《不等式的基本性质》教学设计.docx

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1、不等式的基本性质教学设计高一数学学问点：不等式的基本性质 高一数学学问点：不等式的基本性质 不等式的基本性质学问点1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。可以结合函数单调性的证明这个熟识的学问背景，来相识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。作差后，为推断差的符号，须要分解因式，以便运用实数运算的符号法则。如证明y=x3为单增函数，设x1,x2isin;(-infin;,+infin;),x1)2+x22再由(x1+)2+x220,x1-x20,可得f(x1)2.不等式的性质：

2、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：(1)abb(2)ab,bcac(传递性)(3)aba+cb+c(cisin;R)(4)c0时，abacbcc0时，abac运算性质有：(1)ab,cda+cb+d。(2)ab0,cd0acbd。(3)agt,中学历史;b0anbn(nisin;N,n1)。(4)ab0(nisin;N,n1)。应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件动身施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。关于不等式的性质的考察，主要

3、有以下三类问题：(1)依据给定的不等式条件，利用不等式的性质，推断不等式能否成立。(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，推断实数值的大小。(3)利用不等式的性质，推断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 不等式的性质不等式的性质教学目标1.理解不等式的性质,把握不等式各特性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证明方法以及功能、运用;2.把握两个实数比较大小的一般方法;3.通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的实力;4.提高本节内容的学习,;培育学生条理思维的习惯和仔细严谨的学习看法;教学建议1.教材分析(1)学问结构本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这

4、个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。学问结构图(2)重点、难点分析在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简洁的不等式,无不以不等式的性质作为基础。本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。比较实数的大小教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应动身,与初中学过的学问“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大

5、”利用数轴可以比较数的大小。指出比较两实数大小的方法是求差比较法:比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.理清不等式的几特性质的关系教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程支配依次的.从这几特性质的分类来说,可以分为三类:()不等式的理论性质:(对称性)(传递性)()一个不等式的性质:(nN,n1)(nN,n1)()两个不等式的性质:2.教法建议本节课的核心是培育学生的变形技能,练习学生的推理实力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础

6、.授课方法可以实行讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:老师设疑学生探讨老师启发解疑.教学过程可分为:发觉定理、定理证明、定理应用,采纳由形象思维到抽象思维的过渡,发觉定理、证明定理.采纳类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简洁的证明题.第一课时教学目标1.把握实数的运算性质与大小依次间关系;2.把握求差法比较两实数或代数式大小;3.强调数形结合思想.教学重点比较两实数大小教学难点理解实数运算的符号法则教学方法启发式教学过程一、复习回顾我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数

7、轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:若,则是正数;逆命题也正确.类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.这就是说:(打出幻灯片1)由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.二、讲授新课1.比较两实数大小的方法求差比较法比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.接

8、下来,我们通过详细的例题来熟识求差比较法.2.例题讲解例1比较与的大小.分析:此题属于两代数式比较大小,事实上是比较它们的值的大小,可以作差,然后绽开,合并同类项之后,判定差值正负,并依据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解:例2已知,比较(与的大小.分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有肯定的限制,应当在对差值正负判定时引起注意,对于限制条件的应用常常被学生所忽视.由得,从而请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.三、课堂练习1.比

9、较的大小.2.假如,比较的大小.3.已知,比较与的大小.要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.课堂小结通过本节学习,大家要明的确数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.课后作业习题6.11,2,3.板书设计6.1.1不等式的性质1.求差比较法例1学生例2板演基本不等式 第04讲：基本不等式高考考试大纲的要求：了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题（一）基础学问回顾：1.定理1.假如a,b,那么，（当且仅当_时，等号成立）.2.定理2（基本不等式）：假如a,b0,那么_（当且仅当_时，等号成立）.称_为a,b的算术平均数，_为

10、a,b的几何平均数。基本不等式又称为_.3.基本不等式的几何意义是：_不小于_.如图 4.利用基本不等式求最大（小）值时，要留意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必需是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_，积定和最_.（3）只有等号能够成立时，才有最值。（二）例题分析：例1（2022陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)(1x4y)的最小值为（）A15B12C9D6 例2函数的值域是_. 例3（2022江西、陕西、天津文,全国文、理）设计一幅宣扬画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的

11、比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣扬画所用纸张的面积最小？ （三）基础训练：1.设且则必有()(A)(B)(C)(D) 2.（2022湖南理）设a0,b0，则以下不等式中不恒成立的是（）（A）4（B）（C）（D）3.（2022春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（）（A）18（B）6（C）（D） 4.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）（A）（B）（C）（D）5（2022福建文）下列结论正确的是（）A当BC的最小值为2D当无最大值 6.已知两个正实数满意关系式,则的最大值是_. 7.若且则中最小的一个是_. 8.（202

12、2北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某马路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？ （四）拓展训练：1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（）（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ 2若正数a、b满意ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。参考答案第04讲：基本不等式（二）例题分析：例1C；例2；例3解：设画面高为xcm，

13、宽为xcm，则x2=4840设纸张面积为S，有S=(x16)(x10)=x2(1610)x160，将代入上式，得当时，即时，S取得最小值此时，高：，宽：答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小（三）基础训练：1.B；2.B；3.B；4.B5B；6.2;7.8.解：（）依题意，（）由条件得整理得v289v+16000,即（v25）（v64）0,解得25v64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.假如要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时 （四）拓展训练：1.B;2解：因为a、b是正数，

14、所以，即，法一：令，则，由ab=a+b+32+3，得，（t0）解得t3,即，所以ab9,a+b=ab-36.法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3=，得，（x0）整理得，又x0，解得x6,即a+b6，所以ab=a+b+39. 答：ab与a+b的取值范围分别是与。 不等式的性质2不等式的性质2其次课时教学目标1.理解同向不等式,异向不等式概念;2.把握并会证明定理1,2,3;3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点:定理1,2,3的证明的证明思路和推导过程教学难点:理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法:引导式教学

15、过程一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要依据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:这一节课,我们将利用比较实数的方法,来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:是异向不等式.2.不等式的性质:定理1:若,则定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证明时,既要证明充分性,也要证明必要性.证明:,由正数的相反数是负数,得说明:定理1的后半

16、部分可引导学生仿照前半部分推证,注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2:若,且,则.证明:依据两个正数的和仍是正数,得说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3:若,则定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.证明:说明:(1)定理3的证明相当于比较与的大小,采纳的是求差比较法;(2)不等式中任何一项变更符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:依据定理3可得出:若,则即.定理3推论:若.证明:,由、得说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到随意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者

17、更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)三、课堂练习1.证明定理1后半部分;2.证明定理3的逆定理.说明:本节主要目的是把握定理1,2,3的证明思路与推证过程,练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习,要求大家熟识定理1,2,3的证明思路,并把握其推导过程,初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1.求证:若2.证明:若板书设计6.1.2不等式的性质1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3异向不等式证明证明推论2.定理1证明说明说明证明第三课时教学目标1.娴

18、熟把握定理1,2,3的应用;2.把握并会证明定理4及其推论1,2;3.把握反证法证明定理5.教学重点:定理4,5的证明.教学难点:定理4的应用.教学方法:引导式教学过程:一、复习回顾上一节课,我们一起学习了不等式的三特性质,即定理1,2,3,并初步熟识了证明不等式的逻辑推理方法,首先,让我们来回顾一下三个定理的基本内容.(学生回答)好,我们这一节课将接着推论定理4、5及其推论,并进一步熟识不等式性质的应用.二、讲授新课定理4:若若证明:依据同号相乘得正,异号相乘得负,得当说明:(1)证明过程中的关键步骤是依据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;(2)定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数

19、,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向变更.推论1:若证明:又由、可得.说明:(1)上述证明是两次运用定理4,再用定理2证出的;(2)全部的字母都表示正数,假如仅有,就推不出的结论.(3)这一推论可以推广到随意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2:若说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;(2)应强调学生注意nN的条件.定理5:若我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必需进行“穷举”.说明:假定不大于,这有两种状况:或者,或者.由推论2和定

20、理1,当时,有;当时,明显有这些都同已知条件冲突所以.接下来,我们通过详细的例题来熟识不等式性质的应用.例2已知证明:由例3已知证明:两边同乘以正数说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证明,为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时,应注意题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟识不等式性质的应用.三、课堂练习课本P7练习1,2,3.课堂小结通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证明思路,为以后不等式的证明打下肯定的基础.课后作业课本习题6.14,5.板书设计6.1.3不等式的性质定理4推论1定理5例3学生内容内容证明推论2证明例4练习第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页