第25讲 双变量问题之拐点偏移（解析版）.docx

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1、第二十五讲 双变量问题之拐点偏移知识与方法1 .拐点：在飞的某邻域内，是函数y = x)图象凹与凸的分界点，则尸为函 数) =/(力图象的拐点.若尸说是函数y = x)图象的拐点，则必有广宙)=0,如图1 所示.2 .拐点偏移：极值点偏移问题是以轴对称为背景产生的偏移问题，相应的，拐点偏移 问题则是以中心对称为背景产生的偏移问题,当曲线 =尤)在拐点P处左右两侧的递增 (或递减)速率不对称，一般会形成拐点偏移,如图2所示，设fi(x2,/(x2)为函数y = .f(x)图象上两点，满足“西)+ /(%) = 2，则从图上看，必有 玉+ % % + 2 = 2% ,其中左为点C的横坐标.典型例题

2、【例题】已知函数f (%) = 2山% + %2+% ,广(X)为/(X)的导函数.(1)求广(弓的极值；(2)若正实数为,工2满足/(川)+ /(工2)=4 ,证明：石+%22.【解析】(1)由题意，r(x) = - + 2x + l,/(牡=+ 2=2(尤 + 141), x0, XX所以/(x)Ooxl，,f(x)OoOx0,所以在(0,+8)上单调递增,且/=2,不妨设玉/，若则/(%) + /(工2)4，不合题意，若玉4 ,不合题意，所以0不1 2 ,只需证% 2-x,即证/(x2) /(2-3)，因为由）+ /（%2）= 4，所以/（%） = 4 -7（西），代入式知只需证4一斗）

3、/（2 - X）,即证/（2-%） + /（xJ 40 ,令尸（力=/（2-x） + /（x） 4 （0cx0, v） y2-x、7） xx（x-2）所以尸（力在（0,1）上单调递增,结合产=2/-4 = 0知*x）0,从而F（Xj） = /（2-XJ + /（Xj）-4O ,故不等式大+赴2成立.强化训练1.己知函数广(力为，的导函数.(1)求广(力的单调区间；(2)若改%2，且西)+ /(%2)= 4 ,证明：%+0oxl , /(X)OOX0,所以外力在R上单调递增,且/=2,若为%241，则/(%) + /()4，不合题意，若1% 4 ,不合题意，所以西1工2，要证不+/ 2 ,只需证

4、马 2-玉，结合“X)在R上单调递增知只需证工2) /(2-x) ，又/(xj + .f ()= 4 ,所以/()=4一/(西)，代入知只需证4一/(f)0 ,下面证明/(2 现)+ /(现)-40对任意的不 2 eJ 2 = 0 ,所以F(x)在(8,1)上单调递增， 结合尸=。可得(同0 ,因为N 0 ,故不等式.占+.2成立, 2.已知函数 /(x) = 2xnx-x2+1.(1)证明：/(x)l；(2)若 0% 2 .【解析】(1)由题意,/(x)-1 = 2xlnx-x2=x(21nx-x),设 g(x) = 21nx-x (x0),则gf(x) = -当 X(0,2)时,gx)0

5、,所以 g(x)单调递增；当 X(2,+oo)时，gx)vO, 所以 g(x)单调递减，从而 g(Mmax =g(2)= 21n2-2 = 2(ln2-l)0,故 g(x)0 恒成立，所 以 /(x)-l = xg(x)。,故/(x)OoOxl，/(x)l,从而/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+上 单调递减,故广(%)/=0,所以/(x)在(0,+8)上单调递减，且/=0, 若0不0，不合题意，若1为%2，则/(再)+ /(工2)0，不合题意，所以0%12 ,只需证% 2-玉，结合/(X)在(0,+8)上单调递减知只需证 /(%2)/(2-百)，又 /(%1) + /(x2) = 0

