函数项级数讲稿.ppt

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1、关于函数项级数第一页，讲稿共四十九页哦第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质

2、（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第二页，讲稿共四十九页哦第三章 函数的极限与连续性第六节 幂 级 数一.函数项级数二.幂级数及其敛散性三.幂级数的运算第三页，讲稿共四十九页哦1.函数项级数的定义设有一函数序列为定义在区间 I 上的函数项级数.一、函数项级数第四页，讲稿共四十九页哦函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数第五页，讲稿共四十九页哦2.函数项级数的敛散性的收敛点.的发散点.第六页，讲稿共四十九页哦它的收敛域,记为 D.它的发散域.第七页，讲稿共四十九页哦3.函数项级数的和函数为函数项级数的和函数.第八页，讲稿共四十九页哦称函数项级数的

3、前 n 项之和为其部分和：不论级数在点处是否收敛,均可写出其部分和.如果级数在点处收敛,则有第九页，讲稿共四十九页哦4.函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数的敛散性判别法,判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.第十页，讲稿共四十九页哦并求其收敛域.即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为解解例例1第十一页，讲稿共四十九页哦的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.故该级数的收敛域为:要打开思路!解解例例2第十二页，讲稿共四十九页哦几个问题几个问题在级数一致收敛的条件下,以上两个问题的答案是:肯定成立.第十三页，讲稿共四十九页哦5.函数项级数的一致收敛性一致收敛性的定义一

4、致收敛性的定义由定义:函数项级数一致收敛则必收敛.第十四页，讲稿共四十九页哦 由于函数项级数的部分和函数以及和函数都是定义在收敛域 D 上的函数,故可以运用函数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致收敛性.请看书中的柯西收敛原理!第十五页，讲稿共四十九页哦 魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判别法魏尔斯特拉斯判别法.魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法关键!第十六页，讲稿共四十九页哦证证例例3第十七页，讲稿共四十九页哦形如的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.1.幂级数的定义幂级数的定义二.幂级数及其敛散性第十八页，讲稿共四十九页哦幂级数的一般形式为

5、第十九页，讲稿共四十九页哦当幂级数收敛时,由可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当 n 的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.第二十页，讲稿共四十九页哦由此可联想到什么？2.幂级数的敛散性首先进行分析：则由收敛的必要条件,有而有极限的量必有界,故第二十一页，讲稿共四十九页哦它是收敛的,结论结论:第二十二页，讲稿共四十九页哦（）收敛以上分析结论的图示以上分析结论的图示:第二十三页，讲稿共四十九页哦（）发散若在外部一点收敛,会怎么样？若在内部一点收敛,会怎么样？不怎么样推出推出第二十四页，讲稿共四十九页哦则由上面的分析可知,所有满足这与假设矛盾.该矛盾说明:当原级数发散.第二

6、十五页，讲稿共四十九页哦由以上的分析发现：既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.第二十六页，讲稿共四十九页哦（）收发幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.当幂级数仅在第二十七页，讲稿共四十九页哦 现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.第二十八页，讲稿共四十九页哦阿贝尔定理阿贝尔定理第二十九页，讲稿共四十九页哦幂级数敛散性定理幂级数敛散性

7、定理都存在一个非负第三十页，讲稿共四十九页哦幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数的收敛半径.如何求收敛半径？第三十一页，讲稿共四十九页哦求收敛半径的定理求收敛半径的定理 你能证明吗?有点像达朗贝尔判别法？第三十二页，讲稿共四十九页哦由达朗贝尔判别法：讨论要证证第三十三页，讲稿共四十九页哦第三十四页，讲稿共四十九页哦第三十五页，讲稿共四十九页哦故此时幂级数发散,仅当第三十六页，讲稿共四十九页哦例例3解解综上所述,得:第三十七页，讲稿共四十九页哦谁的收敛半径？例例4解解第三十八页，讲稿共四十九页哦由交错级数判别法,可知此时级数收敛.第三十九页，讲稿共四十九页哦例例

8、5解解第四十页，讲稿共四十九页哦由级数收敛的必要条件,可知综上所述,第四十一页，讲稿共四十九页哦这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式.今后遇到这类级数应该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗贝尔判别法.例例6解解第四十二页，讲稿共四十九页哦 幂级数的运算 幂级数的四则运算 幂级数的解析运算三.幂级数的运算第四十三页，讲稿共四十九页哦幂级数的四则运算幂级数的四则运算设有两个幂级数则有以下运算规则第四十四页，讲稿共四十九页哦1.1.加、减法加、减法第四十五页，讲稿共四十九页哦2.2.乘乘 法法 (对角线法对角线法)第四十六页，讲稿共四十九页哦第四十七页，讲稿共四十九页哦就是说,在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.第四十八页，讲稿共四十九页哦感谢大家观看27.09.2022第四十九页，讲稿共四十九页哦