高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测四十一利用空间向量求空间角理.doc

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1、题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何课精选高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测四十一利用空间向量求空间角理时达标检测四十一利用空间向量求空间角理一、全员必做题1已知直三棱柱 ABC

2、A1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为 B1C1 的中点，求异面直线 BD 和 A1C 所成角的余弦值解：如图所示，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 CACBCC12，则 A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，BD1 ACcos， ,| |).BD1 AC异面直线 BD 与 A1C 所成角的余弦值为.2(2016大连二模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABBC，AA12，AC2.M 是 CC1 的中点，P 是 AM 的中点，点 Q 在线段 BC

3、1 上，且BQQC1.(1)证明：PQ平面 ABC；(2)若直线 BA1 与平面 ABM 所成角的正弦值为，求BAC 的大小解：(1)取 MC 的中点，记为点 D，连接PD，QD.题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。2 / 9P 为 MA 的中点，D 为 MC 的中

4、点，PDAC.又 CDDC1，BQQC1，QDBC.又 PDQDD，平面 PQD平面 ABC.又 PQ平面 PQD，PQ平面 ABC.(2)BC，BA，BB1 两两互相垂直，以 B 为坐标原点，分别以BC，BA，BB1 所在的直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，设 BCa，BAb，则各点的坐标分别为 B(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，b,0)，A1(0，b,2)，M(a,0,1)，(0，b,2)，(0，b,0)，(a,0,1)1 BA BA BM设平面 ABM 的法向量为 n(x，y，z)，则0，,n0，)Error!取 x1，则可得平面 ABM 的一个法向

5、量为 n(1,0，a)，|cosn， |，1 BA又 a2b28，a44a2120，a22 或6(舍)，即 a.sinBAC，BAC.3.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ABC90，ABCADC，PAAC2AB2，E 是线段 PC的中点(1)求证：DE平面 PAB；题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于

6、想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。3 / 9(2)求二面角 DCPB 的余弦值解：(1)证明：以 B 为坐标原点，BA 所在的直线为 x 轴，BC 所在的直线为 y 轴，过点 B 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示则 B(0,0,0)，C(0， ，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，(1,0,1)，(1,0,2)，(1,0,0)DE BP BA设平面 PAB 的法向量为 n(a，b，c)，则0，,n0，)Error!n(0,1,0)为平面 PAB 的一个法向量又n0，DE平面 PAB，DEDE平面 PAB.(2)由(1)易知(0

7、， ，0)，设平面 PBC 的法向量为n1(x1，y1，z1)，BCDPDC则0，,n10，)令 x12，则 y10，z11，n1(2,0，1)为平面 PBC 的一个法向量设平面 DPC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则0，,n20，)Error!令 x21，则 y2，z21，n2(1， ，1)为平面 DPC 的一个法向量cosn1，n2，故二面角 DCPB 的余弦值为.二、重点选做题1.如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，平面APD平面 ABCD，PAPD，E 在 AD 上，且题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这

8、种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。4 / 9ABBCCDDEEA2.(1)求证：平面 PEC平面 PBD；(2)设直线 PB 与平面 PEC 所成的角为，求平面 APB 与平面 PEC所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：连接 BE.在PAD 中，PAPD，AEED，所以 PEAD.又平面 APD平面 ABCD，平面 APD平面 ABCDAD，所以 PE平面 AB

9、CD，又 BD平面 ABCD，故 PEBD.在四边形 ABCD 中，BCDE，且 BCDE，所以四边形 BCDE 为平行四边形，又 BCCD，所以四边形 BCDE 为菱形，故 BDCE，又 PEECE，所以 BD平面 PEC，又 BD平面 PBD，所以平面 PEC平面 PBD.(2)取 BC 的中点 F，连接 EF.由(1)可知，BCE 是一个正三角形，所以 EFBC，又 BCAD，所以 EFAD.又 PE平面 ABCD，故以 E 为坐标原点，分别以直线 EF、直线 ED、直线 EP 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都

