专题03导数及其应用(文理合卷)45528.pdf

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1、12020 年高考数学压轴必刷题专题 03 导数及其应用(文理合卷)1【2017 年新课标 2 理科 11】若 x 2 是函数 f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D1【解答】解：函数 f（x）（x2+ax1）ex1，可得 f（x）（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x 2 是函数 f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，可得：f（2）（4+a）e3+（42a 1）e30，即4+a+（32a）0解得 a 1可得 f（x）（2x 1）ex1+（x2x 1）ex1，（x2+x 2）ex1，函数的极值点为：x 2，x 1，当 x 2 或 x

2、1 时，f（x）0 函数是增函数，x （2，1）时，函数是减函数，x 1 时，函数取得极小值：f（1）（1211）e111故选：A2【2017 年新课标 3 理科 11】已知函数 f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则 a（）ABCD1【解答】解：因为 f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x 1）2+a（ex1）0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x 1）2a（ex1）有唯一解，等价于函数 y 1（x 1）2的图象与 y a（ex1）的图象只有一个交点 当 a 0 时，f（x）x22x 1，此时有两个零点，矛盾；当 a 0 时，由于 y 1（x 1）2在（

3、，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y a（ex1）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数 y 1（x 1）2的图象的最高点为 A（1，1），y a（ex1）的图象的最高点为 B（1，2a），2由于 2a 01，此时函数 y 1（x 1）2的图象与 y a（ex1）的图象有两个交点，矛盾；当 a 0 时，由于 y 1（x 1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y a（ex1）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y 1（x 1）2的图象的最高点为 A（1，1），y a（ex1）的图象的最低点为 B（1，2a），由题可知点 A与点 B重合时满足条件，即 2a 1，即

4、 a，符合条件；综上所述，a，故选：C3【2015 年新课标 1 理科 12】设函数 f（x）ex（2x 1）ax+a，其中 a 1，若存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0，则 a 的取值范围是（）A）B）C）D）【解答】解：设 g（x）ex（2x 1），y axa，由题意知存在唯一的整数 x0使得 g（x0）在直线 y axa 的下方，g（x）ex（2x 1）+2exex（2x+1），当 x时，g（x）0，当 x时，g（x）0，当 x时，g（x）取最小值2，当 x 0 时，g（0）1，当 x 1 时，g（1）e 0，直线 y axa 恒过定点（1，0）且斜率为 a，故a g（0）1 且 g

5、（1）3e1a a，解得a 1故选：D34【2015 年新课标 2 理科 12】设函数 f（x）是奇函数 f（x）（x R）的导函数，f（1）0，当 x 0时，xf（x）f（x）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【解答】解：设 g（x），则 g（x）的导数为：g（x），当 x 0 时总有 xf（x）f（x）成立，即当 x 0 时，g（x）恒小于 0，当 x 0 时，函数 g（x）为减函数，又g（x）g（x），函数 g（x）为定义域上的偶函数又g（1）0，函数 g（x）的图象性质类似如图：数形结

6、合可得，不等式 f（x）0 x g（x）0或，0 x 1 或 x 1故选：A45【2014 年新课标 1 理科 11】已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【解答】解：f（x）ax33x2+1，f（x）3ax26x 3x（ax2），f（0）1；当 a 0 时，f（x）3x2+1 有两个零点，不成立；当 a 0 时，f（x）ax33x2+1 在（，0）上有零点，故不成立；当 a 0 时，f（x）ax33x2+1 在（0，+）上有且只有一个零点；故 f（x）ax33x2+1 在（，0

7、）上没有零点；而当 x时，f（x）ax33x2+1 在（，0）上取得最小值；故 f（）310；故 a 2；综上所述，实数 a 的取值范围是（，2）；故选：D6【2014 年新课标 2 理科 12】设函数 f（x）sin，若存在 f（x）的极值点 x0满足 x02+f（x0）2m2，则 m的取值范围是（）A（，6）（6，+）B（，4）（4，+）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）5【解答】解：由题意可得，f（x0），即k，k z，即 x0m 再由 x02+f（x0）2m2，即 x02+3m2，可得当 m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，m2m2+3，m24求得 m 2，或 m

8、2，故选：C7【2013 年新课标 2 理科 10】已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A x0 R，f（x0）0B函数 y f（x）的图象是中心对称图形C若 x0是 f（x）的极小值点，则 f（x）在区间（，x0）单调递减D若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）0【解答】解：f（x）3x2+2ax+b（1）当4a212b 0 时，f（x）0 有两解，不妨设为 x1x2，列表如下x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数 f（x）的极小值点，但是 f（x）在区间（，x2）不具

9、有单调性，故 C 不正确f（x）x3+ax2+bx+c2c，f（x），点 P为对称中心，故 B正确 由表格可知 x1，x2分别为极值点，则，故 D 正确 x 时，f（x）；x+，f（x）+，函数 f（x）必然穿过 x 轴，即 x R，f（x）60，故 A正确（2）当0 时，故 f（x）在 R上单调递增，此时不存在极值点，故 D 正确，C 不正确；B同（1）中 正确；x 时，f（x）；x+，f（x）+，函数 f（x）必然穿过 x 轴，即 x0 R，f（x0）0，故 A正确综上可知：错误的结论是 C由于该题选择错误的，故选：C8【2013 年浙江理科 08】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（

10、x）（ex1）（x 1）k（k 1，2），则（）A当 k 1 时，f（x）在 x 1 处取得极小值B当 k 1 时，f（x）在 x 1 处取得极大值C当 k 2 时，f（x）在 x 1 处取得极小值D当 k 2 时，f（x）在 x 1 处取得极大值【解答】解：当 k 1 时，函数 f（x）（ex1）（x 1）求导函数可得 f（x）ex（x 1）+（ex1）（xex1），f（1）e 10，f（2）2e210，则 f（x）在在 x 1 处与在 x 2 处均取不到极值，当 k 2 时，函数 f（x）（ex1）（x 1）2求导函数可得 f（x）ex（x 1）2+2（ex1）（x 1）（x 1）（xex

11、+ex2），当 x 1，f（x）0，且当 x 1 时，f（x）0，当 x0 x 1 时（x0为极大值点），f（x）0，故函数f（x）在（1，+）上是增函数；在（x0，1）上是减函数，从而函数 f（x）在 x 1 取得极小值对照选项故选：C79【2012 年新课标 1 理科 12】设点 P在曲线上，点 Q在曲线 y ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2BC1+ln2D【解答】解：函数与函数 y ln（2x）互为反函数，图象关于 y x 对称，函数上的点到直线 y x 的距离为，设 g（x）（x 0），则 g（x），由 g（x）0 可得 x ln2，由 g（x）0 可得 0 x ln2

12、，函数 g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当 x ln2 时，函数 g（x）min1ln2，由图象关于 y x 对称得：|PQ|最小值为故选：B10【2019 年浙江 16】已知 a R，函数 f（x）ax3x 若存在 t R，使得|f（t+2）f（t）|，则实数 a 的最大值是【解答】解：存在 t R，使得|f（t+2）f（t）|，即有|a（t+2）3（t+2）at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）2|，8可得2a（3t2+6t+4）2，即a（3t2+6t+4），由 3t2+6t+43（t+1）2+11，可得 0a，可得 a 的最大值为 故答案为：11【2018

13、 年江苏 11】若函数 f（x）2x3ax2+1（a R）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为【解答】解：函数 f（x）2x3ax2+1（a R）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）2x（3x a），x （0，+），当 a 0 时，f（x）2x（3x a）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当 a 0 时，f（x）2x（3x a）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（）10，解得 a 3，f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x 1），x 1，

14、1，f（x）0 的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）4，f（0）1，f（1）0，f（x）minf（1）4，f（x）maxf（0）1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min4+1312【2017 年江苏 11】已知函数 f（x）x32x+ex，其中 e 是自然对数的底数若 f（a 1）+f（2a2）90则实数 a 的取值范围是【解答】解：函数 f（x）x32x+ex的导数为：f（x）3x22+ex2+20，可得 f（x）在 R上递增；又 f（x）+f（x）（x）3+2x+exex+x32x+ex0，可得 f（x）为奇函数，

15、则 f（a 1）+f（2a2）0，即有 f（2a2）f（a 1）由 f（a 1）f（a 1），f（2a2）f（1a），即有 2a21a，解得1a，故答案为：1，13【2016 年新课标 2 理科 16】若直线 y kx+b 是曲线 y lnx+2 的切线，也是曲线 y ln（x+1）的切线，则 b【解答】解：设 y kx+b 与 y lnx+2 和 y ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得 k，得 x1x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而 kx1+b lnx1+2 得出 b 1ln214【2016 年北京理科 14】

