广东省深圳高中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文含解析.doc

《广东省深圳高中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳高中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文含解析.doc（20页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2=2，B=1，2，则AB=( )AB2C，1，2D2，1，22函数y=x2lnx的单调递减区间为( )A（1，1B（0，1C上的最小值四、选择题：本大题共4小题每小题5分，满分20分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的12设aR，则“a=1”是“直线ax+y1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件13双曲线2x2y2=8的实轴长是( )

2、A2BC4D14曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A9B3C9D1515已知直线l1：4x3y+6=0和直线l2：x=1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )AB2CD3五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，则p的值为_17已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是_六、解答题：共5小题，第

3、17题10分，第1822题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：已知c0，当x时，函数f（x）=x+恒成立，如果pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围19设函数f（x）=x3+2ax2a2x（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值20河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？21已知椭圆C：=1（ab0）经过点，且

4、其离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标22已知函数（aR且a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）记函数y=F（x）的图象为曲线C设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：；曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题每小题5分，满分40分在每小题给

5、出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2=2，B=1，2，则AB=( )AB2C，1，2D2，1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x2=2=，B=1，2，则AB=，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2函数y=x2lnx的单调递减区间为( )A（1，1B（0，1Cy=，由y0得：0x1，函数y=x2lnx的单调递减区间为（0，1故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题3在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图

6、象中可能正确的是( )ABCD【考点】指数函数的图像与性质；正弦函数的图象【专题】压轴题；数形结合【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定【解答】解：正弦函数的周期公式T=，y=sinax的最小正周期T=；对于A：T2，故a1，因为y=ax的图象是减函数，故错；对于B：T2，故a1，而函数y=ax是增函数，故错；对于C：T=2，故a=1，y=ax=1，故错；对于D：T2，故a1，y=ax是减函数，故对；故选D【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题4已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区

7、间是( )A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】可得f（2）=20，f（4）=0，由零点的判定定理可得【解答】解：f（x）=log2x，f（2）=20，f（4）=0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题5已知平面向量，=（1，1），=（2，3），=（2，k），若（+），则实数k=( )A4B4C8D8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】平面向量及应用【分析】根据坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式建立方程即可得到结论【解答】解：=（1，1），=（

8、2，3），+=（1，4），若（+），则，即k=8，故选：D【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量平行的坐标公式的应用，比较基础6记等差数列的前n项和为Sn，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( )A2B3C6D7【考点】等差数列的性质【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=1，d=3，故选：B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题7已知x0，y0，且2x+y=1，则xy的最大值是( )ABC4D8【考点】基本不等式【专题】不等

9、式的解法及应用【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0，且2x+y=1，xy=，当且仅当2x=y0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是故选B【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键8直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为( )A1B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=圆心C到直线x+2

10、y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为故选C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2xy=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x

11、y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d=，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于 故答案为：【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题10某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】由主视图知CD平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长【解答】解：由主视图知CD平面ABC，设AC中点为E，则BEAC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在RtBCE中，BC=，在RtBCD中，BD

12、=，在RtACD中，AD=2则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤11已知函数f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x，可求范围x+，即可求得f（x

13、）的取值范围，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2=sinx+cosx=2sin（x+）f（x）的最小正周期T=2；（2）x，x+，sin（x+），即有：f（x）=2sin（x+），可解得f（x）在区间上的最小值为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查四、选择题：本大题共4小题每小题5分，满分20分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的12设aR，则“a=1”是“直线ax+y1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

14、【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：直线ax+y1=0与直线x+ay+5=0平行，a2=1，解得a=1，当a=1时，两直线方程分别为x+y1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行当两直线方程分别为x+y1=0与直xy+5=0满足平行，a=1或a=1，“a=1”是“直线ax+y1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键13双曲线2x2y2=8的实轴长是( )A2BC4D【考点】双曲线的标准方程【专题】

15、计算题【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长【解答】解：2x2y2=8即为a2=4a=2故实轴长为4故选C【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值14曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A9B3C9D15【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标【解答】解：y=x3+11y=3x2则y|x=1=3x2|x=1=3曲线y=x3+1

16、1在点P（1，12）处的切线方程为y12=3（x1）即3xy+9=0令x=0解得y=9曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题15已知直线l1：4x3y+6=0和直线l2：x=1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )AB2CD3【考点】点到直线的距离公式【专题】计算题【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之

