

23、向分别为x x轴、轴、z z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A A xyzxyz，则，则A A(0,0,0)(0,0,0)，P P(0,0,2)(0,0,2)，C C(2,1,0)(2,1,0)，E E(1,0,0)(1,0,0)， 所以所以PE(1,0(1,0，2)2)，EC(1,1,0)(1,1,0)，AP(0,0,2)(0,0,2) 设平面设平面PCEPCE的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )， 由由 n nPE0 0，n nEC0 0，得得 x x2 2z z0 0，x xy y0.0. 令令x x2 2，则，则n

24、 n(2(2，2,1)2,1) 设直线设直线PAPA与平面与平面PCEPCE所成角为所成角为， 则则 sin sin | |n nAP| | |n n|AP| |2 22 22 22 21 12 2221 13 3， 所以直线所以直线PAPA与平面与平面PCEPCE所成角的正弦值为所成角的正弦值为1 13 3. . 2.2.如图，在如图，在三棱柱三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，已知中，已知ABAB侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，ABABBCBC1 1，BBBB1 12 2，BCCBCC1 13 3. . (1)(1)求证：求证：BCBC1 1平面平面ABC

25、ABC； (2)(2)设设CE1CC (0(01)1)，且平面，且平面ABAB1 1E E与与BBBB1 1E E所成的所成的锐二面角的大小为锐二面角的大小为 3030，试求，试求的值的值 解：解：(1)(1)证明：因为证明：因为ABAB侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，BCBC1 1 侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，故，故ABABBCBC1 1， 在在BCCBCC1 1中，中，BCBC1 1，CCCC1 1BBBB1 12 2，BCCBCC1 13 3， 所以所以BCBC2 21 1BCBC2 2CCCC2 21 12 2BCBCCCCC1 1coscosBCCBCC1 1

26、1 12 22 22 2212cos212cos3 33 3， 所以所以BCBC1 1 3 3， 故故BCBC2 2BCBC2 21 1CCCC2 21 1， 所以所以BCBCBCBC1 1，而，而BCBCABABB B， 所以所以BCBC1 1平面平面ABCABC. . (2)(2)由由(1)(1)可知，可知，ABAB，BCBC，BCBC1 1两两垂直以两两垂直以B B为原点，为原点，BCBC，BABA，BCBC1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系 则则B B(0,0,0)(0,0,0)，A A(0,1,0)(0,1,0

27、)，B B1 1( (1 1， 0 0， 3 3) )，C C(1,0,0)(1,0,0)，C C1 1(0,0(0,0，3 3) ) 所以所以1CC( (1,0, 1,0, 3 3) )， 所以所以CE( (，0, 0, 3 3) )，E E(1(1，0, 0, 3 3) )， 则则AE(1(1，1 1， 3 3) )，1AB( (1 1，1 1， 3 3) ) 设平面设平面ABAB1 1E E的法向量为的法向量为n n( (x x，y y，z z) )， 则则 n nAE0 0，n n1AB0 0， 即即 x xy y 3 3zz0 0，x xy y 3 3z z0 0， 令令z z 3

28、3，则，则x x3 33 32 2，y y3 32 2， 故故n n 3 33 32 2，3 32 2， 3 3 是平面是平面ABAB1 1E E的一个法向量的一个法向量 因为因为ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C C， 所以所以BA(0,1,0)(0,1,0)是平面是平面BBBB1 1E E的一个法向量，的一个法向量， 所以所以|cos|cosn n，BA| | |n nBA | | |n n|BA| | 3 32 2 3 33 32 22 2 3 32 22 23 32 2113 32 2. . 两边平方并化简得两边平方并化简得 2 22 25 53 30 0， 所以所以1 1 或或3 32 2( (舍去舍去) )故故的值为的值为 1 1. .