6、,所以 /(%2) = -/(),故只需证-/(%1)0,令 F(x) = /(x) + /(2-x), 0cx1, + 4-4x, 2-x/ (x) = 2.2-xx2t_(T).x 4 = 4(2-x)2%(2-工)-4 = 0,所以 F(x)在(0,1)上 x + 2-x、2)贝u F(x) = /f(x)-/2-x) = 21nx + 2-2x-21n(2-x) + 2-2(2-) = 21n单调递增，又F=0,所以F(x)0,从而尸(x)在(0,1)上单调递减,因为/1) = 2/=0, 所以尸(x)0,因为。%0 ,即不等式成立，故 % + % 2.3 .已知函数 f(x) = e

7、x -xlnx + x-1(1)讨论力的单调性;(2)设 0为 2.【解析】(1)由题意，f(x) = ex-nx,/(同=产7L x0,当xw(0,l)时,-eAl 1 ,所以/(x)v0,故广(x)单调递减， ex当 x(l,+oo)时，eAl 1 , 0-1 ,所以/(X)尸=10,故外力在（0,+oo）上单调递增.（2）由（1）可得/（力在（0,+8）上单调递增，且若0%1，贝1J /（玉）+ /（尤2）2，不合题意，若1工再 2 ,不合题意，所以0%12,只需证尤2 2-3 ,又在（0,+co）上单调递增，所以只需证/伍）/（5），因为） + /（%2）= 2,所以/（可）=2-/（

8、石），代入式知只需证2_/（再）/（2 ,即证/（Xj） + /（2-）-20 ,4F（x）=/（x）+/（2-x）-2（01）,贝lj Fr(x) = /f(x)-/,(2-x) = eA-I - lnx-elx +ln(2-x),设z(x) =(2-x)/-l(Ox 0 , 所以m(x)在(0,1)上单调递增，结合m(l) = 0知 0 ,设 = xexx-1(0x 0 ,所以 在(0,1)上单调递增,2-x结合 (1)=。知 n(x)0 ,所以 FM(x)=叫 0,从而尸在（0,1）上单调递增,又产=0,所以Rx）0, 因为所以/（） = /（玉）+ /（2 ） 20的过程也可按下面的放

9、缩法来完成.尸 （x） = e,易证ezx + l,当且仅当x = 0时等号成立, ） x 2-x=exx (x-l) + l x所以当工(0,1)时，-1=477= ， 7Jr 0X)+ l 2-X从而F（x）。，接下来的做法同上.4 .已知函数/（X）= x lnx , g（x） = 4x3 -3x? 6 lnx 1.（1）若+ 1恒成立，求实数4的取值范围；（2）若。%ax + l x-lnxax + l6f0oxl, F（x）00xl,从而尸（x）在（0,1）上单调递 X减，在（1,+OO）上单调递增，故尸（X）而n=/（l） = 0,因为4方（力恒成立，所以0),则 /z7x) =

10、l =，所以 x)0oxl ,x x/f(x) 0 = 0x /(1)= 0 ,所以夕NO,故g(力在(0,+8)上单调递增,且g=0,若。%工241，则 g(X1) + g(x2)。，不合题意，若14不。，不合题意，所以。不1，下面先证明玉+/ 2，而要证王+/2,只需证1, %1,且g(x)在(1,+8)上单调递增，所以要证0 ,设(x) = g(x) + g(2 x) , Ovxvl,贝 Ud(x) = g，(x) g，(2-X)= 12 12x-12xlnx-12(2-+12(2-x) + 12(2-x)ln(2-x)=122x-2-xlnx +(2-x)ln(2-x),所以叫x) = T21nl-(1月0,从而d(x)在(0,1)上单调递增，又“(1) = 0 ,所以 (pr(x)0恒成立, 因为0为。，从而不+/2成立，因为x) = M九)+ 1，所以/(%)在(0,1)上单调递减,在(1,+00)上单调递增,因为X+W2,所以21，2 - X, 1 ,结合/(X)在(1,+8)上单调递增可得 ,设(x) = 2-力一/(力 , 0xbi.n2(2-x)x因为当Ovxl时，00,从而 (x)在(0,1)上单调递增，又=0,所以 (x)0,因为所以(芭)=/(2-)-/(3) 0 ,从而 /(2-x1)/(x1),因为/(%2)/(2-芯)，所以/(%2)/(王