10、不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。5 / 9设 PEt(t0)，则 D(0,2,0)，A(0，2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，1,0)因为 BD平面 PEC，所以(，3,0)是平面 PEC 的一个法向量，BD又(，1，t)， PB所以 cos， ,|). PBBD由已知可得 sin|cos， |，得

11、 t2(负值舍去) PBBD故 P(0,0,2)，(，1，2)，(，1,0) PBAB设平面 APB 的法向量为 n(x，y，z)，则由0，,n0，)可得Error!取 y，则 x，z，故 n(，)为平面 APB 的一个法向量，所以 cos，nn,| |n|).BD设平面 APB 与平面 PEC 所成的锐二面角为 ，则 cos |cos，n|.BD2如图 1，正方形 ABCD 的边长为4，ABAEBFEF，ABEF，把四边形 ABCD 沿 AB 折起，使得AD平面 AEFB，G 是 EF 的中点，如图 2.(1)求证：AG平面 BCE；(2)求二面角 CAEF 的余弦值解：(1)证明：连接 B

12、G，因为 BCAD，AD底面 AEFB，所以 BC底面 AEFB，又 AG底面 AEFB，所以 BCAG，因为 AB 綊 EG，ABAE，题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。6 / 9所以四边形 ABGE 为菱形，所以 AGBE，又 BCBEB，BE平面 BCE，B

13、C平面 BCE，所以 AG平面 BCE.(2)由(1)知四边形 ABGE 为菱形，AGBE，AEEGBGAB4，设 AGBEO，所以 OEOB2，OAOG2，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，ACAE设平面 ACE 的法向量为 n(x，y，z)，则n0，, n0，)所以Error!令 y1，则 x，z，即平面 ACE 的一个法向量为 n(，1，)，易知平面 AEF 的一个法向量为(0,0,4)，AD设二面角 CAEF 的大小为 ，由

14、图易知 ，所以 cos |,|n|).三、冲刺满分题1(2016四川高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90.题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。7 / 9(1

15、)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值解：(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行如图，延长 AB，DC 相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知，知 BCED，且 BCED，所以四边形 BCDE 是平行四边形，从而 CMEB.又 EB平面 PBE，CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(2)由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD，从而 CDPD，所以PDA 是二面角 PCDA 的平面角，所以PDA45.因

16、为 PAAB，所以 PA平面 ABCD.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2，作 Ay平面 PAD，以A 为原点，以，的方向分别为 x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，ADAP所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2) PEECAP设平面 PCE 的法向量为 n(x，y，z)，由0，,n0，)得Error!题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很

17、熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。8 / 9令 x2，则 n(2，2,1)设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，则 sin |,|n|)，所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为.2.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC1.(1)求证：BC1平面 ABC；(2)设 (01)，且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30，试求 的值 CE1 CC

18、解：(1)证明：因为 AB侧面 BB1C1C，BC1侧面 BB1C1C，故ABBC1，在BCC1 中，BC1，CC1BB12，BCC1，所以BCBC2CC2BCCC1cosBCC11222212cos3，所以 BC1，故 BC2BCCC，所以 BCBC1，而 BCABB，所以 BC1平面 ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1 两两垂直以 B 为原点，BC，BA，BC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则 B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(1，0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)所以(1,0, )，1 CC题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非

19、常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。9 / 9所以(，0, )，E(1，0, )， CE则(1，1，)，(1，1，)AE1 AB设平面 AB1E 的法向量为 n(x，y，z)，则0，,n0，)即Error!令 z，则 x，y，故 n是平面 AB1E 的一个法向量因为 AB平面 BB1C1C，所以(0,1,0)是平面 BB1E 的一个法向量， BA所以|cosn， | |,|n|) BA.|3 2|(33 2)2(3 2)2 32 1两边平方并化简得 22530，所以 1 或 (舍去)故 的值为 1.