2022年非常考案通用版版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用分层限时跟踪练 2.pdf

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1、1 分层限时跟踪练(十五)(限时 40 分钟)基础练扣教材练双基一、选择题1函数f(x)x(1 x)n的部分图象如图2-12-3所示，f(x)在x13处取极值，则n的值为()图 2-12-3A1 B 1 C2 D 2【解析】f(x)(1 x)nnx(1 x)n1(1 xnx)(1 x)n1，x13为f(x)的极值点，f130，得 113n323n10，n2.故选 C.【答案】C 2若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0,1)B(，1)C(0，)D.0，12【解析】f(x)3x26b，f(x)在(0,1)内有极小值，b0，令 3x26b0 得x2b，从

2、而只要 02b1，得 0b12.故选 D.【答案】D 3若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则导函数f(x)的图象不可能是()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2【解析】若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f(x)的图象不可能是D.【答案】D 4 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n 1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A 13 B 15 C10 D15【解析】对函数f

3、(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2 处取得极值知f(2)0，即 34 2a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在 1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，当m 1,1 时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n 1,1 时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为 13.【答案】A 5(2013全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()A?x0R，f(x0)0 B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调

4、递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0【解析】A项，因为函数f(x)的值域为 R，所以一定存在x0R，使f(x0)0.A 正确B项，假设函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为(m，n)，按向量a(m，n)将函数的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3 图象平移，则所得函数yf(xm)n是奇函数所以f(xm)f(xm)2n0，化简得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式对xR恒成立，故3ma0，得ma3，nm3am2bmcfa3，所以函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为a3，fa3，故yf(x)的图象是中心对称图形B正确C项，由于f(x)3x2

5、2axb是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x1x0，则f(x)在区间(，x0)上不单调递减 C错误 D项，若x0是极值点，则一定有f(x0)0.故选 C.【答案】C 二、填空题6已知函数f(x)x33ax23bxc在x2 处有极值，其图象在x1 处的切线平行于直线 6x2y50，则f(x)的极大值与极小值之差为【解析】f(x)3x26ax3b，3226a23b0，3126a13b 3，a 1，b0，f(x)3x26x，令 3x26x0，x0 或x2，f(x)极大f(x)极小f(0)f(2)4.【答案】4 7(2015陕西高考)函数yxex在其极值点处的切线方程为【解

6、析】由题知y exxex，令y 0，解得x 1，代入函数解析式可得极值点的坐标为1，1e，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y1e.【答案】y1e8如图 2-12-4 是函数yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断图 2-12-4f(x)在区间 2，1 上是增函数；x 1 是f(x)的极小值点；f(x)在区间 1,2 上是增函数，在区间2,4上是减函数；x3 是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是【解析】由函数yf(x)的导函数的图象可知：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4(1)f(x)在区间 2，1 上是减函数，在 1,2 上为增函

7、数，在2,4上为减函数；(2)f(x)在x1 处取得极小值，在x2 处取得极大值故正确【答案】三、解答题(文)9.已知函数f(x)ax3bxc在点x2 处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值 28，求f(x)在区间 3,3 上的最小值【解】(1)因为f(x)ax3bxc，所以f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2 处取得极值c16，所以有f0，fc16，即12ab0，8a 2bcc16，化简得12ab0，4ab 8，解得a1，b 12.(2)由(1)知f(x)x312xc，所以f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x1 2，x22.当x(，2)时，f(

8、x)0，故f(x)在区间(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在区间(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在区间(2，)上为增函数由此可知f(x)在x 2 处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2 处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c 4，因此f(x)在区间 3,3 上的最小值为4.(文)10.已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5 为y4x4.(1)

9、求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【解】(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12.令f(x)0 得x ln 2或x 2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)单调递增，在(2，ln 2)单调递减当x 2 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1 e2)能力练扫盲区提素能1设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x 1

10、为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()【解析】因为 f(x)ex f(x)exf(x)exexf(x)f(x)，且x 1 是函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0.在选项 D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.【答案】D 2已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0)B.0，12C(0,1)D(0，)【解析】由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0 有两个不等的正根，即函数yln x1 与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数yln

11、x1 上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kty1x0，当l过坐标原点时，1x01ln x0 x0?x01，令 2a1?a12，结合图象知0a12，故选 B.【答案】B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6 3已知函数f(x)x33mx2nxm2在x 1 时有极值0，则mn .【解析】f(x)3x26mxn，由已知可得f33m2nm20，f26mn0，m1，n3或m2，n9，当m1，n3时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x 1 是极值点矛盾，当m2，n9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x 1 是极值点，符合题意，mn

12、11.【答案】11 4已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取得极大值，则a的取值范围是【解析】当a0 时，则f(x)0，函数f(x)不存在极值当a0时，令f(x)0，则x11，x2a.若a 1，则f(x)(x1)20，函数f(x)不存在极值；若a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意；若 1a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a 1，当x(，a)时，f(x)0；当x(a，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不

13、符合题意所以a(1,0)【答案】(1,0)5已知函数f(x)x3x2x，aln xx(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在 1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值【解】(1)当x1 时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x23.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7 x(，0)00，232323，1f(x)00f(x)极小值极大值故当x0 时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x23.(2)当1x1 时，由(1)知，函数f(x)在

14、 1,0 和23，1 上单调递减，在 0，23上单调递增因为f(1)2，f23427，f(0)0，所以f(x)在 1,1)上的最大值为2.当 1xe时，f(x)aln x，当a0 时，f(x)0；当a0 时，f(x)在1，e 上单调递增，则f(x)在1，e 上的最大值为f(e)a.故当a2 时，f(x)在 1，e 上的最大值为a；当a 2 时，f(x)在 1，e 上的最大值为2.6(2014山东高考)设函数f(x)exx2k2xln x(k为常数，e2.718 28 是自然对数的底数)(1)当k0 时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围【

15、解】(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)x2ex2xexx4k2x21xxex2exx3kxx2xxkxx3.由k0可得 exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0 时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当 00，yg(x)单调递增，故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8 得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当g(0)，g(k)，g(2)，0ln k2，解得 eke22.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时k的取值范围为e，e22.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -