分段函数和抽象函数的各种题型.doc

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1、,课 题分段函数与抽象函数教学目标掌握分段函数和抽象函数的各种题型重点、难点抽象函数的综合问题教学内容分段函数的几种常见题型及解法【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1求分段函数

2、的定义域和值域例1求函数的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为. 2求分段函数的函数值例2（05年浙江理）已知函数求. 【解析】因为, 所以. 3求分段函数的最值例3求函数的最大值. 【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 4求分段函数的解析式例4在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）【解析】当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时, , 将其图

3、象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A. 5作分段函数的图像例5函数的图像大致是（ ） 6求分段函数得反函数例6已知是定义在上的奇函数, 且当时, , 设得反函数为, 求的表达式. 【解析】设, 则, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此, 从而可得. 7判断分段函数的奇偶性例7判断函数的奇偶性. 【解析】当时, , , 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数. 8判断分段函数的单调性例8判断函数的单调性. 【解析】显然连续. 当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增

4、函数, 所以在上是单调递增函数; 或画图易知在上是单调递增函数. 例9写出函数的单调减区间. 【解析】, 画图易知单调减区间为. 9解分段函数的方程例10（01年上海）设函数, 则满足方程的的值为 【解析】若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求. 10解分段函数的不等式例11设函数, 若, 则得取值范围是（ ） 【解析1】首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 【解析2】因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D. 例12设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）A B. C. D. 【解析】当时, , 所以, 当时

5、, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 抽象函数抽象函数是指没有明确表达式但有运算规律及函数性质的函数。解决抽象函数问题，主要采取“赋值法”（取点或字母）整体迭代法，但核心是方法的发现，要掌握好抽象函数就必须有强烈目标意识、清晰的解题思路。、选择题1、 已知满足，对任意都有：则为（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、奇偶性不确定

6、解：令令是偶函数（或取符合条件）选B2、已知对任意有（） A、2008B、2006C、1004D、1003解：令，又令得： 选C3、函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，那么等于()A、3996B、1998C、2000D、0解： （奇函数有）选D4、已知定义在上的函数满足条件则（ ）A、0 B、1 C、 D、2 解：令两两不等， 选A5、已知函数与都要存在反函数，且与的图象关于直线对称，若：（ ）A、2004B、2005C、2006D、2007解法一：得：重合 解法二： 在图象上，从而有点在图象上在图象上在图象上，即有选C6、函数是在上有定义的增函数，满足（）A、1B、0C、D、解：再令若矛盾

7、，选D、填空题7、已知满足，则的解析式为_解：令8、已知是定义在非负整数集上的函数，且对任意正整数都有：若_解：已知得相加得： 周期为6 （另解：看作数列周期为6）9、若满足=_解： 10、已知和在上有定义，对任意都有：成立，若_解：，令得： 即： （取符合题意）、解答题11、定义在R上的函数满足，且求证：求证：是偶函数证明：令令 即是偶函数12、已知是定义在R上的函数，当 证明：对 证明：是R上的增函数证明： 令（1）设 （2）结合已知与（1）、（2）知对都有（另证：设。反证：设存在使，则有：与矛盾。）设，且由知为正数， 13、设是定义在上的函数，对任意正数都有：、求证：、若时，有0，求证在上是增函数证明： 令设 在上是增函数14、函数满足对任意有，且当时、求证：若、求证：是增函数证明：令设 是上的增函数以上例题常见于各种考试中，它是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等最常见的模型。请同学们熟记！