高考卷 04届 普通高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题.doc

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1、2004年普通高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题本试卷分第部分（选择题）和第部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟. 第部分（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那幺 P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ）A B C D 2.设复数, 则 ( )A 3 B 3 C -3i D 3i 3.圆的圆心到直线的距离为：（

2、） A 2 B C 1 D 4不等式的解集是：（ ） A B C D 5 ( ) A B C D 6若向量的夹角为，,则向量的模为：（ ） A 2 B 4 C 6 D 12 7一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ） A B C D 8设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为：（ ） A B C D 9 若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 400810已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )A B C D 11某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同

3、学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ） A B C D 12若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是：（ ）ACBAPPBCCBABACPP第部分（非选择题 共90分）题 号二三总 分171819202122分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在的展开式中的系数为，则14曲线在交点处切线的夹角是_（用幅度数作答）15如图P1是一块半径

4、为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、.Pn,记纸板Pn的面积为，则P2P1P4P316对任意实数K，直线：与椭圆：恰有一个公共点，则b取值范围是_三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分） 求函数的取小正周期和取小值；并写出该函数在上的单调递增区间18（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路

5、口数，求：（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率19（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值20（本小题满分12分）设函数(1) 求导数; 并证明有两个不同的极值点; (2) 若不等式成立，求的取值范围21（本小题满分12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程Y22（本小题满分14分） 设数列满足(1) 证明对一切正整数n 成立；(2

6、) 令,判断的大小，并说明理由2004年普通高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1D 2A 3D 4A 5B 6C 7C 8C 9B 10B 11B 12D11某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ） A B C D 解：10位同学参赛演讲的顺序共有：;要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：将一班的3位同学“捆绑”在一

7、起，有种方法；将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有种方法；在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有种方法根据分步计数原理（乘法原理），共有种方法所以，一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： 故选B二、填空题：每小题4分，共16分.132 14 15 161，3三、解答题：共74分.17（本小题12分）解： 故该函数的最小正周期是；最小值是2；单增区间是，18（本小题12分）解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，

8、则P（AK）=独立.故 从而有分布列： 0 1 2 3 4 P （II）答：停车时最多已通过3个路口的概率为.19（本小题12分） （I）证明：因PA底面，有PAAB，又知ABAD，故AB面PAD，推得BAAE，又AMCDEF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AMMF.又因AEPD，AECD，故AE面PCD，而MFAE，得MF面PCD，故MFPC，因此MF是AB与PC的公垂线.（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH， 垂足H在BE上.易知PD面MAE，故DEBE，又OHBE，故OH/DE，因此OH面MAE.连结AH，则HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 设AB

9、=a，则PA=3a， .因RtADERtPDA，故20（本小题12分）解：（I） 因此是极大值点，是极小值点.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 21（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.又设，则其坐标满足消去x得 由此得 因此.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x2p又设，则其坐标满足分别消去x，y得故得A、B所在圆的方

10、程明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为故 而前面圆的方程可表示为故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.又，故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.22（本小题14分）（I）证法一：当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.证法二：当n=1时，.结论成立.假设n=k时结论成立，即 当的单增性和归纳假设有所以当n=k+1时，结论成立.因此，对一切正整数n均成立.证法三：由递推公式得 上述各式相加并化简得 （II）解法一： 解法二：I解法三： 故.