考点17 特殊的平行四边形-中考数学考点一遍过.doc

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1、考点17 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2SABD=4SAOB（如图）2矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形二、菱形的性质与判定1菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半2菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形三、正方形的性质与判定1正方形的性质：（1）四条边都相等，四

2、个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2SABD=4SAOB2正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；学科+网（4）对角线相等且互相垂直、平分四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四

3、边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一 矩形的性质与判定1矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等2利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形典例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是AAB=CD，AC=BDBOA=OC，OB=ODCACBD，AC=BDDABCD，AD=BC【答案】B【

4、名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形此类题属于中考常考题型典例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A1 cmB2 cmC3 cmD4 cm【答案】C【解析】四边形ABCD是矩形，OA=OC=OB=OD=3 cm，AOB=60°，AOB是等边三角形，AB=OA=3 cm，故选C【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出AOB是等边三角形是解题的

5、关键1能判断四边形是矩形的条件是A两条对角线互相平分B两条对角线相等C两条对角线互相平分且相等D两条对角线互相垂直2如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AEBD于点E，若DAEBAE=31，则EAC的度数是A18°B36°C45°D72°考向二 菱形的性质与判定1菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是A两组对边分别平行B两组对边分别

6、相等C一组邻边相等D对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：BO=DO（答案不唯一）学科-网3已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻

7、角度数分别为A45°，135°B60°，120°C90°，90°D30°，150°4如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形考向三 正方形的性质与判定1正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质2正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形典例5如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE=BC，

8、则BEC的度数是A45°B60°C67.5°D82.5°【答案】C【解析】四边形ABCD是正方形，CBD=45°，BC=BE，BEC=BCE=×（180°45°）=67.5°故选C典例6下列命题正确的是A对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B对角线相等的四边形是矩形C一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大5如图，已知正方形ABCD的边长为5，

9、E为BC边上的一点，EBC=30°，则BE的长为AB2C5D106如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明AAB=AD且ACBDBAB=AD且AC=BDCA=B且AC=BDDAC和BD互相垂直平分考向四 中点四边形1中点四边形一定是平行四边形；2中点四边形的面积等于原四边形面积的一半典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

10、B当E，F，G，H是各边中点，且ACBD时，四边形EFGH为矩形C当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且ACBD时，存在EFG=FGH=GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EFHG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D如图所示，

11、当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D7顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A平行四边形 B菱形C矩形 D梯形 8如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是AS1=3S2 B2S1=3S2 CS1=2S2 D3S1=4S21如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB=30°，AB=4，则OC=A5B4C3.5D32如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于

12、点O，AEBD于点E，若DAEBAE=31，则EAC的度数是A18°B36°C45°D72°3如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为ABCD15 4如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为AcmBcmCcmDcm5如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A30B24C18D66如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则AMD的度数是A75°B60

13、6;C54°D67.5°7如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，BFE=65°，则AEB=_.8如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么GCE的面积是_9如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长10如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；学!科网（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形 11如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分ECF（1）求证：四

14、边形AECF为菱形（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积1（2018·台州）下列命题正确的是A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2（2018·淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A20B24C40D483（2018·烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B两点重合，MN是折痕若B'M=1，则CN的长为A7B6C5D44（2018·内江）如图，将矩形

15、ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知BDC=62°，则DFE的度数为A31°B28°C62°D56°5（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EGAB，EIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于A1BCD6（2018·牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A6B5C4D37（2018·贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=

16、6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是A6B3C2D4.58（2018·湘潭）如图，已知点E、F、GH分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是A正方形B矩形C菱形D平行四边形9（2018·嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是A B CD10（2018·甘孜州）如图，在菱形中，对角线与相交于点于点，交于点，则的长为_11（2018·锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AHBC于点H，连接OH若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为_1

17、2（2018·攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足SPAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为_13（2018·葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为_14（2018·广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EFAM，垂足为F，求证：AB=EF15（2018·郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF求证：四边形BFDE

18、是菱形16（2018·沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是_变式拓展1【答案】C【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误；B、等腰梯形的对角线也相等，故错误；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选C3【答案】B【解析】如图，由题意知AB=BC=AC，AB=BC=AC，ABC为等边三角形，即根据平行四边形的性质，故选B4【解析】DEAC，DFA

19、B，四边形AEDF为平行四边形，FAD=EDA，AD是BAC的平分线，EAD=FAD，EAD=EDA，AE=ED，四边形AEDF是菱形5【答案】D【解析】设，根据勾股定理，故选D6【答案】B【解析】A根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形； B根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形； C根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形； D根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所

20、以不能判断四边形ABCD是正方形故选B7【答案】C【解析】顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2故选C考点冲关1【答案】B【解析】四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，BAD=90°， AC=BD=2AB=8，OC=AC=4故选B2【答案】C【解析】四边形ABCD是矩形，BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，OA=OB，OAB=OBA，DAEBAE=31，BAE=×90°=22

