2022年高中数学选修-知识点总结 2.pdf

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1、第 1 页 共 8 页高二数学选修21 知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 p，则 q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则 q”，它的逆命题为“若 q，则 p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题

2、为“若p，则 q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则 q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 pq，则 p 是 q的充分条件，q是 p 的必要条件若 pq，则 p 是q 的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，

3、记作pq当 p、q都是真命题时，pq是真命题；当 p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作pq当 p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作p 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若 p 是假命题，则p 必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有 p x 成立”，记作“x，p x”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称

4、为存在量词，用“”表示原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -第 2 页 共 8 页含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使 p x 成立”，记作“x，p x”10、全称命题 p：x，p x，它的否定p：x，p x 全称命题的否定是特称命题11、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在 y 轴上图形标准方程222210 xyabab222210yx

5、abab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率22101cbeeaa准线方程2axc2ayc13、设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd14、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

6、精心整理-第 2 页，共 8 页 -第 3 页 共 8 页15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在 y 轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围xa 或 xa，yRya或 ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于x轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点

7、到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd18、平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p20、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为 F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为 F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为 F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为 F，则02pFy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第

8、 3 页，共 8 页 -第 4 页 共 8 页21、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0 x0 x0y0y22、空间向量的概念：1 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2 向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3 向量的大小称为向量的模（或长度），记作4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5 与向量 a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6 方

9、向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -第 5 页 共 8 页起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是 a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a，b，则ab24、实数与空间向量 a 的乘积a 是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a 与 a方向相同；当0时，a 与 a方向相反；当0时，a 为零向量，记为

10、0a 的长度是 a的长度的倍25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa 26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，C 共面，则1xyz C xyz30、已知两个非零向量 a 和b，在空间任取一点，作a，b，则

11、称为向量 a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b31、对于两个非零向量 a和b，若,2a b，则向量 a，b互相垂直，记作ab32、已知两个非零向量 a 和b，则c o s,abab称为 a，b的数量积，记作a b 即c o s,a ba bab零向量与任何向量的数量积为0 33、a b等于 a的长度 a 与b在 a的方向上的投影cos,ba b的乘积34、若 a，b为非零向量，e 为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -第 6 页 共 8 页20aba b；3a b aba ba bab

12、与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b35、向量数乘积的运算律：1a bb a；2aba bab；3abca cb c36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组,x y z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c 不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,x y z，使得pxaybzc38、若三个向量 a，b，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c 生成的，,a b c称为空间的

13、一个基底，a，b，c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设1e，2e，3e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e 的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e 的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p存在有序实数组,x y z，使得123pxeyeze 把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e 下的坐标，记作,px y z 此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,x y z 40、设111,ax y z，

14、222,bxy z，则 1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -第 7 页 共 8 页3111,axyz4121212a bx xy yz z 5 若 a、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z6 若0b，则121212/,ababxxyyzz 7222111aa axyz 8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,xy z，222,xyz，则222212121dxxyyzz41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间

15、中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量42、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点以及一个定方向确定 点是直线 l 上一点，向量 a表示直线 l 的方向向量，则对于直线 l 上的任意一点，有ta，这样点和向量 a不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出直线 l 上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定 设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有序实数对,x y，使得xayb，这样点与向量 a，b就确定了平面的位置44、直线 l 垂直，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a称为平面的法向量45、若空间不重合

16、两条直线a，b的方向向量分别为 a，b，则/abababR，0ababa b46、若直线a的方向向量为 a，平面的法向量为 n，且 a，则/aa0ana n，/aaanan47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为 a，b，则/abab，0aba b48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为 a，b，其夹角为，则有coscosa ba b名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -第 8 页 共 8 页49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有 sincoslnln50、设1n，2n 是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则1212cosn nn n51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算52、在直线 l 上找一点，过定点且垂直于直线 l 的向量为 n，则定点到直线l 的距离为cos,ndnn53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -