2022年高考数学一轮复习三角函数的图像与性质理北师大版 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第三节三角函数的图像与性质【考纲下载】1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2 ，正切函数在2，2上的性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数ysin x ycos x ytan x图象定义域RRx x2k，kZ 值域 1,1 1,1 R单调性递增区间：2k2，2k2(kZ)；递减区间：2k2，2k32(kZ)递增区间：2k，2k (kZ)；递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：k2，k2(kZ)最值x2k2(kZ)时，ymax 1；x 2k2(kZ)时，ymin1 x2k(kZ)时，yma

2、x1；x2k(kZ)时，ymin1 无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk2，kZ对称中心：k2，0(kZ)对称轴：xk，kZ对称中心：k2，0(kZ)无对称轴周期221正切函数ytan x在定义域内是增函数吗？提示：不是正切函数ytan x在每一个区间k2，k2(kZ)上都是增函数，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载但在定义域内不是单调函数，故不是增函数2当函数yAsin(x)分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么？对于函数yAcos(x)呢？提示：函数yAsin(x)，当k(kZ)时是奇函数，当k

3、2(kZ)时是偶函数；函数yAcos(x)，当 k(kZ)时是偶函数，当k2(kZ)时是奇函数1函数ytan 3x的定义域为()A.xx323k，kZ B.xx6k，kZC.xx6k，kZ D.xx6k3，kZ解析：选D 由 3x2k，得x6k3，kZ.2设函数f(x)sin2x2，xR，则f(x)是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析：选B f(x)sin2x2 cos 2x，f(x)是最小正周期为 的偶函数3已知函数f(x)sinx3(0)的最小正周期为，则该函数的图像()A关于直线x3对称B关于点3，0 对称C关于直线x

4、6对称 D关于点6，0 对称解析：选B f(x)sinx3(0)的最小正周期为，2，即f(x)sin2x3.经验证可知f3sin233sin 0，即3，0 是函数f(x)的一个对称点4下列函数中，周期为，且在4，2上为减函数的是()Aysin2x2 Bycos 2x2Cysinx2 Dycosx2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析：选A 由函数的周期为，可排除C，D.又函数在4，2上为减函数，排除B，故选 A.5函数y32cosx4的最大值为 _，此时x_.解析：函数y32cosx4的最大值为325，此时x42k，即x342k(kZ

5、)答案：5 342k(kZ)考点一三角函数的定义域和值域 例 1(1)求函数ylg(sin 2x)9x2的定义域；(2)求函数ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 自主解答 (1)由sin 2x0，9x20，得2k2x2k，kZ，3x3.3x2或 0 x2.函数ylg(sin 2x)9x2的定义域为x3x2或0 x2.(2)令tsin x，|x|4，t 22，22.yt2t1t12254，当t12时，ymax54，t22时，ymin122.函数ycos2xsin x|x|4的最大值为54，最小值为122.【方法规律】1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，

6、常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)(2013陕西高考)已知向量a cos x，12，b(3sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；名师资料总结

7、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)求f(x)在 0，2上的最大值和最小值解：f(x)cos x，12(3sin x，cos 2x)3cos xsin x12cos 2x32sin 2x12cos 2xcos6sin 2xsin6cos 2xsin2x6.(1)f(x)的最小正周期为T222，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0 x2，62x656.由正弦函数的性质，当 2x62，即x3时，f(x)取得最大值1.当 2x66，即x0 时，f(0)12，当 2x656，即x2时，f212，故f(x)的最小值为12.因此，f(x)在 0，2上的最

8、大值为1，最小值为12.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性 例 2(1)(2013 浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012 福建高考)函数f(x)sinx4的图像的一条对称轴是()Ax4 Bx2Cx4 Dx2(3)(2013 江西高考)函数ysin 2x23sin2x的最小正周期T为_ 自主解答 (1)f(x)是奇函数时，2k(kZ)；2时，f(x)Acos x2Asin x，为奇函数所以“f(x)是奇函数”是“2”的必要不充分条件(2)法一：(图像

9、特征)正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x4k2，kZ，则xk34，kZ.取k 1，则x4.法二：(验证法)x4时，ysin440，不合题意，排除 A；x2时，ysin2422，不合题意，排除B；x2时，ysin2422，不合题意，排除D；而x4时，ysin44 1，符合题意，C项正确，故选C.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载(3)y sin 2x3(1 cos 2x)2sin2x33，最小正周期T22.答案 (1)B(2)C(3)【互动探究】本例(2)中函数f(x)的对称中心是什么？解：令x4k，kZ，则x4k，kZ.

