学案1-函数的概念和表示法.doc

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1、,第1节 函数的概念【知识导入1】初中对函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法【知识学习1】函数的定义：设A、B是非空数集，f是一个确定的对应关系，若对于集合A中的任意一个数x，通过对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),xA 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫值域注意：（1）高中定义函数时和初中的区别是函数变成了集

2、合与集合的对应关系，即研究对象变成了定义域和值域的对应关系（2）一个函数是由x与y的对应关系f与自变量x的取值范围（即函数的定义域）所确定的（3）函数的值域则是由函数的定义域和对应关系确定的（4）函数的三要素：定义域、对应关系、值域题型1：函数的判断例1已知下列集合A,B，按下面的对应能成为函数吗？【小结】对应f:AB能构成函数的条件：（1）集合A、B为非空数集（2）集合A中元素不能有剩余，集合B中的元素可以有剩余（3）集合A中的一个元素只能对应集合B中的唯一元素；集合A中的多个元素可以同时对应集合B中的同一元素；但是，集合A中的一个元素不能对应集合B中的多个元素。例2（1）下列对应是从集合A

3、到集合B的函数是（ ）A A=R，B=x|x0，f：x|x| B A=N，B=，f：x|x1|C A=x|x0，B=R，f：xx2 D A=R，B=x|x0，f：x （2）如下图可作为函数y=f(x)的图象的是 .（3）函数y=f(x)的图象与直线的公共点共有 A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不确定【知识导入2】学习了函数的定义，知道了函数是由定义域、对应关系、值域三要素构成的，下面开始研究三要素问题1：给定函数y=f(x)，如何求函数的定义域？ 例如：f(x)=， f(x)=【知识学习2】定义域定义域指自变量x的取值范围，求函数定义域：即使函数解析式有意义的x的取值范围题型2：具体函

4、数的定义域问题例1求下列函数的定义域（1） （2）【小结】求定义域时的函数类型：（1）分式 （2）根式 （3）x0题型3：函数值的求法例2（1）已知f(x)=x22x+3，则f(1)= ,f(f(0)= ,f(a)= f(2a1)= ,f(x)= , f(2x+1)= （2）已知f(x)=2x+3,则f(f(x)= （3）已知f(x)=p，则f(2)= ,f(x2)= 题型4：抽象函数的定义域例3（1）函数f(x)的定义域为(1,2),则函数f(2x+1)的定义域为 ,函数f(x1)的定义域为 （2）函数f(2x1)的定义域为1,4)，则函数f(x)的定义域为 【选】（3）函数f(x1)的定义

5、域为1,2)，则函数f(2x+1)的定义域为 【小结】已知函数y= f(x)的定义域m,n，求f(g(x)的定义域的方法例4若f(x)的定义域为4,2，则函数的定义域为 题型5：判断两个函数相等例4下列函数中哪个与函数y=x相等？(1) y=()2 (2) y= (3) y= (4) y= (5) s=t【小结】判断函数相等的方法:若两个函数的定义域和对应关系相等，则两个函数相等【知识拓展】抽象函数求值例5对任意的实数x,y，函数f(x)满足f(xy)= f(x)+ f(y)+2，则f(0)= ,f(1)= ,f(1)= 课时作业题组一：函数的判断1下列对应是否是集合A到集合B的函数（1），对

6、应法则是“乘以2”；（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；（3），对应法则是“求倒数”.2下列对应是从集合A到集合B的函数的是 （ ）A. A=R，B=, B.A=N，B=, C. A= D.3下列给出的四个图形中是函数图象的是 4设集合，则下图中能表示P到Q的函数的是 题组二：定义域的求法1设全集为R，函数f(x)=的定义域为集合A，函数g(x)=的定义域为集合B，则RAB= 2(1)函数f(x)=的定义域为 (2)函数f(x)=的定义域为 (3) 函数f (x)+1的定义域为 3已知函数f (x)的定义域是1,3，则 f (2x1)的定义域是_变式 1 已知函数 f (2x

7、1)的定义域是1,3，则 f (x)的定义域是_变式 2 已知函数 f (x)的定义域是0,4，则 f (x1)f (x1)的定义域是_4已知函数f (x+2)的定义域为1,2，则函数f (2x+1)的定义域为 5已知函数yf (x)的定义域为0,2,则函数g(x)=的定义域为 题组三：相等函数的判断1下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A与 B与C与 D与2下列函数中，与函数为同一函数的是 （ ）A. B. C. D.题组四：函数值的求法1已知函数，则 2已知函数，若，则a= 3已知函数，则 4已知f(x)= ,则f(2)= 5已知函数 f (x)x22x， 则 f ( 2)_， f (

8、2)_， f (a)_， f (a1)_，f (x1)_， f (3x)_.第2节 函数的表示法【知识引入1】上节课讲了函数的概念，知道了函数的三要素，并会求定义域，那么对应关系如何求？对应关系是联系x和y的纽带，那么表示x和y关系的方法有哪些？【知识学习1】函数的表示法：1解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 2图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 3列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 例如：某种笔记本的单价是2元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y=f(x)【注意】书写解析式时，注意定义域要求题型1：函数的图像问题例1画出函数

