1理论力学 (48).pdf

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1、第九章正则方程第九章正则方程 第九章正则方程第九章正则方程 在相空间中研究系统的运动, 导出正则方程，称在相空间中研究系统的运动, 导出正则方程，称 为哈密顿方法, 或哈密顿表述. 其特点是为哈密顿方法, 或哈密顿表述. 其特点是简单对称简单对称. . 正则方程正则方程 泊松括号泊松括号 泊松括号泊松括号 正则变换 哈密顿-雅可比方程和分析力学发正则变换 哈密顿-雅可比方程和分析力学发 展简介展简介 9-1 正则方程9-1 正则方程 拉格朗日表述是在位形空间中描述系统的运动拉格朗日表述是在位形空间中描述系统的运动. .拉格朗日表述是在位形空间中描述系统的运动拉格朗日表述是在位形空间中描述系统的

2、运动. . )(tqqLL&=tqqd/d=&),(tqqLL =tqqd/d= LL 210 d 二阶常微二阶常微 分方程组分方程组 s qqt , 2 , 1, 0 d L & = 分方程组分方程组 Xq & ()tqqLL, &= Xq ()tXqLL, = q L X L t 0 d d = 一阶常微一阶常微 s X q qXt , 2 , 1 d d L= = 一阶常微一阶常微 分方程组分方程组 X t d 9-1 正则方程9-1 正则方程 勒让德变换勒让德变换1.1.勒让德变换勒让德变换 ()yxff = ff fddd + ()yxff,= y y f x x f fddd +

3、= f x f u = f () f y y f xufddd += ()uxuxxuddd= ()y y f uxfuxddd = ()uxuxxuddd = fx f fuxg = y g u g gddd + = f x fg y f uxgddd = yu gfg x = = y y g yyu x = =, 9-1 正则方程9-1 正则方程 ()f(), x y, u y(),f x y(),g u y 2 2 正则方程正则方程2 2. .正则方程正则方程 ()LL qqt & ss LLL dLdddt + &(),LL qqt = 11 dLdqdqdt qqt = =+ & s

4、sss L () 1111 L dqp dqd p qq dp q = = & & /pLq = & 111 sss LL dp qLdqq dpdt qt = + & 111 qt = 9-1 正则方程9-1 正则方程 111 sss L dp qLp dqq dpdt t = = + & LdL & 111 t = s Hp qL = & p qdtq = & 1 p q = ss L dHdddt + & 11 dHp dqq dpdt t = = + ss HHH 11 ss a HHH dHdqdpdt qpt = =+ 0 ss a HHHL pdqqdpdt tt += & 11

5、 qptt = 9-1 正则方程9-1 正则方程 H 正则方程正则方程 , 1 2 H q p s = = & L 正则方程正则方程 1,2, , , s H p q = = L &. HL tt = q 例题1例题1 22 1 Tml= & 1 , 2 Tml= cos ,Vmgl= 22 1 cos 2 LTVmlmgl=+ & 2 , L pml = & & 2 . p l = & 2 ml s Hp qLpL= & & 1 ,Hp qLpL = = 9-1 正则方程9-1 正则方程 H 2 cos p Hmgl = 2 , pH pml = & 2 cos , 2 Hmgl ml =

6、sin . H pmgl = = & sin l g = & & l (1)检验正则方程的使用条件是否得到满足, 然后确定(1)检验正则方程的使用条件是否得到满足, 然后确定 自由度, 选择适当的广义坐标.自由度, 选择适当的广义坐标. (2)(2)写出系统相对惯性系的动能和势能的表达式写出系统相对惯性系的动能和势能的表达式, , 进而进而(2)(2)写出系统相对惯性系的动能和势能的表达式写出系统相对惯性系的动能和势能的表达式, , 进而进而 构建系统的拉格朗日函数,并求出广义动量,进而由此反构建系统的拉格朗日函数,并求出广义动量,进而由此反 解出解出. .()1 2qqqp ts&解出解出.

7、 . (),1,2,qqqp ts =L 9-1 正则方程9-1 正则方程 ()(3)写出哈密顿函数.(3)写出哈密顿函数.(),HH qpt = (4)(4)代入正则方程代入正则方程, , 得出系统的运动方程得出系统的运动方程. .(4)(4)代入正则方程代入正则方程, , 得出系统的运动方程得出系统的运动方程. . 3 3 哈密顿函数的意义哈密顿函数的意义3 3. .哈密顿函数的意义哈密顿函数的意义 s Hp qL &HTTV+ 1 Hp qL = = 20 HTTV=+ 4 4 正则变量正则变量相空间相空间正则方程的意义正则方程的意义4 4. .正则变量正则变量、相空间相空间、正则方程的

8、意义正则方程的意义 5 5 广义能量积分和广义动量积分广义能量积分和广义动量积分5 5. .广义能量积分和广义动量积分广义能量积分和广义动量积分 (1)(1)广义能量积分广义能量积分(1)(1)广义能量积分广义能量积分 9-1 正则方程9-1 正则方程 (),HH qpt = 11 . ss dHHHH qp dtqpt = =+ & qp , H q = & 1,2, , , p s H p = = L &,p q dHH = HdH . dtt = 0, H t = 0, dH dt = . HL = (),.HH qpt =常量 HTTV常量常量tt 20 HTTV=+=常量常量 9-1

9、 正则方程9-1 正则方程 (2)广义动量积分(2)广义动量积分 0, H q = (),.ppqpta =常量 () 111111 ,. ss Hqqqq ppapp t + =LLLL() 111111ss qqqq pppp + HH , H q a = &, H qdtC a =+ () 1111 , ss LL qqqq qq t + =&LLL 9-1 正则方程9-1 正则方程 例题2例题2 () 2222 11 Tmvm R+ & & (). 22 Tmvm Rz=+ () 222 11 () 222 11 . 22 Vkrk Rz=+ T 2 , T pmR T = & &2

10、, p mR = & , z T pmz z = & & . z p z m = & () 22 22 2 1 . 222 z pp HTVk Rz mRm =+=+ 222mRm 9-1 正则方程9-1 正则方程 /0H=ph = 22 1h () 22 22 2 1 . 222 z ph Hk Rz mRm =+ , z pH z pm = & k z pm H pkz = = & 0=+z m k z & & . z pkz z = 22 2/mHh RkmRA= () 2 22 2 2, h pmHkm Rz=+ 2 z pAkmz= () 2 2, z pmHkm Rz R +z 9-1 正则方程9-1 正则方程 m p z z =& 1 2 arcsin. mdzmkm tzC kA Akmz =+ mAkmz sin, Ak zt kmm = 0 /k m= hh dttC+ 2. 22 dttC mRmR =+ 0. 2 h t mR =+ mR