高考数学专题03导数及其应用(文理合卷).doc

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1、2020年高考数学压轴必刷题专题03导数及其应用(文理合卷)1【2017年新课标2理科11】若x2是函数f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D1【解答】解：函数f（x）（x2+ax1）ex1，可得f（x）（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x2是函数f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，可得：f（2）（4+a）e3+（42a1）e30，即4+a+（32a）0解得a1可得f（x）（2x1）ex1+（x2x1）ex1，（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x2，x1，当x2或x1时，f（x）0函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x1

2、时，函数取得极小值：f（1）（1211）e111故选：A2【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）A-12B13C12D1【解答】解：因为f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x1）2+a（ex1+1ex-1）0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2a（ex1+1ex-1）有唯一解，等价于函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+1ex-1）的图象只有一个交点当a0时，f（x）x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+1ex-1）在（，1）上递增

3、、在（1，+）上递减，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+1ex-1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a01，此时函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+1ex-1）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+1ex-1）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+1ex-1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a1，即a=12，符合条件；综上所述，a=12，故选：C3【2015年新课标1理科12】设函数

4、f（x）ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A-32e，1）B-32e，34）C32e，34）D32e，1）【解答】解：设g（x）ex（2x1），yaxa，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线yaxa的下方，g（x）ex（2x1）+2exex（2x+1），当x-12时，g（x）0，当x-12时，g（x）0，当x=-12时，g（x）取最小值2e-12，当x0时，g（0）1，当x1时，g（1）e0，直线yaxa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）1且g（1）3e1aa，解得32ea1故选：D4【2015年新课标2理科12】设函

5、数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【解答】解：设g（x）=f(x)x，则g（x）的导数为：g（x）=xf(x)-f(x)x2，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=f(x)x为减函数，又g（x）=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=f(-1)-1=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x

6、）0xg（x）0x0g(x)0或x0g(x)0，0x1或x1故选：A5【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【解答】解：f（x）ax33x2+1，f（x）3ax26x3x（ax2），f（0）1；当a0时，f（x）3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=2a时，f（x）ax33x2+1在（，

7、0）上取得最小值；故f（2a）=8a2-34a2+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D6【2014年新课标2理科12】设函数f（x）=3sinxm，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）【解答】解：由题意可得，f（x0）3，即 x0m=k+2，kz，即 x0=2k+12m再由x02+f（x0）2m2，即x02+3m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为12|m|，m2 14m2+3，m24 求得 m2，或m2，故选：C7【2013年新课标2

8、理科10】已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）0B函数yf（x）的图象是中心对称图形C若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）单调递减D若x0是f（x）的极值点，则f（x0）0【解答】解：f（x）3x2+2ax+b（1）当4a212b0时，f（x）0有两解，不妨设为x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故C不正确f(-2a3-x)+f（x）=(-2a3-x)3+a(

9、-2a3-x)2+b(-2a3-x)+c+x3+ax2+bx+c=427a3-2ab3+2c，f(-a3)=(-a3)3+a(-a3)2+b(-a3)+c=227a3-ab3+c，f(-2a3-x)+f（x）=2f(-a3)，点P(-a3，f(-a3)为对称中心，故B正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则f(x1)=f(x2)=0，故D正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）0，故A正确（2）当0时，f(x)=3(x+a3)20，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确，C不正确；B同（1）中正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（

10、x）必然穿过x轴，即x0R，f（x0）0，故A正确综上可知：错误的结论是C由于该题选择错误的，故选：C8【2013年浙江理科08】已知e为自然对数的底数，设函数f（x）（ex1）（x1）k（k1，2），则（）A当k1时，f（x）在x1处取得极小值B当k1时，f（x）在x1处取得极大值C当k2时，f（x）在x1处取得极小值D当k2时，f（x）在x1处取得极大值【解答】解：当k1时，函数f（x）（ex1）（x1）求导函数可得f（x）ex（x1）+（ex1）（xex1），f（1）e10，f（2）2e210，则f（x）在在x1处与在x2处均取不到极值，当k2时，函数f（x）（ex1）（x1）2求导函数

11、可得f（x）ex（x1）2+2（ex1）（x1）（x1）（xex+ex2），当x1，f（x）0，且当x1时，f（x）0，当x0x1时（x0为极大值点），f（x）0，故函数f（x）在（1，+）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x1取得极小值对照选项故选：C9【2012年新课标1理科12】设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线yln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2B2(1-ln2)C1+ln2D2(1+ln2)【解答】解：函数y=12ex与函数yln（2x）互为反函数，图象关于yx对称，函数y=12ex上的点P(x，12ex)到直线yx的距离为d=|12ex-x|