10、故函数f(x)sinx4的对称中心为4k，0(kZ)【方法规律】函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0 时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0 时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断1函数y2sin(3x)|2的一条对称轴为x12，则 _.解析：由ysin x的对称轴为xk2(kZ)，即 312k2(kZ)，得k4(kZ)又|2，

11、所以k0，故 4.答案：42函数ycos(3x)的图像关于原点成中心对称图形，则_.解析：由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k2(kZ)答案：k2(kZ)高频考点考点三三角函数的单调性1三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题2高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)例 3(1)(2012 新课标全国卷)已知 0，函数f(x)sinx4在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54 B.12，34C.0，12 D(0,2 名师

12、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)(2013 安徽高考)已知函数f(x)4cos xsinx4(0)的最小正周期为.求 的值；讨论f(x)在区间0，2上的单调性 自 主 解 答(1)由2x ，得2 4 x4 4，由 题 意 知24，4?22k，322k(k Z)且222，则2422k，kZ，4322k，kZ，且 02，故1254.(2)f(x)4cos xsinx422sin xcos x22cos2x2(sin 2xcos 2 x)22sin2x42.因为f(x)的最小正周期为，且 0，从而有22，故 1.由知，f(x)2sin2x

13、42.若 0 x2，则42x454.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；当22x454，即8x2时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减 答案 (1)A 三角函数单调性问题的常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用

14、集合间的关系求解(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化为yAsin(x)b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决1若函数f(x)sin x(0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 等于()A3 B2 C.32 D.23名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析：选 C ysin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x2时，ysin x是增函数；当2x32，即2x32时，ysin x是减函数由ysin x(0)在0，3上单调递增，在3，2上单调递减知，23，故 32.2求函数

15、ytan32x的单调区间解：把函数ytan32x变为y tan2x3.由k22x3k2，kZ，得k62xk56，kZ，即k212xk2512，kZ.故函数ytan32x的单调减区间为k212，k2512(kZ)课堂归纳通法领悟 个性质周期性与奇偶性(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式种方法求三角函数值域(或最值)的方法(1)利用 sin x、cos x的有界性(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式，逐步

16、分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)(3)换元法：把sin x或 cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题个注意点研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图像从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x，则y(t2)2

17、11，解法错误方法博览(三)利用三角函数的性质求参数的四种方法1根据三角函数的奇偶性求参数 典例 1 已知f(x)sin x3cos x(xR)，函数yf(x)|2为偶函数，则 的值为 _ 解题指导 先求出f(x)的解析式，然后求解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载 解析 f(x)sin x3cos x2sinx3，f(x)2sinx3.函数f(x)为偶函数，32k，kZ，即 6k(kZ)又|2，6.答案 6 点评 求解三角函数奇偶性的参数问题常用下列结论进行解答：函数yAcos(x)B(A0)为奇函数?k2(kZ)且B0；为偶函数?k

18、(kZ)2根据三角函数的单调性求参数 典例 2 已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若5，58是f(x)的一个单调递增区间，则 的取值范围为()A.910，310B.410，910C.10，4 D.，104，解题指导 求三角函数的单调区间，先求出已知函数的单调递增区间，使5，58为其子区间即可求得 的范围 解析 因为 2k22x2k32，kZ，所以k42xk342，kZ，又因为5，58是f(x)的一个单调递增区间，|，所以58k342，kZ，解得 4，同理由5k42，kZ，可得 10，所以104.答案 C 点 评 解 答 此 类 题 要 注 意 单 调 区 间 的 给 出 方 式，如：“函

19、 数f(x)在k512，k12(k Z)上 单 调 递 增”与“函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 为k512，k12(kZ)”，二者是不相同的3根据三角函数的周期性求参数 典例 3 函数f(x)sinx3sin x(0)相邻两对称轴之间的距离为2，则_.解题指导 相邻两对称轴之间的距离为2，即T4.解析 f(x)sinx3sin x12sin x32cos xsin x32sin x32cos x3sinx6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T4，所以24，即 2.答案 2 点评 函数f(x)Asin(x)，f(x)Acos(x)图像上一个最高点和它邻近名师资料总结-精

20、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期|，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图像确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图像显示出来的函数性质、函数图像上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等4根据三角函数的最值求参数 典例 4 若函数f(x)asin xbcos x在x3处有最小值 2，则常数a，b的值是()Aa 1，b3 Ba1，b3 Ca3，b 1 Da3，b1 解题指导 函数f(x)asin xbcos x的最小值为a2b2.解析 f(x)a2b2sin(x)其中 cos aa2b2，sin ba2b

21、2，则a2b2 2，f332a12b 2，解得a3，b1.答案 D 点评 解答本题的两个关键：(1)引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；(2)利用正弦函数取最值的方法建立方程组 全盘巩固 1给定性质：最小正周期为；图像关于直线x3对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是()Aysinx26 Bysin2x6Cysin2x6 Dysin|x|解析：选B 注意到函数ysin2x6的最小正周期T22，当x3时，ysin2361，因此该函数同时具有性质.2函数y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A23 B0 C 1 D 13 解析：选A 0 x9，06x32，36x376，32