17、和的最小值【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，则p的值为4【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】将双曲线化成标准方程，求得a2=b2=2的值，从而得到双曲线的

18、右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p的值为4【解答】解：双曲线x2y2=2的标准形式为：a2=b2=2，可得c=2，双曲线的右焦点为F（2，0）抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，=2，可得p=4故答案为：4【点评】本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题17已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是【考点】命

19、题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件【专题】综合题【分析】f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3）abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0a1b3c设f（x）=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabcf（x）=x36x2+9xabca+b+c=6，ab+ac+bc=9b+c=6abc=9a（6a）a24a00a40a1b3cf（0）0，f（1）0，f（3）0f（0）f（1）0，f（0

20、）f（3）0故答案为：【点评】本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键六、解答题：共5小题，第17题10分，第1822题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：已知c0，当x时，函数f（x）=x+恒成立，如果pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题；转化思想；分析法；简易逻辑【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用pq为真命题，pq为假命题，确定实数c的取值范围【解答】解指数函数y=cx数为减函数，0c1，即p真时，0c1函数f（x）=x+对x恒成

21、立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+在x上单调递增，所以f（x）min=f（1）=，得c，即q真时，c，pq为真，pq为假，p、q一真一假p真q假时，0c；p假q真时，c1故c的取值范围为0c或c1【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键19设函数f（x）=x3+2ax2a2x（xR），其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】（）求得函数

22、的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（）求得函数的导数，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到函数的极值【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x3+2x2x，得f（2）=2，f（x）=3x2+4x1，f（2）=5，所以，曲线y=x3+2x2x在点（2，2）处的切线方程是y+2=5（x2），整理得5x+y8=0； （）f（x）=x3+2ax2a2x，f（x）=3x2+4axa2=（3xa）（xa），令f（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3当x3或x1时，f（x）0，f（x）递减；当1x3时，f（x）0，f（x）递增因此，函数f（x）在

23、x=1处取得极小值f（1）=4，函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题20河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【考点】抛物线的应用【专题】计算题【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=2py（p0）将B（4，5）代入得p=1.6，所以x2=3.2y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，由此能求出结果【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=2py（p0）

24、将B（4，5）代入得p=1.6，x2=3.2y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，yA），由22=3.2 yA，得yA=1.25，因为船露出水面的部分高0.75米，所以h=|yA|+0.75=2米（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行（16分）【点评】本题考查抛物线的应用，是中档题解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化21已知椭圆C：=1（ab0）经过点，且其离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的

25、标准方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据椭圆的方程的定义和离心率即可求出；（2）A（x0，y0），则，得到x0（y01）=2，解得即可【解答】解：（1）因为椭圆C经过点，所以因为椭圆C的离心率为，所以，即a2=2b2联立解得，a2=2，b2=1所以椭圆C的方程为（2）由（1）得，椭圆C的方程为，所以F（1，0），B（0，1）设A（x0，y0），则因为，且，所以x0（y01）=2，即y0=x01联立解得，或，所以A（0，1）或【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆、圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题22已知函数（

26、aR且a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）记函数y=F（x）的图象为曲线C设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：；曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】证明题；新定义【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减

27、区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+）由已知得，（1）当a0时，令f（x）0，解得0x1； 令f（x）0，解得x1所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减（2）当a0时，当时，即a1时，令f（x）0，解得或x1；令f（x）0，解得所以，函数f（x）在和（1，+）上单调递增，在上单调递减；当时，即a=1时，显然，函数f

28、（x）在（0，+）上单调递增； 当时，即1a0时，令f（x）0，解得0x1或；令f（x）0，解得所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减综上所述，（1）当a0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2）当a1时，函数f（x）在和（1，+）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=1时，函数f（x）在（0，+）上单调递增；（4）当1a0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减 （）假设函数f（x）存在“中值相依切线”设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0x1x2，则，=曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f（x0）=，依题意得：=化简可得：=，即=设（t1），上式化为：，即令，=因为t1，显然g（t）0，所以g（t）在（1，+）上递增，显然有g（t）2恒成立所以在（1，+）内不存在t，使得成立综上所述，假设不成立所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”（14分）【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题- 20 -