（高职）第2章导数与微分1（导数的概念）ppt课件.pptx

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1、第2章 导数与微分1（导数的概念）第一节第一节 导数的概念导数的概念 一、变化率问题的实例一、变化率问题的实例(变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度) 已知一物体作变速直线运动，其路程函数为已知一物体作变速直线运动，其路程函数为s=s(t), 求在求在t=t0时刻物体的瞬时速度时刻物体的瞬时速度vto。 解解: 物体在物体在t0到到t0+t时段移动的路程为时段移动的路程为: s=s(t0+t)-s(t0) 物体在物体在t0到到t0+t时段移动的平均速度为：时段移动的平均速度为： 如果当如果当t无限小时，平均速度无限小时，平均速度 会无限趋近会无限趋近于于t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度

2、vto，即：，即：tsvvttsttstsvvtttt)()(limlimlim000000ttstts)()(00二、导数的定义二、导数的定义 定义：设函数定义：设函数 y=f(x)在点在点x0及其附近有定义，当及其附近有定义，当自变量自变量x在在x0有增量有增量x时，函数有相应的增量时，函数有相应的增量 y=f(x0+x)-f(x0)当当x 0时，若时，若 的极限存在，这极限值就称为的极限存在，这极限值就称为函数函数 f(x)在点在点x0的导数的导数，并称函数，并称函数 f(x)在点在点x0可导可导，记为：记为： 即即也可记为：也可记为： ，0 xxdxdyxy)(0 xf0 xxy0 x

3、xyxyx0limxxfxxfx)()(lim000例例 已知函数已知函数 ，求：，求： 解：当解：当x从从2变到变到2+ x时时,练习（练习（P37）4. 用导数定义，求函数用导数定义，求函数 在在 和和 处的导数。处的导数。)2(f 32)(xxfxyfx0lim)2(xxx)322()322(lim0 xxx)222lim0（)22()22()22(2lim0 xxxxx)22(2lim0 xxxx222lim0 xx211)(2xxf21x1xxfxfx)2()2(lim0 如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内的每一点都可导，内的每一点都可导，则称函数则称函数 f(x

4、)在区间在区间(a,b)内可导。这样，在区间内可导。这样，在区间(a,b)内得到自变量内得到自变量x的一个新函数的一个新函数 y =f (x) ，我们，我们称它为称它为函数函数 f(x)的导函数的导函数，记为：，记为： ， ， ，例例 求函数求函数 y=x2-1的导函数的导函数 y 。 解：当解：当x从从x变到变到x+ x时时,)(xf ydxdydxxdf)(xyyx0limxxxxx) 1( 1)(lim220)2(lim0 xxxxxfxxfx)()(lim0 xxxxx)2(lim0 x2导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0的导数的导数 f (x0)是函数曲

5、线在点是函数曲线在点(x0 , f(x0)处的切线斜率。处的切线斜率。 例例 求曲线求曲线 y=x2-1在点在点(2,3)处的切线方程和法线处的切线方程和法线方程。方程。解：解： y =2x 所求切线的斜率所求切线的斜率 k=y |x=2=22=4 由直线的点斜式方程由直线的点斜式方程 y-y0=k(x-x0)得切线方程：得切线方程： y-3=4(x-2) 即即 4x-y-5=0 同理法线方程为：同理法线方程为： 即即 x+4y-14=0练习（练习（P40）4. 求曲线求曲线 y=x2 在点在点(1,1)的切线方程和法线方程。的切线方程和法线方程。)2(413xy函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 定理：如果函数定理：如果函数 f(x)在点在点x0处可导，则一定在点处可导，则一定在点x0处连续。处连续。 例例 证明函数证明函数 在点在点x=0处处连续，但连续，但f(x)在该点处不可导。在该点处不可导。证：证： 函数函数 f(x)是初等函数，且在是初等函数，且在x=0处有定义，处有定义， 函数函数 f(x)在点在点x=0处连续处连续 当当x从从0变到变到0+ x时时, f(x)在该点在该点x=0处不可导。处不可导。32)(xxfxyx0limxxx323200)0(limxfxfx)0()0(lim0301limxx