对数函数指数函数幂函数.doc

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1、,对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果a0且a1时,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-lo

2、g(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明： 设a=nx 则a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (6)对数恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b 对数与指数之间的关系当a0且a1时,ax=N x=(a)N 对数函数右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它

3、们互为反函数。 （1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2） 对数函数的值域为全部实数集合。 （3） 函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。 （5） 显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a0，且a不等于1,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)

4、-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数 lg 常用对数 以10为底 对数函数的常用简略表达方式（1）常用对数:lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln

5、(b)=log(e)(b) e=2.718281828.通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义 对数函数的一般形式为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a0且a1），同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是x x0，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y

6、=logx（2x-1）的定义域，需满足x0且x1 。 2x-10 =x1/2且x1，即其定义域为 x x1/2且x1值域：实数集R 定点：函数图像恒过定点（1，0）。 单调性：a1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸； 0a0且1) (xR)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=ax中可以看到： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于函数无意义一般也不考虑。 （2

7、） 指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凸的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过 指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 （7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=ax+b,则函数定过点(0,1+b) （8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既

8、不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 （11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 编辑本段.底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 编辑本段底数与指数函数图像： 指数函数（1）由指数函数y=ax与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=ax与直线x=-1相交于点（-1

9、，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）。 编辑本段幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y1=34,y2=35，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大

10、），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/24,y2=34,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，如果能充分利

11、用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 1且x 0，或0 a 1且 x 0）时，ax大于1，异向时ax小于1. 3例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. y=4x 因为41，所以y=4x在R上是增函数； y=(1/4)x 因为01/40且a1） （4）a1时，曲线由左向右逐渐上升即a1时，函数在（-，+）上是增函数；0a1是，曲线逐渐下降即0a0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；

12、排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。 编辑本段定义域总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的， 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 编辑本段第一象限可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a0) a0时 图象过点（0，0）和（1，1） （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）显然幂函数无界限。 （6）a=2n,该函数为偶函数 x|x0。 (7) 0a1时，只在第一象限内有图像，即x0. 编辑本段图象 幂函数的图象：