16、设函数 f（x）若 a 0，则 f（x）的最大值为；若 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围是10【解答】解：若 a 0，则 f（x），则 f（x），当 x 1 时，f（x）0，此时函数为增函数，当 x 1 时，f（x）0，此时函数为减函数，故当 x 1 时，f（x）的最大值为 2；f（x），令 f（x）0，则 x 1，若 f（x）无最大值，则，或，解得：a （，1）故答案为：2，（，1）15【2014 年江苏 11】在平面直角坐标系 xOy中，若曲线 y ax2（a，b 为常数）过点 P（2，5），且该曲线在点 P处的切线与直线 7x+2y+30 平行，则 a+b 的值是【解答】解：直线

17、 7x+2y+30 的斜率 k，曲线 y ax2（a，b 为常数）过点 P（2，5），且该曲线在点 P处的切线与直线 7x+2y+30 平行，y 2ax，解得：，故 a+b 3，故答案为：316【2013 年新课标 1 理科 16】若函数 f（x）（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线 x 2 对称，则 f（x）的最大值为【解答】解：函数 f（x）（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线 x 2 对称，11f（1）f（3）0 且 f（1）f（5）0，即1（3）2（3）2+a（3）+b 0 且1（5）2（5）2+a（5）+b 0，解之得，因此，f（x）（1x2）（x2+8x+15）x48x

18、314x2+8x+15，求导数，得 f（x）4x324x228x+8，令 f（x）0，得 x12，x22，x32，当 x （，2）时，f（x）0；当 x （2，2）时，f（x）0；当 x （2，2）时，f（x）0；当 x （2，+）时，f（x）0f（x）在区间（，2）、（2，2）上是增函数，在区间（2，2）、（2，+）上是减函数又f（2）f（2）16，f（x）的最大值为 16故答案为：1617【2012 年上海理科 13】已知函数 y f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数 y xf（x）（0 x 1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为【解答】解：由

19、题意可得，f（x），y xf（x），设函数 y xf（x）（0 x 1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S，则 S10 x2dx（10 x2+10 x）dx10（10）10512故答案为：18【2011 年江苏 12】在平面直角坐标系 xOy中，已知 P是函数 f（x）ex（x 0）的图象上的动点，该图象在点 P处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是【解答】解：设切点坐标为（m，em）该图象在点 P处的切线 l 的方程为 y emem（x m）令 x 0，解得 y（1m）em过点 P作 l 的垂线的

20、切线方程为 y emem（x m）令 x 0，解得 y em+mem线段 MN 的中点的纵坐标为 t（2m）em+memt em+（2m）em+emmem，令 t 0 解得：m 1当 m （0，1）时，t 0，当 m （1，+）时，t 0当 m 1 时 t 取最大值（e+e1）故答案为：（e+e1）19【2010 年江苏 14】将边长为 1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则 S 的最小值是【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则梯形的周长为 3x，（方法一）利用导数求函数最小值，当时，S（x）0，递减；当时，S（x）0，递增；13故当时，S 的最小值是

21、（方法二）利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S 的最小值是1【2017 年新课标 3 文科 12】已知函数 f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则 a（）ABCD1【解答】解：因为 f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x 1）2+a（ex1）0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x 1）2a（ex1）有唯一解，等价于函数 y 1（x 1）2的图象与 y a（ex1）的图象只有一个交点 当 a 0 时，f（x）x22x 1，此时有两个零点，矛盾；当 a 0 时，由于 y 1（x 1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y a（ex1）在（，1）上递

22、增、在（1，+）上递减，所以函数 y 1（x 1）2的图象的最高点为 A（1，1），y a（ex1）的图象的最高点为 B（1，2a），由于 2a 01，此时函数 y 1（x 1）2的图象与 y a（ex1）的图象有两个交点，矛盾；当 a 0 时，由于 y 1（x 1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y a（ex1）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y 1（x 1）2的图象的最高点为 A（1，1），y a（ex1）的图象的最低点为 B（1，2a），由题可知点 A与点 B重合时满足条件，即 2a 1，即 a，符合条件；14综上所述，a，故选：C2【2016 年新课标 1

