导数与微分导数的概念讲稿.ppt

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1、导数与微分导数的概念第一页，讲稿共六十页哦一、引言一、引言典型背景示例典型背景示例 例例 自由落体在某时刻的瞬时速度自由落体在某时刻的瞬时速度 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。第二页，讲稿共六十页哦 1 1危机的引发危机的引发 1 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”

2、牛顿的微积分是一项划时代的科学成牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的在某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能。在牛顿之前，只能求一段时间内的求一段时间内的平均速度平均速度，无法求某一时刻，无法求某一时刻的瞬时速度。的瞬时速度。第三页，讲稿共六十页哦 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有，有公式公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我们是固定的重力

3、加速度。我们要求物体在要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。（*）t221)(gttSg0ttS22101022200011()()2211()2()22SS tS tgtgtg tttgttt 01()2Sgtgtt)(tS第四页，讲稿共六十页哦0ttDSD2101()()2S tg tt=+D2001()2S tgt=10()()SS tS tD=-222000111()2()222g ttgtgttt=+D-=D+D20012()12()2gtttSgtgtttD+DD=+DDD第五页，讲稿共六十页哦 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就

4、可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。t)(21tg0gt0t第六页，讲稿共六十页哦 2 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个量，作为一个量，究竟是不是究竟是不是0 0？第七页，讲稿共六

5、十页哦01()2Sgtgtt 如果是如果是0 0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0 0，就没有意，就没有意义了。如果不是义了。如果不是0 0，上式右端的，上式右端的 就不能任意去掉就不能任意去掉。t1()2gt 在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的才能做除法，所以上式的成立是以成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0 0，得出，得出5=35=3一样的荒谬。一样的荒谬。

6、0t0t0t0305（*）第八页，讲稿共六十页哦 贝克莱还讽刺挖苦说：既然贝克莱还讽刺挖苦说：既然 和和 都变成都变成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量了，而无穷小作为一个量，既不是，既不是0 0，又不是非，又不是非0 0，那它一定是，那它一定是“量的量的鬼魂鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是家提出的，但是St第九页，讲稿共六十页哦贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的 数学家在将近数学家在将近200200年的时间里，不能彻底反驳年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。贝

7、克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。彻底地反驳了贝克莱的责难。第十页，讲稿共六十页哦 3 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数的方法。数学家们相信它，只

8、是由于它使用起来方便有效，并且学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”第十一页，讲稿共六十页哦 危机的实质危机的实质 应该说，第二次数学危机的实质是应该说，第二次数学危机的实质是极限极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。的概念不

9、清楚，极限的理论基础不牢固。也也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。第十二页，讲稿共六十页哦 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比最终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0 0还不是还不是0 0时的时的比比例如（例如（*）式中的）式中的gtgt，它不是，它不是“最终的量的比最终的量的

10、比”，而是，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但并没有明确说清这个词的意思。并没有明确说清这个词的意思。第十三页，讲稿共六十页哦 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出，但是也没有明确给出极限的定义极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学危引发的第二次数学危机，机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理实质上是

11、缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。论作为微积分学的基础。第十四页，讲稿共六十页哦牛顿莱布尼茨第十五页，讲稿共六十页哦 2 2危机的解决危机的解决 1 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。的一块心病。第十六页，讲稿共六十页哦 而且，随着时间的推移，研究范围的扩而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此

12、得到许多错误的结论。由于没有严格的极此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。第十七页，讲稿共六十页哦 因 此，进 入因 此，进 入 1 91 9世 纪 时，一 方 面 微 积世 纪 时，一 方 面 微 积分取得的成就超出人们的预料，另一方分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。误的。历史要求为微积分学说

13、奠基。历史要求为微积分学说奠基。第十八页，讲稿共六十页哦 2 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到1919世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，应该指出，严格的极限理论严格的极限理论的建立是的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。第十九页，讲稿共六十页哦 在在1818世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。、粗糙的。达朗贝尔（法）在达朗贝尔（法）在17541754年指

14、出，必须用可靠的理论去代年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。的理论。1919世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书中包含许多一书中包含许多真知灼见。真知灼见。第二十页，讲稿共六十页哦 而做出决定性工作、可称为分析学的奠而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,1789A.L.Cauchy,178918571857）。他在）。他在18

15、21182118231823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计算讲无穷小计算讲义义是数学史上划时代的著作。他对极限给是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。与我们现在教科书上的差不太多了。第二十一页，讲稿共六十页哦柯西波尔查诺波尔查诺第二十二页，讲稿共六十页哦 3 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限后来的一些发现，使人们

16、认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。第二十三页，讲稿共六十页哦 一件事是，一件事是，18741874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.WeirstrassK.T.W.Weirstrass，1815181518971897）构造了一个）构造了

17、一个 “点点点连续而点点不可导的函数点连续而点点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断函数曲线没有间断，连在一起，连在一起”，而，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函数曲线在该点有切线函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上。所以，在直观上“连续连续”与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。第二十四页，讲稿共六十