21、.5°，AEBD，AEB=90°，OAB=OBA=90°22.5°=67.5°，EAC=67.5°22.5°=45°故选C3【答案】B【解析】如图，连接AF根据折叠的性质，得EF垂直平分AC，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得在中，根据勾股定理，得AC=5，则AO=2.5在中，根据勾股定理，得根据全等三角形的性质，可以证明则故选B4【答案】B【解析】菱形ABCD的对角线ACBD，OA=AC=4 cm，OB=BD=3 cm，根据勾股定理，（cm）设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm故选B5【答

22、案】B【解析】P、Q分别是AD、AC的中点，PQ是ADC的中位线，DC=2PQ=6又在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，C菱形ABCD=6+6+6+6=24故选B6【答案】B【解析】如图，连接BD，由已知条件可得；BCE=BCD+DCE=90°+60°=150°，BC=EC，EBC=BEC=（180°BCE）=15°，BCM=BCD=45°，BMC=180°（BCM+EBC）=120°，AMB=180°BMC=60°，正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，BM=DM，AMD=AMB=

23、60°，故选B7【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得ADBC，1=BFE=65°，由翻折得2=1=65°，AEB=180°12=180°65°65°=50° 故答案为：50°8【答案】【解析】正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，正方形ABCD的边长为，正方形BEFG的边长为2，CE=2，GCE的面积=CE·BG=×（2）×2=2故答案为：29【解析】（1）AB=6，BC=8，AC=10，AB2+BC2=AC2，ABC=90°，四

24、边形ABCD是平行四边形，ABCD是矩形（2）四边形ABCD是矩形，BD=AC=10.10【解析】（1）在ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EFAC，且EF=AC，同理有GHAC，且GH=AC，EFGH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形 （2）当AC=BD且ACBD时，四边形EFGH是正方形依题意可证得EHBD且EH=BD，若AC=BD，则有EH=EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形，ACBD，EHG=90°，四边形EFGH是正方形直通中考1【答案】C【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；对

25、角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选C2【答案】A【解析】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AOBO，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20故选A3【答案】D【解析】连接AC、BD，如图，点O为菱形ABCD的对角线的交点，OC=AC=3，OD=BD=4，COD=90°，在RtCOD中，CD=5，ABCD，MBO=NDO，在OBM和ODN中，OBMODN，DN=BM，过点O折叠菱形，使B，B两点重合，MN是折痕，BM=B'M=1，DN=1，CN=CD-DN=5-1=4故选D4【答案】D【解析】四边形AB

26、CD为矩形，ADBC，ADC=90°，FDB=90°-BDC=90°-62°=28°，ADBC，CBD=FDB=28°，矩形ABCD沿对角线BD折叠，FBD=CBD=28°，DFE=FBD+FDB=28°+28°=56°故选D学-科网5【答案】B【解析】四边形ABCD是正方形，直线AC是正方形ABCD的对称轴，EGAB，EIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为G，I，H，J根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，S阴=S正方形ABCD=，故选B6【答案】B【解析】由题意得

27、：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，EFC=B=，ABCD为矩形，可得AED=CDF，在AED与FDC中有AD=CF，A=DFC=，AED=CDF，AEDFDC，ED=CD，设CD的长为x，在RtEAD中，有，即，解得x=5，故选B7【答案】C【解析】如图，作点E关于AC的对称点E，过点E作EMAB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE+PM=EM，四边形ABCD是菱形，点E在CD上，AC=6，BD=6，AB=，由S菱形ABCD=AC·BD=AB·

28、EM得×6×6=3·EM，解得EM=2，即PE+PM的最小值是2，故选C8【答案】B【解析】如图，连接AC、BD交于点O，AC交FG于L四边形ABCD是菱形，ACBD，DH=HA，DG=GC，GHAC，同理可得：，EFAC，GH=EF，GHEF，四边形EFGH是平行四边形，同理可证：GFBD，OLF=AOB=90°，ACGH，HGL=OLF=90°，四边形EFGH是矩形故选B10【答案】【解析】四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=AC=×8=4，DO=BD=×6=3，AD=5，S菱形ABCD=AC·BD=AD&#

29、183;EF，×8×6=5EF，EF=，故答案为：11【答案】3【解析】四边形ABCD是菱形，OB=4，OA=OC，BD=2OB=8S菱形ABCD=24，AC=6AHBC，OA=OC，OH=AC=3故答案为：312【答案】4【解析】设ABP中AB边上的高是hSPAB=S矩形ABCD，AB·h=AB·AD，h=AD=2，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB=4，AE=2+2=4，BE=，即PA+PB的最小值为4故答案为：4学科网13【答案】（2，

30、-3）【解析】四边形OABC是菱形，A、C关于直线OB（x轴）对称，A（2，3），C（2，-3），故答案为：（2，-3）14【解析】四边形ABCD为正方形，B=90°，ADBC，EAF=BMA，EFAM，AFE=90°=B，在ABM和EFA中，ABMEFA（AAS），AB=EF15【解析】在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA），OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EFBD，四边形BFDE为菱形16【解析】（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，COD=90°CEOD，DEOC，四边形OCED是平行四边形，又COD=90°，平行四边形OCED是矩形（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2四边形ABCD是菱形，AC=2OC=4，BD=2OD=2，菱形ABCD的面积为：AC·BD=×4×2=4，故答案为：4