23、文科 12】若函数 f（x）xsin2x+a sinx 在（，+）单调递增，则 a 的取值范围是（）A1，1B1，C，D1，【解答】解：函数 f（x）xsin2x+a sinx 的导数为 f（x）1cos2x+a cosx，由题意可得 f（x）0 恒成立，即为 1cos2x+a cosx 0，即有cos2x+a cosx 0，设 t cosx（1t 1），即有 54t2+3at0，当 t 0 时，不等式显然成立；当 0t 1 时，3a 4t，由 4t 在（0，1递增，可得 t 1 时，取得最大值1，可得 3a 1，即 a；当1t 0 时，3a 4t，由 4t 在1，0）递增，可得 t 1 时，

24、取得最小值 1，可得 3a 1，即 a综上可得 a 的范围是，另解：设 t cosx（1t 1），即有 54t2+3at0，由题意可得 54+3a 0，且 543a 0，解得 a 的范围是，故选：C153【2014 年新课标 1 文科 12】已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【解答】解：f（x）ax33x2+1，f（x）3ax26x 3x（ax2），f（0）1；当 a 0 时，f（x）3x2+1 有两个零点，不成立；当 a 0 时，f（x）ax33x2+1 在（，0）上有零点

25、，故不成立；当 a 0 时，f（x）ax33x2+1 在（0，+）上有且只有一个零点；故 f（x）ax33x2+1 在（，0）上没有零点；而当 x时，f（x）ax33x2+1 在（，0）上取得最小值；故 f（）310；故 a 2；综上所述，实数 a 的取值范围是（，2）；故选：D4【2014 年新课标 2 文科 11】若函数 f（x）kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（）A（，2B（，1C2，+）D1，+）【解答】解：f（x）k，函数 f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0 在区间（1，+）上恒成立k，而 y在区间（1，+）上单调递减，k 1k 的取值范

26、围是：1，+）故选：D5【2013 年新课标 2 文科 11】已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）16A x0 R，f（x0）0B函数 y f（x）的图象是中心对称图形C若 x0是 f（x）的极小值点，则 f（x）在区间（，x0）上单调递减D若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）0【解答】解：A、对于三次函数 f（x）x3+ax2+bx+c，A：由于当 x 时，y，当 x+时，y+，故 x0 R，f（x0）0，故 A正确；B、f（x）+f（x）（x）3+a（x）2+b（x）+c+x3+ax2+bx+c2c，f（）（）3+a（）2+b（）+cc，f（x）+f（x

27、）2f（），点 P（，f（）为对称中心，故 B正确C、若取 a 1，b 1，c 0，则 f（x）x3x2x，对于 f（x）x3x2x，f（x）3x22x 1由 f（x）3x22x 10 得 x （，）（1，+）由 f（x）3x22x 10 得 x （，1）函数 f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1），故 1 是 f（x）的极小值点，但 f（x）在区间（，1）不是单调递减，故 C 错误；D：若 x0是 f（x）的极值点，根据导数的意义，则 f（x0）0，故 D 正确由于该题选择错误的，故选：C176【2016 年新课标 3 文科 16】已知 f（x）为偶函数，当 x 0

28、时，f（x）ex1x，则曲线 y f（x）在点（1，2）处的切线方程是【解答】解：已知 f（x）为偶函数，当 x 0 时，f（x）ex1x，设 x 0，则x 0，f（x）f（x）ex1+x，则 f（x）ex1+1，f（1）e0+12曲线 y f（x）在点（1，2）处的切线方程是 y 22（x 1）即 y 2x 故答案为：y 2x 7【2015 年新课标 2 文科 16】已知曲线 y x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线 y ax2+（a+2）x+1 相切，则 a【解答】解：y x+lnx的导数为 y 1，曲线 y x+lnx在 x 1 处的切线斜率为 k 2，则曲线 y x+lnx在 x 1 处的切线方程为 y 12x 2，即 y 2x 1由于切线与曲线 y ax2+（a+2）x+1 相切，故 y ax2+（a+2）x+1 可联立 y 2x 1，得 ax2+ax+20，又 a 0，两线相切有一切点，所以有a28a 0，解得 a 818故答案为：8