2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何热点跟踪训练5.doc

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1、热点跟踪训练51(2020河北唐山模拟)已知点M为直线l1：x1上的动点，N(1，0)，过M作直线l1的垂线，交MN的中垂线于点P，记P点的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：ykxm与圆E：(x3)2y26相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程解：(1)连接PN.由已知可得，|PN|PM|，即点P到定点N的距离等于到直线l1的距离，故P点的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y24x.(2)易知k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2(2km4)xm20，则x1x2.所以x0，y0kx0m

2、，即D.因为直线l2与圆E：(x3)2y26相切于点D，所以|DE|26，DEl2，从而6，32，整理可得2，即k.所以m0，故l2的方程为yx或yx.2(2020湖南湘潭模拟)已知点F(，0)是椭圆C：1(ab0)的一个焦点，点M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOAkOB(O为坐标原点)，求直线l斜率的取值范围解：(1)由题可知，椭圆的另一个焦点为(，0)，所以点M到两焦点的距离之和为 4，所以a2.又因为c，所以b1，则椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOAkOB0，不符合题意故设直线l的方程为ykx

3、m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k21)x28kmx4(m21)0.所以而kOAkOB2k2k，由kOAkOB，可得m24k1.所以由m20得k.又因为0，即16(4k2m21)0，所以4k24k0.综上，k(1，)3设O为坐标原点，动点M在椭圆1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程E；(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值(1)解：设P(x，y)，则N(x，0)，(0，y)，又因为 ，所以M，由点M在椭圆上，得1，即1.即点P的轨迹方程E为1.(2

4、)证明：当l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|，所以.当l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6，所以.当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则l2的方程为y(x1)联立得消去y，得(89k2)x218k2x9k2720，则x1x2，x1x2，所以|AB|，同理可得|CD|，所以，为定值综上，为定值4.如图所示，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：ANMBNM.(1)解：设圆C的

5、半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)因为|MN|3，所以r222.所以r，圆C的方程为(x2)2.(2)证明：把x0代入方程(x2)2，解得y1或y4，即点M(0，1)，N(0，4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.所以kANkBN0.所以ANMBNM.综合知ANMBNM.5已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2y2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分

6、别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点(1)解：因为直线过(a，0)和(0，1)，所以直线的方程为xaya0，因为直线与圆x2y2相切，所以，解得a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，解得x01.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(12k2)x24kmx2m220，由根与系数关系得，x1x2，x1x2，由k1k2222，即(22k)x1x2(m1)(x1x2)(22k)(

7、2m22)(m1)(4km)，即(1k)(m21)km(m1)，由m1，得(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx，故直线AB过定点(1，1)综上，直线AB过定点(1，1)6(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)解：由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.- 6 -