概率论与数理统计 (4).pdf

《概率论与数理统计 (4).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 (4).pdf（49页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计概率论与数理统计 4.1 数学期望数学期望 4.2 方差方差 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设X是离散型随机变量，它的分布律是是离散型随机变量，它的分布律是: 1 kk k x p 如果级数如果级数绝对收敛绝对收敛,则称则称 1 )( k kk pxXE (),1,2,. kk P Xxpk 为随机变量为随机变量X的数学期望的数学期望. 4.1 数学期望数学期望 一、离散型一、离散型随机变随机变量的数学期望量的数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设X是连续型随机变量，其密

2、度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果如果 ( )x f x dx 绝对收敛绝对收敛,则定义则定义X的数学期望为的数学期望为 dxxfxXE)()( 4.1 数学期望数学期望 二二、连续型、连续型随机变随机变量的数学期望量的数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1.(投资决策问题投资决策问题)假设某人进行为期一年的投资，有两种投资假设某人进行为期一年的投资，有两种投资 方案供选择：方案供选择：基金投资和股票投资基金投资和股票投资。 1) 若若经济形势良好，则基金投资的收益率为经济形势良好，则基金投资的收益率为15%，股票投资的，股票投资的 收益率为收益率为25%；

3、 2) 若若经济形势一般，则基金投资的收益率为经济形势一般，则基金投资的收益率为8%，股票投资的，股票投资的 收益率为收益率为10%； 3) 若若经济形势不好，则基金投资会亏损经济形势不好，则基金投资会亏损10%，股票投资会亏损，股票投资会亏损 20%。 假设上述假设上述三种经济形势发生的概率分别为三种经济形势发生的概率分别为0.25, 0.55, 0.2。 若依据预期收益率若依据预期收益率最大化原则最大化原则，你会选择，你会选择何种投资方案？何种投资方案？ 4.1 数学期望数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计 4.1 数学期望数学期望 1 ()0.150.250.080.550.100

4、.20.0615E X XX 12 和和分分别别表表示示基基金金投投资资和和股股票票投投资资的的收收益益率率，由由题题得得解解: :设设 2 ()0.250.250.100.550.200.20.0775E X X10.150.08-0.10 P0.250.550.20 X20.250.10-0.20 P0.250.550.20 计算可知，股票投资的预期收益高于基金投资，应选股票投资。计算可知，股票投资的预期收益高于基金投资，应选股票投资。 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 设随机变量设随机变量XP()，其分布律为，其分布律为 (),0,1,2,., ! k P Xkek k 求数学

5、期望求数学期望E(X). 解解: 1 010 () !(1)! kkk kkk E Xkeeee e kkk 1 010 () !(1)! kkk kkk E Xkeeee e kkk 4.1 数学期望数学期望 高等数学中的高等数学中的 经典级数求和经典级数求和 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例3. 设设X的概率密度如下，求的概率密度如下，求E(X). 解解: 1,10, ( )1,01, 0, xx f xxx 其其他他. . 01 10 ()( ) (1)(1)0 E Xxf x dx xx dxxx dx 4.1 数学期望数学期望 有何规律？有何规律？ 概率论与数理统计概率论与数理

6、统计 例例4. 设设X N(,2), 求求E(X). 解解: 01 10 01 2323 10 ()( )(1)(1) 1111 ()() 2323 1111 0 2323 E Xxf x dxxx dxxx dx xxxx dxex x 2 2 2 )( 2 1 x y 令 dyey y 2 2 )( 2 1 dyedyey yy 22 22 22 0 4.1 数学期望数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计 推论：设随机变量推论：设随机变量X的数学期望存在，其概率密度函数为的数学期望存在，其概率密度函数为f(x) 2xR f xfx( ),( )()0 若若对对，则则其其数数学学期期望望

7、为为 ； 4.1 数学期望数学期望 1xR fxfx( ),()() 若若对对，则则其其数数学学期期望望为为 . . 即当密度函数即当密度函数(分布律分布律)是偶函数时，数学期望为是偶函数时，数学期望为0 即当密度函数即当密度函数(分布律分布律)是关于是关于x=对称时，数学期望为对称时，数学期望为 概率论与数理统计概率论与数理统计 若若X 0-1分布分布, 那么那么E(X)=p 若若X B(n,p), 那么那么E(X)=np 若若X P(),那么那么E(X)= 若若X G(p)， 那么那么E(X)=1/p 4.1 数学期望数学期望 七大常见分布的数学期望：七大常见分布的数学期望： 若若X E(

8、), 那么那么E(X)=1/ 若若X Ua,b, 那么那么E(X)=(a+b)/2 若若X N(,2), 那么那么E(X) = 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设Y是随机变量是随机变量X的连续函数，的连续函数，Y=g(X)，则在绝对收敛的前提下则在绝对收敛的前提下 1 (), () () ( )( ), kk k g xpX E YE g X g x f x dxX 离离散散型型 连连续续型型 其中，当其中，当X为离散型时，为离散型时，P(X= xk)=pk; 当当X为连续型时，为连续型时，X的密度函数为的密度函数为f (x). 4.1 数学期望数学期望 三、一维随机变量函数的数学期望三、

9、一维随机变量函数的数学期望 公式公式(1) 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量，定义函数，定义函数 Z=g(X,Y)， 则在满足绝对收敛的条件下，有则在满足绝对收敛的条件下，有 (,),(,) () ( ,)( ,),(,) ijij ij g xypX Y E Z g x y f x y dxdyX Y 离离散散型型 连连续续型型 4.1 数学期望数学期望 四四、二维随、二维随机变机变量函数的数学期望量函数的数学期望 公式公式(2) 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例5. 设设X的分布律如下，试求的分布律如下，试求Y=|X|的数学期望。的数学期望

10、。 解解: :根据公式根据公式(1)(1)可得可得 X-2-1012 P0.150.20.30.150.2 4.1 数学期望数学期望 E YEX( )(|)2*0.151*0.201*0.152*0.21.05 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例6. 若若XN(0,1),YN(0,1)，X与与Y独立，独立， 22 .EXY求求 解解: 22 2 1 ( ,),(,) 2 xy f x yexy dydxeyxYXE yx 2 2222 22 2 1 2 00 2 2 2 1 drdrer r 0 2 0 2 2 22 rr rdedrer 2 2 0 2 0 2 22 drere rr 4

11、.1 数学期望数学期望 极坐标变换 概率论与数理统计概率论与数理统计 1. E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y); n i i n i i XEXE 11 )( 3. 设设X、Y相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 反之不一定成立反之不一定成立 n i ii n i ii XEaXaE 11 )( E(aX)=aE(X)E(b)=b 4.1 数学期望数学期望 五、数学期望的性质五、数学期望的性质 性质1/2表明 期望保持线性线性 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. 求随机变量求随机变量XB(n,p)的数学期望。的数学期望。 解

12、解: 令令X1,X2,Xn独立同分布，独立同分布，均服从均服从B(1,p),则则 12n XXXX( , )B n p 1 1 ()()() n i i E XEXnE Xnp 4.1 数学期望数学期望 利用独立可加利用独立可加 化繁为简化繁为简 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 将将n个球放入个球放入M个盒子中，设每个球个盒子中，设每个球落入落入各个盒子是等可能各个盒子是等可能 的，求有球的的，求有球的盒子盒子数数X的数学期望。的数学期望。 解解: 1 (1, 2,) 0 i i XiM i 第第 个个盒盒子子中中有有球球 第第 个个盒盒子子中中无无球球 12M XXXX 1 ()

13、1(1) n i E X M 1 ()() M i i E XE X 4.1 数学期望数学期望 1 1 ()()=(1(1) ) M n i i E XE XM M 1 (0)(1) n i P X M 1 (1)1 (1) n i P X M 概率论与数理统计概率论与数理统计 小结小结 1、随机变量数学期望的定义和计算、随机变量数学期望的定义和计算 2、七大分布的数学期望、七大分布的数学期望 3、随机变量函数的数学期望定义和计算、随机变量函数的数学期望定义和计算 4、数学期望的性质、数学期望的性质 4.1 数学期望数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计 引例（引例（数据比较数据比较）：从

14、）：从甲、乙两台自动包装机所生产甲、乙两台自动包装机所生产的产的产品中各品中各 抽查抽查10包包，测得重量如下：，测得重量如下： 甲甲包装机包装机产品重量，记为产品重量，记为X： 0.52,0.48,0.53,0.47,0.56,0.51,0.44,0.52,0.48,0.49; 乙乙包装机包装机产品重量，记为产品重量，记为Y： 0.61,0.46,0.60,0.40,0.52,0.39,0.58,0.45,0.57,0.42。 4.2 方差方差 平均波动幅度 平均值平均值 0.50.5 平均值平均值 0.50.5 概率论与数理统计概率论与数理统计 的期望存在的期望存在,则称该期望为方差则称该

15、期望为方差, 记为记为D(X)。分别从离散型和连续型随机变量角度看分别从离散型和连续型随机变量角度看,则有则有 计算公式：计算公式： D(X)=E(X2)-E(X)2 kk k xE XpX D XEXE X xE Xf x dxX 2 2 1 2 (), ()() ()( ), 离离散散型型 连连续续型型 4.2 方差方差 一、方差的定义与计算一、方差的定义与计算 若随机变量函数若随机变量函数 XD X()()称称为为标标准准差差或或者者均均方方差差 （1 1） (X-E(X)2 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. (投资决策问题续投资决策问题续)若依据投资风险最小化原则，该选择何若

16、依据投资风险最小化原则，该选择何 种投资方案？种投资方案？ 12 ()0.0615,()0.0775E XE X 2222 1 ()0.150.250.080.55( 0.10)0.20.011145E X 解解: : 2222 2 ()0.250.250.100.55( 0.20)0.20.029125E X 12 ()0.00736275,()0.02311875D XD X 4.2 方差方差 显然，在考虑风险的前提下，选择基金投资更为显然，在考虑风险的前提下，选择基金投资更为稳妥稳妥。 X10.150.08-0.10 P0.250.550.20 X20.250.10-0.20 P0.25

17、0.550.20 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 设设X服从参数为服从参数为p的的0-1分布，求其方差和标准差。分布，求其方差和标准差。 例例3. 设设X N(,2), 求求D(X). 4.2 方差方差 2 (),()E Xp E Xp ()(1)()(1)，D XppXpp 2 2 () 2 2 1 ()() 2 x D Xxedx ()/令 y= x 2 222 2 1 = 2 y yedx 注：注：X N(0,1), D(X)=E(X2) 概率论与数理统计概率论与数理统计 性质性质1. D(aX+b)=a2D(X) D(aX)=a2D(X) D(b)=0 D(-X)= D(X

18、) 4.2 方差方差 二、方差的性质二、方差的性质 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例4. 已知已知E(X)=3，E(X2)=12,求求D(2-4X)。 解解: 22 ()() ()1293D XE XE X (24)16 ()48DXD X 4.2 方差方差 概率论与数理统计概率论与数理统计 性质性质2. 若若X、Y相互独立相互独立,则则D(X+Y) = D(X)+D(Y); 反之不一定成立反之不一定成立 22 ,()()( )X YD aXbYa D Xb D Y若若相相互互独独立立 2 12 111 ,.,()() nnn niiiiii iii XXXDa XD a Xa D X

19、若若相相互互独独立立 ,()()( )X YD XYD XD Y若若相相互互独独立立 一般地一般地，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2EX-E(X)Y-E(Y) 4.2 方差方差 二、方差的性质二、方差的性质 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例5. 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 求求E(aXbY), D(aXbY). 解解: (, ) (2,1,1,1,0)X YN由题可知 且且X与与Y相互独立。相互独立。 22 21 2 1 2 ()() ( ,), xy f x yex y (2,1),(1,1)XNY

20、N故 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)=2a+b, 同理同理E(aX-bY)= 2a-b D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)= a2+b2=D(aX-bY) 4.2 方差方差 概率论与数理统计概率论与数理统计 为随机变量为随机变量X的标准化的标准化随机变量，上述过程称为随机变量，上述过程称为标准化标准化。它的。它的 作用是将随机变量作无量纲化处理。作用是将随机变量作无量纲化处理。 * () () XE X X D X E(X*)=0, D(X*)=1 4.2 方差方差 标准化过程标准化过程：若随机变量若随机变量X的期望、方差存在，则称的期望、方差存在，则称 标准化随机变量的期

21、望与方差：标准化随机变量的期望与方差： (2) 概率论与数理统计概率论与数理统计 C=0，即，即E(Xk)称为称为X的的k阶原点矩阶原点矩 C=EX，即即E(X-E(X)k称为称为X的的k阶中心矩阶中心矩 E(X)就是就是X的的1阶原点矩阶原点矩 D(X)就是就是 X的的2阶中心矩阶中心矩 4.2 方差方差 矩矩的定义：的定义： 注：注：矩的概念将在极限理论、参数估计中得到充分使用。矩的概念将在极限理论、参数估计中得到充分使用。 随机变量函数随机变量函数(X-C) k的期望 的期望E( (X-C)k)存在存在, 其中其中C为常数，若为常数，若 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设随机变量随机

22、变量X有数学期望有数学期望和方差和方差2，则对于任，则对于任给的给的0,则则 对立事件对立事件 2 2 |PX 2 2 1PX| 切比雪夫切比雪夫不等式不等式 4.2 方差方差 注意：注意：虽然切比雪夫不等式只给出上述特殊事件粗略的概率估虽然切比雪夫不等式只给出上述特殊事件粗略的概率估 计，但它却是概率极限理论证明中的一个重要工具。计，但它却是概率极限理论证明中的一个重要工具。 |X- | 和和|X- | 0, D(Y)0,称称 )()( ),cov( YDXD YX XY 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 二、相关系数二、相关系数 0, XY XY 与与 不不相相关关 0, XY X

