第25讲 剪刀模型（解析版）.docx

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1、第25讲 剪刀模型1已知函数，（）求的单调区间；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：【解析】（）解：由，可得当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减的单调递增区间为，单调递减区间为（）证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令函数，即，则，当时，；当，时，在上单调递增，在，上单调递减，对于任意实数，即对任意实数，都有；（）证明：由（）知，设方程的根为，可得在上单调递减，又由（）知，因此类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即设方程的根为，可得，在上单调递增，且，因此，由

2、此可得2已知函数，其中（1）讨论的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，求证：【解析】解：（1）由，可得，其中，且下面分两种情况讨论：当为奇数时，令，解得，或，当变化时，的变化情况如下表： 递减 递增递减所以，在，上单调递减，在单调递增；当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；所以，在单调递增，在上单调递减；（2）证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，当，时，所以在内单调递增，在，上单调递减，所以对应

3、任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有（3）证明：不妨设，由（2）知，设方程的根为，可得，由（）知，可得类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对于任意的，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，由此可得：，因为，所以，故：则，所以当时，即有3已知函数，其中，且（）讨论的单调性；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（）若关于的方程为实数）有两个正实数根，求证：【解析】（本题满分为14分）解：（）由，可得，其中，且下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时，令，解得，或，当变化时，的变化情况如下表： 所以，在，上单调递减，在单调递增

4、（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；所以，在单调递增，在上单调递减；（）证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，当，时，所以在内单调递增，在，上单调递减，所以对应任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有（）证明：不妨设，由（）知，设方程的根为，可得，由（）知，可得类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对于任意的，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，由此可得：，因为，所以，故：所以：4已知函数在点，处的切线方程为（1）求，；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处

5、的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，且，证明：【解析】解：（1）将代入切线方程中，有，所以，即，又，所以若，则，与矛盾，故（2）证明：由（1）可知，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为曲线在点处的切线方程为，则，令，则，所以，当时，若，若，在时单调递增，故，在上单调递减，当时，由知在时单调递增，在上单调递增所以，即成立（3）证明：，设的根为，则，又单调递减，且，所以，设曲线在点处的切线方程为，有，令，当时，当时，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故又，所以5已知

6、函数（1）求在点，处的切线方程；（2）若，证明：在，上恒成立；（3）若方程有两个实数根，且，证明：【解析】解：（1）函数，由，由，所以切线方程为，（2）当，时，所以故只需证，构造，又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，故（1）因此，得证（3）由（1）知在点，处的切线方程为构造，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增又，所以在上单调递减，在上单调递增所以设方程的根又，由在上单调递减，所以另一方面，在点处的切线方程为构造，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增又，（1），所在上单调递减，在上单调递增所以（1）设方程的根又，由在上单调递增，所以，所以，得证6已知函数，曲线在原

7、点处的切线为（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程为正实数）有不等实根，求证：【解析】证明：（1）因为，由已知得：，解得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，又，（2），所以，存在，使得即曲线与轴正半轴有交点，；（2）曲线在点处的切线，令，则，又当时，单调递增，当，时，单调递减，所以对任意实数都有，即对任意实数都有，故曲线上的点都不在直线的上方；（3）因为，所以为减函数，设方程的根为，由（2）可知，所以记，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，对任意的实数，都有，即设方程的根，则，所以于

8、是，令，又，则，所以在，上为增函数，又，所以，所以7已知函数，（）求函数的极值；（）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：【解析】解：（）由已知得：由得：又当时，单调递增，当时，单调递减，当时取得极大值，极大值为（1），无极小值（3分）（）设，则，曲线在点处的切线方程为：，即曲线在点处的切线方程为：（6分）（）设，令即，则由于在单调递减，故在单调递减，又，当时，当，时，在单调递增，在，单调递减，即，都有；设方程的根为，在单调递减，且，设曲线在点原点处的切线方程为：，则易得，有，即，设方程的根为，则，在单调递增，且，即8已知函数，是的极值点（

9、）求的值；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线求证：曲线上的点都不在直线的上方；（）若关于的方程有两个不等实根，求证：【解析】（）解：；由题意知，；（）证明：设曲线在，处切线为直线；令；在上单调递增，在，上单调递减；，即，即上的点都不在直线的上方；（）由（）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；在上单调递增；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；关于的函数在上单调递增；9已知函数，其中，是自然对数的底数设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；若关于的方程为正实数）有两个不等实根，求证：【解析】证明：由题意可得：，可得：曲线在

10、点处的切线为，令，可得函数在上单调递减，在，上单调递增，因此：曲线上的点都不在直线的上方由可得：，解得曲线在点处的切线为，同理可得：在点处的切线为：与，的交点的横坐标分别为，则，下面证明：10已知函数，在点，（1）处的切线方程记为，令设函数的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；关于的方程为正实数）有两个实根，求证：【解析】证明：（1），（1）在点处的切线方程为：，记为，由，解得，在点处的切线为令可得函数在上单调递减，在，上单调递增，因此曲线上的点都不在直线的上方在点处的切线为同理可得：在点处的切线为：与，的交点的恒坐标分别为，则，日期：2021/3/8 16:33:20；用户：程长月；邮箱：hngsgz031；学号：25355879