12、2，设g（x）=12ex-x（x0），则g（x）=12ex-1，由g（x）=12ex-10可得xln2，由g（x）=12ex-10可得0xln2，函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当xln2时，函数g（x）min1ln2，dmin=1-ln22，由图象关于yx对称得：|PQ|最小值为2dmin=2(1-ln2)故选：B10【2019年浙江16】已知aR，函数f（x）ax3x若存在tR，使得|f（t+2）f（t）|23，则实数a的最大值是【解答】解：存在tR，使得|f（t+2）f（t）|23，即有|a（t+2）3（t+2）at3+t|23，化为|2a（3t2+6t+4

13、）2|23，可得-232a（3t2+6t+4）223，即23a（3t2+6t+4）43，由3t2+6t+43（t+1）2+11，可得0a43，可得a的最大值为43故答案为：4311【2018年江苏11】若函数f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为【解答】解：函数f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）2x（3xa）0的解为xa3

14、，f（x）在（0，a3）上递减，在（a3，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（a3）=-a327+10，解得a3，f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）4，f（0）1，f（1）0，f（x）minf（1）4，f（x）maxf（0）1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min4+1312【2017年江苏11】已知函数f（x）x32x+ex-1ex，其中e是自然对数的底数若f（a1）+f（2a2）0则实数a的取值范围是【解答】解：函数f（x）x32x+ex-1e

15、x的导数为：f（x）3x22+ex+1ex-2+2ex1ex=0，可得f（x）在R上递增；又f（x）+f（x）（x）3+2x+exex+x32x+ex-1ex=0，可得f（x）为奇函数，则f（a1）+f（2a2）0，即有f（2a2）f（a1）由f（a1）f（a1），f（2a2）f（1a），即有2a21a，解得1a12，故答案为：1，1213【2016年新课标2理科16】若直线ykx+b是曲线ylnx+2的切线，也是曲线yln（x+1）的切线，则b【解答】解：设ykx+b与ylnx+2和yln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=1x1=1x2

16、+1，得x1x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2kx2+b=ln(x2+1)联立上述式子解得k=2x1=12x2=-12；从而kx1+blnx1+2得出b1ln214【2016年北京理科14】设函数f（x）=x3-3x，xa-2x，xa若a0，则f（x）的最大值为；若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是【解答】解：若a0，则f（x）=x3-3x，x0-2x，x0，则f（x）=3x2-3，x0-2，x0，当x1时，f（x）0，此时函数为增函数，当x1时，f（x）0，此时函数为减函数，故当x1时，f（x）的最大值为2；f（x）=3x2-3，xa-2，xa，令f（x）0，

17、则x1，若f（x）无最大值，则a-1-2aa3-3a，或a-1-2aa3-3a-2a2，解得：a（，1）故答案为：2，（，1）15【2014年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+30平行，则a+b的值是【解答】解：直线7x+2y+30的斜率k=-72，曲线yax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+30平行，y2ax-bx2，4a+b2=-54a-b4=-72，解得：a=-1b=-2，故a+b3，故答案为：316【2013年新课标1理科16】若函数f（x）（

18、1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x2对称，则f（x）的最大值为【解答】解：函数f（x）（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x2对称，f（1）f（3）0且f（1）f（5）0，即1（3）2（3）2+a（3）+b0且1（5）2（5）2+a（5）+b0，解之得a=8b=15，因此，f（x）（1x2）（x2+8x+15）x48x314x2+8x+15，求导数，得f（x）4x324x228x+8，令f（x）0，得x12-5，x22，x32+5，当x（，2-5）时，f（x）0；当x（2-5，2）时，f（x）0； 当x（2，2+5）时，f（x）0； 当x（2+5，+）时，f（x）0f（x）在区间

19、（，2-5）、（2，2+5）上是增函数，在区间（2-5，2）、（2+5，+）上是减函数又f（2-5）f（2+5）16，f（x）的最大值为16故答案为：1617【2012年上海理科13】已知函数yf（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（12，5）、C（1，0），函数yxf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为【解答】解：由题意可得，f（x）=10x，(0x12)10-10x，(12x1)，yxf（x）=10x2，(0x12)-10x2+10x，(12x1)，设函数yxf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=012 10x2dx+121 （10x2+10x）d

20、x10x33|012+（10）x33|121+10x22|121=512-3512+5-54 =1512 =54故答案为：5418【2011年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）ex（x0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是【解答】解：设切点坐标为（m，em）该图象在点P处的切线l的方程为yemem（xm）令x0，解得y（1m）em过点P作l的垂线的切线方程为yemem（xm）令x0，解得yem+mem线段MN的中点的纵坐标为t=12（2m）em+memt=12em+（2m）em+e