18、页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(1815(18151897)1897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。第二十五页，讲稿共六十页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数，是奇数，。0()cos()nnnf xba

19、x)1,0(b231aba第二十六页，讲稿共六十页哦 另一件事是德国数学家黎曼（另一件事是德国数学家黎曼（B.RiemannB.Riemann，1826182618661866）发现，柯西把定积分限制于连续函）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。（x为无理数时为无理数时 y=0；x=q/p既约时y=1/p ）第二

20、十七页，讲稿共六十页哦 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。第二十八页，讲稿共六十页哦 这 些 例 子 使 数 学 家 们 越 来 越 明这 些 例 子 使 数 学 家 们 越 来 越 明白，在 为 分 析 建 立 一 个 完 善 的 基 础白，在 为 分 析 建 立 一 个 完 善 的 基 础方 面，还 需

21、要 再 前 进 一 步：即方 面，还 需 要 再 前 进 一 步：即需 要需 要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更深刻的性质。第二十九页，讲稿共六十页哦 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯（德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯（K a r l W e i e r s t r a s s，1 8 1 5 1 8 9 7）的 努 力，终 于 使）的 努 力，终 于 使分 析 学 从 完 全 依 靠 运 动 学、直 观 理 解 和 几 何 概分 析 学 从 完 全 依 靠 运 动 学、直 观 理 解 和 几 何 概念 中 解 放

22、出 来。他 的 成 功 产 生 了 深 远 的 影 响，念 中 解 放 出 来。他 的 成 功 产 生 了 深 远 的 影 响，主 要 表 现 在 两 方 面，主 要 表 现 在 两 方 面，一 方 面 是 建 立 了 实 数 系，一 方 面 是 建 立 了 实 数 系，另一方面是创造了精确的另一方面是创造了精确的“”语言。语言。第三十页，讲稿共六十页哦 “”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消除这一语言给出极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如了历史上各种模糊的用语，诸如“最终最终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这样一来，分析中

23、的所有基本概念都这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算和关系精可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。确地表述出来。第三十一页，讲稿共六十页哦 4 4）极限的）极限的“”定义及定义及“贝克莱贝克莱悖论悖论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义第三十二页，讲稿共六十页哦 危机的消解危机的消解“”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消除这一语言给出极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如了历史上各种模糊的用语，诸如“最终最终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都这样一来，分析中的

24、所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算和关系精可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。确地表述出来。第三十三页，讲稿共六十页哦 定义：设函数定义：设函数 在在 的附近都有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 都都 ，使当，使当 时，时，有有 我们就说我们就说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，时，有极限有极限 ”。记为记为 。1x)(xf1x,0a 0|01xxa|)(|axf)(xfxaxfxx)(lim1第三十四页，讲稿共六十页哦 由极限的这个由极限的这个“”定义，可以求定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整套出一些基本的极限，并严格地建立一

25、整套丰富的极限理论。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等；两个相等的函数，取极限后仍相等；两个函数，和的极限等于极限的和。两个函数，和的极限等于极限的和。等等。等等。第三十五页，讲稿共六十页哦 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上：（*）这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到的等式；它表明）条件下，得到的等式；它表明 时时间内物体的平均速度为间内物体的平均速度为 。（。（*）式等号两边都是的）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上时刻的瞬时速度定义为：上述平均速

26、度当述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度=。)0)(210ttggttS0t01tt t)(210tggt0tt0ttSt0lim第三十六页，讲稿共六十页哦 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限 ，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取极限后仍相等极限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 0t)(21(lim00tggtt)(21limlim)(21(lim00000tggttggttt

27、t000gtgt 瞬时速度瞬时速度第三十七页，讲稿共六十页哦 上述过程所得结论与牛顿原先的结论上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”的焦点的焦点“无穷小量无穷小量 是是不是不是0 0？”，在这里给出了明确的回答：，在这里给出了明确的回答：。这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近于无限趋近于”那样含糊不清的说法。那样含糊不清的说法。0tt第三十八页，讲稿共六十页哦 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西柯西的贡献在于，将微积分

28、建立在极限论的基础。的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏魏尔斯特拉斯尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立微建立微积分基础的积分基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：是：实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。而而“历史顺序历史顺序”则正好相反。则正好相反。第三十九页，讲稿共六十页哦知识的知识的逻辑顺序逻辑顺序与与历史顺历史顺序序有时是有时是不同不同的的.第四十页，讲稿共六十页哦00,),(.,)()(limlim.)(00000000 xxxx

29、xxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy 记记作作的的导导数数在在极极限限值值为为函函数数并并称称此此可可导导在在则则称称函函数数存存在在如如果果极极限限某某邻邻域域有有定定义义的的在在点点设设函函数数 第一节、导数的概念第一节、导数的概念1.导数定义：导数定义：第四十一页，讲稿共六十页哦注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 第四十二页，讲稿共六十页哦第四十三页，讲稿共六十页哦导数的物理意义第四十四页，讲稿共六十页哦 例例 曲线的

30、切线斜率问题曲线的切线斜率问题 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切线线在在点点求求曲曲线线其其方方程程为为设设曲曲线线什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？第四十五页，讲稿共六十页哦xyo0MN0 xxx0T)(:xfyL 的的极极限限位位置置就就是是切切线线割割线线时时当当,0MN 割线割线切切线线第四十六页，讲稿共六十页哦xxfxxfxkx )()(lim)(0000 xxfxxfxxk )()(),(000 的的割割线线斜斜率率到到求求区区间间xxx 00)1(斜斜率率割割线线斜斜率率的的极极限限是是切切线线

31、)2()()(000 xxxkxfy 的的切切线线方方程程在在点点曲曲线线),()3(000yxML第四十七页，讲稿共六十页哦00,),(.,)()(limlim.)(00000000 xxxxxxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy 记记作作的的导导数数在在极极限限值值为为函函数数并并称称此此可可导导在在则则称称函函数数存存在在如如果果极极限限某某邻邻域域有有定定义义的的在在点点设设函函数数 第一节、导数的概念第一节、导数的概念1.导数定义：导数定义：第四十八页，讲稿共六十页哦注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)(

32、)(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 第四十九页，讲稿共六十页哦)()(00tstv 瞬瞬时时速速度度：)()(00 xfxk 切切线线斜斜率率：.)(,()()(0000处处切切线线的的斜斜率率在在点点是是曲曲线线导导数数xfxMxfyxf )()(xmx 线密度：线密度：注意注意2 导数的意义：导数的意义：物理意义物理意义几何意义几何意义 导数是函数在一点的变化率导数是函数在一点的变化率 第五十页，讲稿共六十页哦例例:线密度问题线密度问题.,处处细细杆杆的的线线密密度度求求在在断断面面成成的的细细杆杆设设有有一一根根由由某某种种物物质质做做

33、MABABMxxo)(xmAM的的质质量量是是设设Nxx )()(xmxxmMN 的的质质量量为为平平均均线线密密度度xxmxxm )()(xxmxxmxx )()(lim)(0 第五十一页，讲稿共六十页哦)()()(lim0000 xfxxfxxfx 左导数左导数)()()(lim0000 xfxxfxxfx 右导数右导数2.单侧导数定义：单侧导数定义：)()()(,00000 xfxfxfxfxf 存存在在即即等等左左、右右导导数数都都存存在在且且相相的的在在可可导导在在点点函函数数定理：定理：左左可可导导在在0 xf右右可可导导在在0 xf第五十二页，讲稿共六十页哦3.导函数定义：导函数

34、定义：.),(,),(上可导上可导在开区间在开区间则称则称可导可导上处处上处处在开区间在开区间若函数若函数bafbaf.,),(上可导上可导在闭区间在闭区间则称则称左可导左可导在点在点右可导右可导且在点且在点上可导上可导在开区间在开区间若函数若函数bafbabaf.),(,的的导导函函数数称称为为上上定定义义了了一一个个新新的的函函数数则则在在区区间间上上可可导导在在区区间间若若函函数数fxfIIf 第五十三页，讲稿共六十页哦.,00连连续续在在则则可可导导在在若若函函数数xfxf定理定理2：证证)(lim000 xfxyxfx 可可导导在在xxxxfy )()(00lim0 yx 连连续续在

35、在0 xf注意注意 可导必连续可导必连续,连续不一定可导！连续不一定可导！)()(0 xoxxf 第五十四页，讲稿共六十页哦.0与与可可导导性性处处的的连连续续性性在在点点研研究究函函数数例例 xxy得得到到一一个个改改变变量量给给,00 xx 1limlim)0(00 xxxyfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx 不不可可导导在在0 xxyxxy 00解解连连续续)0(0 xy 第五十五页，讲稿共六十页哦oxxy 尖点尖点第五十六页，讲稿共六十页哦的的可可导导性性在在研研究究例例0)(31 xxxf3231)(1)()0()0(xxxxfxfxy 32)(1limlim00 xx

36、yxx 解解不不可可导导在在0)(31 xxxfx31xy Oy有铅垂切线有铅垂切线第五十七页，讲稿共六十页哦)0(,0,00,1sinyxxxxy 求求例例xxxxyxx 1sinlim01sinlim)0(00解解振荡振荡不存在不存在！)0(y 第五十八页，讲稿共六十页哦 0,00,1sin2xxxxy若若 01sinlim01sinlim)0(020 xxxxxyxx则则第五十九页，讲稿共六十页哦2sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 .cos)(2的的导导数数在在求求例例xxxf 解解22sin)2sin(xxxxxy xxsin)(cos 公公式式xxcos)sin(公公式式第六十页，讲稿共六十页哦