23、Y 与与 负负相相关关 0, XY XY 与与 正正相相关关 基于相关系数的相关基于相关系数的相关 关系的定性描述关系的定性描述 概率论与数理统计概率论与数理统计 ()()( )2()()( )D XYD XD YE XYE X E Y ()()( )2cov(, )D XYD XD YX Y ()()( )2 XYXY D XYD XD Y 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 cov(, )= XYXYXY X YDXDY 基本公式：基本公式： 概率论与数理统计概率论与数理统计 cov(, )()( ) ()( )()( ) XY X YXE X YE Y E D X D YD XD

24、Y )( YXE )()()( YEXEYXE ),cov( YX YX 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 线性同号不变性：线性同号不变性：, , XYaXb cYd ac 同号时 特例：标准化随机变量特例：标准化随机变量 * ()( ) ()( ) XE XYE Y XY D XD Y ， 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.1 存在常数存在常数a,b(a0），），使使P(Y=aX+b)=1 11.| 相关系数的性质相关系数的性质 3. X与与Y相互独立相互独立X与与Y不相关不相关 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 即即X, ,Y之间几乎处处呈线性关系，之间几乎处处呈线性关

25、系， 或或X, ,Y之间以概率之间以概率1 1呈线性关系。呈线性关系。 概率论与数理统计概率论与数理统计 性质性质2中，若系数中，若系数a0，则，则XY=1，系数，系数a0时，时， Y有随着有随着X 增加而增大的趋势；当增加而增大的趋势；当XY0时，时， Y有随着有随着X增加而减小的趋势增加而减小的趋势. 1| 概率论与数理统计概率论与数理统计 不相关不相关只说明两个随机变量之间没有线性关系只说明两个随机变量之间没有线性关系，不否认还，不否认还 有有某种别的函数关系某种别的函数关系；而相互；而相互独立说明两个随机变量之间没有独立说明两个随机变量之间没有 任何关系，既无线性关系，也无非线性关系任

26、何关系，既无线性关系，也无非线性关系。 所以所以相互独立必然不相关，反之不一定成立。相互独立必然不相关，反之不一定成立。 相互独立和相互独立和不相关问题的解析不相关问题的解析 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 0 0Cov(,) ()() ( ) ()()( ) XY XYXY X Y E XYE X E Y D XYD XD Y 与与 相相互互独独立立与与 不不相相关关 0 Cov(,)0 ()() ( ) ()()( ) XY XYXY X Y E XYE X E Y D XYD XD Y 与与 相相互互独独立立与与 不不相相关关 0 Cov(,)0 ()() ( ) ()()(

27、) XY XYXY X Y E XYE X E Y D XYD XD Y 与与 相相互互独独立立与与 不不相相关关 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例1. 从从0到到9这这10个数字中有放回地随机取个数字中有放回地随机取n次，以次，以X和和Y分别表分别表 示取到偶数和奇数的次数，求示取到偶数和奇数的次数，求X和和Y的相关系数的相关系数XY。 解解:) 2 1 ,(), 2 1 ,(nBYnBX ()1P XYn 1 XY 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2. 给定随机变量给定随机变量(X,Y)的密度函数，求的密度函数，求X与与Y的相关系数。的

28、相关系数。 解解: 01 01 0 , ( ,) , xyxy f x y 其其它它 11 222 00 491111 ()() ()() 144144144 ，同理D XE XE Xxxy dydxDY 1 cov(,) 144 X Y cov(,)1 11()( ) XY X Y D X D Y 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 11 00 7 ()(), 12 E Xxxy dydx 7 ( ) 12 同理E Y 11 00 1 ()(), 3 E XYxy xy dxdy (),( ),(),(),( )E XE YE XYD XD Y 概率论与数理统计概率论与数理统计 一个重

29、要的结论一个重要的结论 ：若随机变量：若随机变量 (X,Y) N(1, 2, 12, 22, ) ，则则 XY 注：注：对对二维正态分布而言，二维正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。相互独立与互不相关是等价的。 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 概率论与数理统计概率论与数理统计 事件事件A和和B的相关系数定义：的相关系数定义： 对于对于任意两事件任意两事件A和和B, 若若0P(A)1,0P(B)1,则称则称 ()()() ()()()() P ABP A P B P A P B P A P B 为事件为事件A和和B的相关系数。的相关系数。 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 概率论与数理统计概率论与数理统计 4.3 协方协方差与相关系数差与相关系数 本章总结：本章总结： 数学期望 方差 协方差 相关系数 矩 常见分布的数字特征 标准化过程 切比雪夫不等式 二维正态分布 不相关就是独立