（整理版）攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型.doc

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1、攻克“抽象函数与分段函数的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成假设干个子区间，不同的子区间有不同的表达式由于这两类函数表达形式比拟特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：一、确定解析式问题例1 y=f(x)满足，其中a、b、c都是非零的常数，ab，求函数的解析式【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、c a、b、c都是的常数，不可用待定系数法去求解此题可用，转化出另一个式子，采用解方程组的方法求解【解析】，以代换x得：，联立

2、两式消去f()得：，【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法求抽象函数解析式这是常用的方法例2 设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(x)=f(x)，当x0，+时，求f(x)的解析式【分析】利用f(x)=f(x)求，0上的表达式即可【解析】f(x)=f(x)，又当x0时，x0，由，那么 x0，【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(x)=f(x)或f(x)= f(x)进行转化二、求函数值问题例3函数f(x)定义在正整数集上，且满足：f(1)=和f1+f2+fn= fn，那么f()的值

3、为_【分析】首先根据所给的条件求出fn的表达式，在求值【解析】由f1+f2+fn= fn，得：f1+f2+fn1= fn1，两式相减得：fn= fn fn1n3，变形得：n3，由得：，又f(1)=，于是有，故f()=【点评】由fn= fn fn1n3推出fn的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f()例4函数，假设f(x)=10，求x=_【分析】首先确定用那一局部的函数表达式求解x，从f(x)=10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f(x)=2xx0【解析】由于f(x)=100，而当f(x)=2xx0时，f(x)0，于是应用，令=10，x=

4、3，由于x0，故x=3三、定义域与值域问题例5 函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，求y=f(x)的定义域【分析】函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，是指解析式中x的取值范围，2x+1不是自变量，而是中间变量，f(2x+1)中的中间变量相当于f(x)中的x，所以此题是x0，1，求2x+1的取值范围【解析】函数y=f(2x+1)的定义域是0，1，0x1，12x3，函数y=f(x)的定义域是1，3【点评】假设函数y=f(x)的定义域为a，b，求y=f(g(x)的定义域，只需将g(x)代换为x，解不等式ag(x)b，求出x的集合即为y=f(g(x)的定义域；假设y=f(g(x)的定义域为a，

5、b，求函数y=f(x)的定义域，只要求出y= g(x) ，xa，b，的值域即为y=f(x)的定义域例6 函数，求其定义域和值域【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；求分段函数的值域需要分段求出值域，在取并集11【解析】，由于1，1(1，+)(，1=R，可知，定义域为R当x1，1时，f(x) 0，1；而当x1，+，1时，fx=2，因此函数的值域为：0，1 2四、函数性质问题1、单调性例7 函数y=f(x)的定义域为R，对任意xR，均有f(x+x)=f(x)+f(x)，且对任意x0，都有f(x)0，f(3)=31证明函数y=f(x)是R上的单调减函数；2试求函数y=f(x)在m，nm

6、，nZ且mn0上的值域【分析】利用函数的单调性的定义证明；由1的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在m，n上的最大值与最小值，故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域【证明】1任取、，且，由题设f(x+x)=f(x)+f(x)，可知，0，f()0, ，故y=f(x)是R上的单调减函数2由于y=f(x)是R上的单调减函数，y=f(x)在m，n上也是单调递减函数，y=f(x)的最大值为f(m)，最小值为f(n)，f(n)=f1+(n1)=f(1)+f(n1)=2f(1)+f(n2)=nf(1),同理f(m)= m f(1)f(3)=3，f(3)=3 f(1) =3，f(1)=1，

7、f(m)=m，f(n)=n，故函数y=f(x)在m，n上的值域为n ，m【点评】：对于抽象函数，往往通过研究函数的单调性确定其最值和值域；对抽象函数关系式中的变元取适当的值，求所需关系式或值，是解决抽象函数问题的常用技巧1axyO例8 假设函数f(x)=|xa|在(，1)内是减函数，求实数a的取值范围【分析】此题采用数形结合的方法形象直观容易求a的取值范围【解析】f(x)=|xa|=，作出函数的图象，由于(，a)内是减函数，而在(，1)内也是减函数，故(，1)是(，a)的子区间因此a12、奇偶性例9 设f(x)是定义在R上的函数，满足f(x+2)=f(x)，且x0，2时，1求x2，0时，f(x

