复变函数项级数讲稿.ppt

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1、复变函数项级数复变函数项级数第一页，讲稿共二十五页哦一、复变函数项级数一、复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为称为复变函数项级数复变函数项级数,记作记作 2 2第二页，讲稿共二十五页哦部分和部分和级数收敛级数收敛3 3第三页，讲稿共二十五页哦称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定和函数和函数 4 4第四页，讲稿共二十五页哦二、二、幂级数幂级数（函数项级数的特殊情形）（函数项级数的特殊情形）或或级数称为级数称为幂级数幂级数.5 5第五页，讲稿共二十五页哦1

2、.幂级数的收敛集合幂级数的收敛集合 定理定理1(阿贝尔定理阿贝尔定理)6 6第六页，讲稿共二十五页哦所以由定理所以由定理4.3因此存在一个正常数因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数对于任意的非负正数n均有，均有，证明证明：7 7第七页，讲稿共二十五页哦收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，收敛，收敛，从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛.8 8第八页，讲稿共二十五页哦定理定理1 1的几何意义的几何意义说明：说明：9 9第九页，讲稿共二十五页哦推论推论推论的几何意义推论的几何意义1010第十页，讲稿共二十五页哦1111第十一页，讲稿共二十五页哦1212第

3、十二页，讲稿共二十五页哦2.2.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:比值法比值法:那末收敛半径那末收敛半径方法方法2:2:根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径说明说明:如果如果1313第十三页，讲稿共二十五页哦解答解答课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.1414第十四页，讲稿共二十五页哦3.3.幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?注意注意:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.例例1 1：求下列级数的收敛半径,并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。1515第十五页，讲稿共二十五页哦例例2求幂级数的收敛半径求

4、幂级数的收敛半径:(并讨论并讨论时的情形时的情形)解解说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，1616第十六页，讲稿共二十五页哦三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算1717第十七页，讲稿共二十五页哦2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展

5、开成幂级数.1818第十八页，讲稿共二十五页哦1919第十九页，讲稿共二十五页哦2020第二十页，讲稿共二十五页哦性质性质设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数级数逐项求导逐项求导得到得到,是收敛圆是收敛圆内的内的解析函数解析函数.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质2121第二十一页，讲稿共二十五页哦(3)在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分,简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即2222第二十二页，讲稿共二十五页哦例例3 3 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为2323第二十三页，讲稿共二十五页哦级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,2424第二十四页，讲稿共二十五页哦感谢大家观看10/2/2022第二十五页，讲稿共二十五页哦