2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(安徽卷含答案).doc

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(安徽卷,含答案) 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2 答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3 答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体

2、工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在答题卷、草稿纸上答题无效。4 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式:如果事件A、B互斥,那么 S表示底面积,h表示底面上的高 P(A+B)= P(A)+ P(B) 棱柱体积 V=Sh如果事件A、B相互独立,那么 棱锥体积 P(AB)= P(A)P(B) 第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)i是虚数单位,若(a、bR),则乘积a

3、b的值是(A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15(2)若集合A=x2x-13,B=x0,则AB是 (A)x-1x或2x3 (B)x2x3(C)xx2 (D)x-1x(3)下列曲线中离心率为的是(A) (B)(C) (D)(4)下列选项中,是的必要不充分条件的是(A), (B), 的图像不过第二象限(C), (D), 在上为增函数(5)已知为等差数列,。以表示的前n项和,则使得达到最大值的n是(A)21 (B)20 (C)19 (D)18(6)设,函数的图像可能是 (7)若不等式组 所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则k的值是(A) (B) (C) (D)(8)已知函数,的图像与

4、直线的两个相邻交点的距离等于,则的单调递增区间是(A) (B)(C) (D)(9)已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是(A) (B) (C) (D)(10)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(A) (B) (C) (D)(在此卷上答题无效)2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(理科)第卷(非选择题 共100分)考生注意事项: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二. 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位

5、置.(11)若随机变量XN(,2),则P(X)= .(12)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的=2+1=1结束开始输出a否第(13)题图 极坐标方程为,它与曲线 (为参数)相交于两点A和B,则 |AB|= .(13)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 .(14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若,其中,则x+y的最大值是 .第(14)题图(15)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 相对棱AB与CD所在的直线异面;由顶点A作四面体的高,其

6、垂足是BCD三条高线的交点;若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面;分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内。(16)(本小题满分12分)在ABC中,sin(C-A)=1,sinB=.()求sinA的值;()设AC=,求ABC的面积. (17)(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染的。对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染

7、的,于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望)。(18)(本小题满分13分)如图,四棱椎F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=.AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.() 求二面角B-AF-D的大小;() 求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。 ECBDFA第(18)题图(19)(本小题满分12分)已知函数 (20)(本小题满分13分)点P(x0,y0)在椭圆1(ab0

8、)上,x0=, y0=. 直线与直线: 垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.()证明:点P是椭圆 与直线的唯一交点;()证明:tan,tan,tan构成等比数列。(21)(本小题满分13分)首项为正数的数列满足.()证明:若 为奇数,则对一切 , 都是奇数;()若对一切,都有,求的取值范围。W数学(理科)试题 第4页(共4页)2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)一. 选择题1-10. BDBAB CACAD 1、解析 ,选B。2、解析集合,选D3、解析由得,选B4、解析:由b且cdb+d,而由b+d b且cd,可举反例。选A5、解析:由+=105得即

9、,由=99得即 ,由得,选B6、解析:,由得,当时,取极大值0,当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时,当时,选C 7、解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A(1,1),又B(0,4),C(0,)ABC=,设与的交点为D,则由知,选A。 8. 解析:,由题设的周期为,由得,故选C9、解析:由得,即,切线方程为,即选A10、解析 如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有ABCDEF种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对,所以所求概率为,选D二. 填空题11、解析 12、解析 直线的普通方程为,曲线的普通方程13、解析

10、 由程序框图知,循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、63、127,故输出的结果是127。14、解析设 ,即15、解析三解答题16、解:()由,且,ABC,又,()如图,由正弦定理得,又17、解:随机变量X的分布列是X123PX的均值为 附:X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是:ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下,A直接感染了一个人;在情形、之下,A直接感染了两个人;在情形之下,A直接感染了三个人。18、解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故

11、BDAF。 于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角BAFD 的平面角。由, ,得,由,得(向量法)以A为坐标原点,、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设平面ABF的法向量,则由得令,得,同理,可求得平面ADF的法向量。 由知,平面ABF与平面ADF垂直,二面角B-AF-D的大小等于。(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD,P为垂足。因为EA平面ABCD,FC平面ABCD,所以平面ACFE平面ABCD,从而由得。又因为故四棱锥H-ABC

12、D的体积 19、解:的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当,即时, 方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.20、解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解:(I)(方法一)由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程,得即故P与Q重合。(方法三)在第一象限内,由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此,就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点。(II)的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。21、解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,则由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法,对任何,都是奇数。(II)(方法一)由知,当且仅当或。另一方面,若则;若,则根据数学归纳法,综合所述,对一切都有的充要条件是或。(方法二)由得于是或。 因为所以所有的均大于0,因此与同号。根据数学归纳法,与同号。因此,对一切都有的充要条件是或。 - 12 -

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