8、)的表达式；2求f(9)和f(9)的值；3证明f(x)是奇函数【分析】这是一个分段函数问题，首先求出函数的表达式，然后在利用定义证明函数是奇函数【解析】1x2，0时，x+20，2，f(x)=f(x+2)=2(x+2)(x+2)，即x2，0时，2f(x+2)=f(x)，f(x+4)=f(x+2)= f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f(9)=f(1)=1，f(9)= f(1)=1，(3)，又f(x)+f(x)=，f(x)+f(x)=0，x2,2，f(x)在2,2上为奇函数假设x4k2,4k+2，kZ，那么x4k2, 4k +2，,f(x)= f(x4k)，f(x)= f(x+4k)，且x4

9、k与x+4k2，2又x+4k=x4k，fx+4k=f(x4k), f(x)=f(x)，f(x)为奇函数3、周期性例10设f(x) 定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意、都有，且f(1)=a01求、；2证明f(x)是周期函数【分析】偶函数的图象关于y轴对称，由函数图象关于直线x=1对称，可以判定函数f(x)是周期函数【解析】1由，、，知，x0，1，又f(1)=a0，2依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，f(x)= f(1+1x)，f(x)= f(2x)，又f(x) =f(x)，f(x)= f(x+2)，函数f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期五、反函数问题例11 定义

10、域为的函数f(x)，对任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)1求证：当x时，；2假设x1时，恒有，求证：f(x)必有反函数；3设是f(x)的反函数，求证：在其定义域内恒有证明：1，那么有f(1)= f(1)+f(1) ,有f(1)=0，2，且时，由，得，知f(x)在上为单调递减函数f(x)必有反函数3设，即例12 函数，其定义域为1假设f(x)在其定义域内有反函数，求t的取值范围；2在1的条件下，求反函数解：1f(x)在时其对称轴为x=t当时，f(x)在其定义域内为增函数，所以此时f(x)有反函数；同理，当时，f(x)在其定义域内也有反函数；当时，f(x)图象在的一段比在的一段更靠近对称

11、轴那么要使得f(x)在定义域内有反函数，应有那么得，解得；当时，同理应有，解得；当时f(x)显然不存在反函数有以上讨论可知，f(x)在其定义域内有反函数的t的范围为：2由，得当时知，此时反函数为，其中当时，此时反函数为，其中当时，反函数为六、相关不等式问题例12 设函数是定义在R上的增函数，且f(x)0，对于任意、都有（1） 求证：f(x)0；（2） 求证：；3假设f(1)=2，解不等式f(3x) 4f(x)【分析】由于函数具有本例中f(x)的条件与结构，因而在求解过程中应以指数函数a0且a1为模型类比求解【解析】1令，那么，f(t) 0,f(t) 0，即f(x) 0，2，又f(x) 0，3f

12、(1)=2，2f(x)= f(1) f(x)= f(1+x)，4 f(x)=22 f(x)= f(1)f(1+x)= f(2+x)，f(3x) 4f(x)，即f(3x) f(2+x)又f(x)是定义域R上的增函数，3x2+x，x1，故不等式f(3x) 4f(x)的解集为x|x1【点评】在解有关抽象函数问题时，可以根据题中的抽象函数关系式的特例，即具体函数，类比求解，这样可以使解题方向明确例13 函数f(x)的定义域为0，+且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，试解不等式f(x)+f(x2)3【分析】解此题的关键是求函数值3所对应的自变量值，即求f(a)=3中a的值【解析】f(4)=f(2)+f(2)=2，又3=2+1= f(4)+f(2)= f(42)= f(8)，即f(8)=3，根据题中关系式，有f(x)+ f(x2)=，所以，原不等式化成 f(8)，有，不等式的解集为x|2x4