9、f(x)=2的图像【变式】画出函数f(x)=的图像【小结】函数y=图像的画法1通过分离常数转化为f(x)=+n，然后利用y=的平移，找对称中心和渐近线2记忆函数y=的对称中心为:(,)，渐近线:x=,y=，再通过特殊点确定象限【知识引入2】如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据这张图回答：在这一天中，什么时间气温最高？什么时间气温最低？设函数y=f(x)，点(x,y)构成的曲线即函数的图象，从函数图象可以看出：定义域：横看，图象最左端点的横坐标是x的最小值，最右端即为最大值，所构成的范围即定义域，注意区间的开闭值域：竖看，图象上最高（低）点的纵坐标即为y的最大（小）值，所确定的范围即值域

10、函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点；题型2：基本函数值域的求法例2求下列函数值域（1）函数f(x)=x2+4x3 （2）f(x)=例3函数r=f(p)的图像如图所示，（1）函数的定义域是 （2）函数的值域是 （3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应题型2：函数解析式的求法类型一：已知函数类型例1（1）一次函数f(x)满足f(1)=1,f(1)=3，则f(x)= （2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x1) f(x)=4x，求f(x)的解析式【小结】方法：待定系数法。步骤：（1）设函数解析式（2）利用已知条件列出关于参数的方程类型二：已知复合函数f(g(x)的

11、解析式，求f(x)引例：已知f(x)=x22x，则f(2x1)= 例2已知f(2x1)=4x28x+3，则f(1)= ，f(1)= ，f(3)= ，f(a)= 【变式】f(x)= 例3（1）已知f(1)=x2，则f(x)= （2）已知f(x+)=x2+，则f(x)= 【小结】方法：换元法。步骤：（1）令t=g(x)，并反解（2）把t代入函数中，并化解（3）用x把t代回（4）注明定义域类型三：已知两个函数的关系，求其中一个函数的解析式例4（1）已知f(x)+2f(x)=x22x，求f(x)的解析式（2）已知f(x)2f()=2x+，求f(x)的解析式【小结】方法：列方程组。步骤：通过赋值再列一个

12、方程【拓展】一元二次不等式的解法：例1解不等式【变式1】的解集为 【变式2】的解集为 【小结】解一元二次不等式的基本步骤（1）解方程（2）画函数图像【注：a的正负影响开口方向】（3）利用图像写结论例2解不等式：【变式1】的解集为 【变式2】的解集为 例3解不等式：【变式】的解集为 例4（1）不等式对一切实数都成立，则k的取值范围是 （2）不等式解集为R，则的取值范围是 课时作业题组一：函数的表示法1已知函数y=f(x)由下表给出，则f(f(0)等于 x1234f(x)3241题组二：函数图像问题1函数f(x)=x22x3的值域为 2函数f(x)=x2+3x4的值域为 题组三：函数解析式的问题已

13、知函数 f (x1)x24x3， 则 f (x)_.变式已知函数f ( x1)x2， 若f (a)2，则实数a的值题组四：解二次不等式1函数的定义域为 2若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 4 第3节 分段函数【课程导入】阅读课本P8-P9的两个例题，理解分段函数的概念【知识学习】分段函数1分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的解析式的函数2特点：（1）分段函数是一个函数（2）定义域、值域分别是各段函数的自变量范围和函数值范围的并集（3）作分段函数图像时，应分别作出各段图像3典型的分段函数：y=|x|题型1：分段函数求值问题例1已知函数（1

14、）f(2)= （2）f(f(1)= （3）f(a1)= （4）f(2x+1)= （5）若f(x)=3，则x= 例2已知函数，若f(x)2，则x的取值范围为 【小结】分段函数求值问题的解决方法：分类讨论思想题型2：分段函数的实际应用例3如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.题型3：分段函数的图像问题例4画出下列函数的图像（1） （2）f(x)=x22|x| （3）f(x)=|2x2| （

15、4）f(x)=|x22x|【小结】关于函数y=f(|x|)和y=|f(x)|图像的问题（1）函数y=f(|x|)的图像关于y轴对称，作图步骤：第一步：画出函数y=f(x)，x0的图像第二步：利用y轴对称性画出另外一半（2）函数y=|f(x)|的作图步骤：第一步：画出函数y=f(x)的图像第二步：把函数y=f(x)在x轴下方的图像根据x轴对称翻折上来【变式1】直线y=a与函数f(x)=x22|x|有4个交点，则a的取值范围是 【变式2】直线y=a与函数f(x)=|x22x|有4个交点，则a的取值范围是 例5若定义运算ab=mina,b，则函数f(x)=x(2x)的值域为 课时作业题组一：分段函数

16、求值问题1已知函数，若f(f(0)=4a，则实数a= 2设函数，若f(x)x，则实数x的取值范围是 3已知函数，若f(x)=3，则x= 4已知函数（1）求值：f(2)= ，f(f(3)= 。（2）若， （3）若，则的取值范围是 （4） （5） 5已知函数 （1）求f(f(0)的值 （2）若f(x)=，求x的值题组二：分段函数的实际应用1函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，当时，写出函数的解析式，并作出函数图像2 如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B向点A运动。设点P经过的路程为x，的面积为y。（1）求y关于x的函数关系式（2）画出的图像3如图，DABO是边长为2的正三角形，记DABO为与直线xt(t0)左侧的图形的面积为f (t)，试求函数f (t)的解析式，并画出函数f (t)的图像题组三：分段函数的图像问题1画出下列函数的图像（1） （2）2已知函数的图像如图所示，则的解析式是 3判断关于 x 的方程|x2|(x1)a 的解的个数？4定义符号函数=，则函数=的图象大致是（ ）ABCD