2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽卷含答案）.doc

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽卷，含答案） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体

2、工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。4 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 S表示底面积，h表示底面上的高 P（A+B）= P（A）+ P（B） 棱柱体积 V=Sh如果事件A、B相互独立，那么 棱锥体积 P（AB）= P（A）P（B） 第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i是虚数单位，若（a、bR），则乘积a

3、b的值是（A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15（2）若集合A=x2x-13，B=x0,则AB是 （A）x-1x或2x3 （B）x2x3（C）xx2 （D）x-1x（3）下列曲线中离心率为的是（A） （B）（C） （D）（4）下列选项中，是的必要不充分条件的是（A）， （B）， 的图像不过第二象限（C）， （D）， 在上为增函数（5）已知为等差数列，。以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是（A）21 （B）20 （C）19 （D）18（6）设，函数的图像可能是 （7）若不等式组 所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（A） （B） （C） （D）（8）已知函数，的图像与

4、直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（A） （B）（C） （D）（9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A） （B） （C） （D）（在此卷上答题无效）2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第卷（非选择题 共100分）考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位

5、置.（11）若随机变量XN（，2），则P（X）= .（12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的=2+1=1结束开始输出a否第（13）题图 极坐标方程为，它与曲线 （为参数）相交于两点A和B，则 |AB|= .（13）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 .（14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若，其中，则x+y的最大值是 .第（14）题图（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. 相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其

6、垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内。（16）（本小题满分12分）在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.()求sinA的值；()设AC=，求ABC的面积. (17)(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的。对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染

7、的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）。（18）（本小题满分13分）如图，四棱椎F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2,BD=.AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.() 求二面角B-AF-D的大小；() 求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。 ECBDFA第（18）题图（19）（本小题满分12分）已知函数 (20)(本小题满分13分)点P（x0,y0）在椭圆1(ab0

8、)上，x0=, y0=. 直线与直线： 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（）证明：点P是椭圆 与直线的唯一交点；（）证明：tan,tan,tan构成等比数列。（21）（本小题满分13分）首项为正数的数列满足.()证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；()若对一切，都有，求的取值范围。W数学（理科）试题 第4页（共4页）2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一. 选择题1-10. BDBAB CACAD 1、解析 ，选B。2、解析集合，选D3、解析由得，选B4、解析：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A5、解析：由+=105得即

9、，由=99得即 ，由得，选B6、解析：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C 7、解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 8. 解析：，由题设的周期为，由得，故选C9、解析：由得，即，切线方程为，即选A10、解析 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有ABCDEF种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对，所以所求概率为，选D二. 填空题11、解析 12、解析 直线的普通方程为，曲线的普通方程13、解析

10、 由程序框图知，循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出的结果是127。14、解析设 ，即15、解析三解答题16、解：（）由，且，ABC，又，（）如图，由正弦定理得，又17、解：随机变量X的分布列是X123PX的均值为 附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人。18、解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故

11、BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得，由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为故四棱锥H-ABC

12、D的体积 19、解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时， 方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.20、解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。21、解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。 - 12 -