21、mmem，令t0解得：m1当m（0，1）时，t0，当m（1，+）时，t0当m1时t取最大值12（e+e1）故答案为：12（e+e1）19【2010年江苏14】将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3x，S=(3-x)212(x+1)32(1-x)=43(3-x)21-x2(0x1) （方法一）利用导数求函数最小值S(x)=43(3-x)21-x2，S(x)=43(2x-6)(1-x2)-(3-x)2(-2x)(1-x2)2 =43(2x-6)(1-x2)-

22、(3-x)2(-2x)(1-x2)2=43-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2 S(x)=0，0x1，x=13，当x(0，13时，S（x）0，递减；当x13，1)时，S（x）0，递增；故当x=13时，S的最小值是3233（方法二）利用函数的方法求最小值令3-x=t，t(2，3)，1t(13，12)，则：S=43t2-t2+6t-8=431-8t2+6t-1故当1t=38，x=13时，S的最小值是32331【2017年新课标3文科12】已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）A-12B13C12D1【解答】解：因为f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x1

23、）2+a（ex1+1ex-1）0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2a（ex1+1ex-1）有唯一解，等价于函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+1ex-1）的图象只有一个交点当a0时，f（x）x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+1ex-1）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+1ex-1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a01，此时函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+1ex-1）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y1（

24、x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+1ex-1）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+1ex-1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a1，即a=12，符合条件；综上所述，a=12，故选：C2【2016年新课标1文科12】若函数f（x）x-13sin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，13C-13，13D1，-13【解答】解：函数f（x）x-13sin2x+asinx的导数为f（x）1-23cos2x+acosx，由题意可得f（x）0恒

25、成立，即为1-23cos2x+acosx0，即有53-43cos2x+acosx0，设tcosx（1t1），即有54t2+3at0，当t0时，不等式显然成立；当0t1时，3a4t-5t，由4t-5t在（0，1递增，可得t1时，取得最大值1，可得3a1，即a-13；当1t0时，3a4t-5t，由4t-5t在1，0）递增，可得t1时，取得最小值1，可得3a1，即a13综上可得a的范围是-13，13另解：设tcosx（1t1），即有54t2+3at0，由题意可得54+3a0，且543a0，解得a的范围是-13，13故选：C3【2014年新课标1文科12】已知函数f（x）ax33x2+1，若f（x）存

26、在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【解答】解：f（x）ax33x2+1，f（x）3ax26x3x（ax2），f（0）1；当a0时，f（x）3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=2a时，f（x）ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（2a）=8a2-34a2+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D4【2014年新课标2文科11】若函

27、数f（x）kxln x在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（）A（，2B（，1C2，+）D1，+）【解答】解：f（x）k-1x，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k1x，而y=1x在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故选：D5【2013年新课标2文科11】已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）0B函数yf（x）的图象是中心对称图形C若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（，x0）上单调递减D若x0是f（x）的极值点，则f（x0 ）0【解答】解：A、对于三次函数f （x

28、）x3+ax2+bx+c，A：由于当x时，y，当x+时，y+，故x0R，f（x0）0，故A正确；B、f（-2a3-x）+f（x）（-2a3-x）3+a（-2a3-x）2+b（-2a3-x）+c+x3+ax2+bx+c=4a327-2ab3+2c，f（-a3）（-a3）3+a（-a3）2+b（-a3）+c=2a327-ab3+c，f（-2a3-x）+f（x）2f（-a3），点P（-a3，f（-a3）为对称中心，故B正确C、若取a1，b1，c0，则f（x）x3x2x，对于f（x）x3x2x，f（x）3x22x1由f（x）3x22x10得x（，-13）（1，+）由f（x）3x22x10得x（-13，

29、1）函数f（x）的单调增区间为：（，-13），（1，+），减区间为：（-13，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（，1）不是单调递减，故C错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f（x0 ）0，故D正确由于该题选择错误的，故选：C6【2016年新课标3文科16】已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）ex1x，则曲线yf（x）在点（1，2）处的切线方程是【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）ex1x，设x0，则x0，f（x）f（x）ex1+x，则f（x）ex1+1，f（1）e0+12曲线yf（x）在点（1，2）处的切线方程是y22（x1）即y2x故答案为：y2x7【2015年新课标2文科16】已知曲线yx+lnx在点（1，1）处的切线与曲线yax2+（a+2）x+1相切，则a【解答】解：yx+lnx的导数为y1+1x，曲线yx+lnx在x1处的切线斜率为k2，则曲线yx+lnx在x1处的切线方程为y12x2，即y2x1由于切线与曲线yax2+（a+2）x+1相切，故yax2+（a+2）x+1可联立y2x1，得ax2+ax+20，又a0，两线相切有一切点，所以有a28a0，解得a8故答案为：8