22、sin6x31，即32sin6x32.所以其最大值为2，最小值为3，故最大值与最小值之和为23.3已知函数ysin x的定义域为 a，b，值域为1，12，则ba的值不可能是()A.3 B.23 C D.43名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载解析：选A 画出函数ysin x的草图分析知ba的取值范围为23，43.4(2014丽水模拟)函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32内的图像是()A B C D 解析：选D ytan xsin x|tan xsin x|2tan x，x2，2sin x，x，32.故选D.5(

23、2014福州模拟)若函数y2cos x在区间0，23上递减，且有最小值1，则 的值可以是()A2 B.12 C3 D.13解析：选B 由y2cos x在 0，23上是递减的，且有最小值为1，则有f231，即 2cos 231，即 cos 2312.经验证，得出选项B符合6已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中 0，.若f(x)的最小正周期为 6，且当x2时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间 2，0 上是增函数Bf(x)在区间 3，上是增函数Cf(x)在区间 3，5 上是减函数Df(x)在区间 4，6 上是减函数解析：选A f(x)的最小正周期为6，13.当x2时，f(x)有最大值

24、，13222k(kZ)，32k(kZ)，3.f(x)2sinx33，由函数f(x)的图像(图略)易得，函数f(x)在区间 2，0 上是增函数，而在区间3，或3，5 上均没单调性，在区间4，6 上是增函数7已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有f6xf6x，则f6等于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载_解析：f6xf6x，x6是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴f62.答案：2 或 2 8已知函数f(x)12(sin xcos x)12|sin xcos x|，则f(x)的值域是 _解析：f(x)12(sin xcos x)

25、12|sin xcos x|cos xxcos x，sin xxcos x画出函数f(x)的图像(实线)，如图，可得函数的最小值为1，最大值为22，故值域为1，22.答案：1，229已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间4，4上是增函数；f(x)的图像关于直线x34对称其中真命题的是_解析：f(x)12sin 2x，当x10，x22时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x 4，4时，2x 2，2，故是真命题；因为f3412sin 3212，故f

26、(x)的图像关于直线x34对称，故是真命题答案：10函数f(x)Asinx61(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设 0，2，f22，求 的值解：(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2.函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，最小正周期T，2，函数f(x)的解析式为y2sin2x61.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)f22sin612，sin612.02，660.从而g()1cos 11sin2 14515.(2)f(x)g(x)等价于3sin x1 cos

27、 x，即3sin xcos x1.于是 sinx612.从而 2k6x62k56，kZ，即 2kx2k23，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x|2kx2k23，kZ.12已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，23cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图像关于直线x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图像经过点4，0，求函数f(x)在区间0，35上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x23sin xcos x cos 2x3sin 2x2sin2x6.由直线x 是yf(x)图像的

28、一条对称轴，可得sin261，所以 26k2(kZ)，即 k213(kZ)又(12，1)，kZ，所以k1，故 56.所以f(x)的最小正周期是65.(2)由yf(x)的图像过点4，0，得f40，即 2sin5626 2sin42，故f(x)2sin53x62，由0 x35，有 653x656，所 以 12sin53x61，得 122sin53x6222，故函数f(x)在 0，35上的取值范围为 12，22 冲击名校 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载1已知函数f(x)2sin x在区间3，4上的最小值为2，则 的取值范围是()A.，9

29、26，)B.，9232，C(，2 6，)D(，2 32，解析：选 D 当 0 时，由3x4，得3x4，由题意知，32，32；当 0 时，由3x4，得4x3，由题意知，42，2，综上可知，(，2 32，.2设函数f(x)sin(x)0，|2，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图像关于直线x12成轴对称图形；它的图像关于点3，0 成中心对称图形；在区间6，0 上是增函数以 其 中 两 个 论 断 作 为 条件，另 两 个 论 断 作 为结 论，写 出 你 认为 正 确 的 一 个 命 题_(用序号表示即可)解析：若成立，则22；令 212k2，kZ，且|2，故k0，则 3.此时f(x)sin

30、2x3，当x3时，sin2x3sin 0，所以f(x)的图像关于3，0 成中心对称；又f(x)在 512，12上是增函数，则f(x)在 6，0 上也是增函数，因此?.用类似的分析可求得?.答案：?或?高频滚动 1已知 sin 45，sin cos 1，则 cos ()A35B310C12 D.35解析：选A 由(sin cos)212sin cos 1，可得sin cos 0，又因为 sin 0，所以 cos 0，即 cos 35.2在ABC中，若 sin(2 A)2sin(B)，3cos A2cos(B)，求ABC的三个内角名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载解：由已知得sin A2sin B，3cos A2cos B，22得 2cos2A1，即 cos A22或 cos A22.(1)当 cos A22时，cos B32，又A，B是ABC的内角，A4，B6，C(AB)712.(2)当 cos A22时，cos B32.又A，B是ABC的内角，A34，B56，不合题意综上可知，A4，B6，C712.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -