2022年高中数学—4知识点总结 2.pdf

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1、坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设 点P(x,y)是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变 换(0 ):(0 )xxyy的作用下 , 点 P(x,y) 对应到点(,)Pxy, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位,一个角度单位( 通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. 注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴

2、为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标：设 M是平面内一点, 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 ,记为; 以极轴Ox为始边 , 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 ,记为. 有序数对( ,)叫做点 M的极坐标 , 记作( , )M. 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数 . 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)( R). 和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标

3、( , )表示 ;同时 , 极坐标( , )表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 : (2) 互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是( , )x y,极坐标是(, )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页点M直角坐标( ,)x y极坐标( ,)互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情况下,由tan确定角时

4、 , 可根据点M所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为r的圆(02 )r圆心为( ,0)r, 半径为r的圆2 cos ()22r圆 心 为( ,)2r, 半径为r的圆2 sin(0)r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过 点( ,)2a, 与 极轴平行的直线sin(0)a注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的

5、点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页,点(,)44M可以表示为5(,2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式 , 其中 , 只有(,)44的极坐标满足方程. 二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t , 并且对于t的每一个允许值, 由方程组所确定的点( ,)Mx y都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程,

6、联系变数,x y的变数t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使, x y的取值范围保持一致 . 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题

7、，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设( , )M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程以 坐 标 原 点O为 中 心 ， 焦 点 在x轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为精选学习资料 - - - - - - - - -

8、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角； 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2） 。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。 但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以 坐 标 原 点O

9、为 中 心 ， 焦 点 在x轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30, 2),.22且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot(0,2 ).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点， 开口向右的抛物线22(0)ypx p的参数方程为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程经 过 点000(,)Mxy， 倾 斜 角 为()2的 直 线l的 普 通 方 程 是00tan(),yyxx而过000(

10、,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy， 倾斜角为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M M的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页