2022年高三数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率直线的方程 .pdf

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1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系. 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012 年浙江 T3 等3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主(2)主要是涉及直线方

2、程和斜率. 归纳 知识整合 1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l 与 x 轴相交；一个基准：取x 轴作为基准；两个方向： x 轴正方向与直线l 向上方向当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0 . 倾斜角的取值范围为0，)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是 90 ，则斜率ktan_ . 计算公式：若由A(x1，y1)， B(x2，y2)确定的直线不垂直于x 轴，则 ky2y1x2x1. 探究 1.直线的倾角 越大，斜率k 就越大，这种说法正确

3、吗？提示： 这种说法不正确由ktan 2知，当 0，2时， 越大，斜率越大且为正；当 2，时， 越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误的2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究 2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话正确吗？提示： 不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率 k 与点 (x0，y0)y y0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率 k与截距 b ykxb 不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2， y2)y y1y2y1xx1x2x1不含直线xx1(x1x

4、2)和直线 y y1(y1y2) 截距式截距 a 与 b xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用探究 3.过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示： 当 x1x2，或 y1y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示自测 牛刀小试 1(教材习题改编)若直线 x2 的倾斜角为 ，则 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页A等于 0B等于4C等于2D不存在解析： 选 C因为直线x2 垂直于 x 轴

5、，故其倾斜角为2. 2(教材习题改编)过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则 m 的值为 () A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 解析： 选 A由题意知，4mm21，解得 m1. 3过两点 (0,3)，(2,1)的直线方程为() Axy30 Bxy30 Cxy3 0 Dx y30 解析： 选 B直线斜率为3102 1，其方程为 y x3，即 xy30. 4直线 l的倾斜角为30 ，若直线 l1l，则直线 l1的斜率 k1_；若直线 l2l，则直线 l2的斜率 k2_. 解析： l1 l2， kl1 tan 30 33. l2 l， kl21kl3. 答案：333 5已知

6、A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三点共线，则x 等于 _解析： 因为 kAB75432，kACx513x54. A，B，C 三点共线，所以kABkAC，即x54 2，解得 x 3. 答案： 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页直线的倾斜角和斜率例 1(1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是() A0， )B. 0，434，C. 0，4D. 0，42，(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(mn)，则直线AB 的倾斜角为 _；(3)直线 l 过点 P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为

7、端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为_自主解答 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，其中 sin 1,1又 0，)，所以 0 4或34 0， b0)则有3a2b1，且12ab12. 解得 a6， b4. 所以所求直线l 的方程为x6y41，即 2x3y120. 法二： 设直线 l 的方程为y2k(x3)(k0；令 y0，得 x 32k0. 所以 SOAB12(2 3k) 32k12，解得 k23，故所求直线方程为y223(x3)，即 2x3y120. 答案 (1)D(2)2x3y120 求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方

8、程中系数，写出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程 (组)求系数，最后代入求出直线方程5 ABC 的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C( 2,3)，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页解： (1)因为直线BC 经过B(2,1)和 C( 2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y131x 222，即 x2y40. (2)设 BC 中点 D 的坐标 (x

9、，y)，则x2220，y132 2. BC 边的中线AD 过点 A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x3y21，即 2x3y6 0. (3)BC 的斜率 k112，则 BC 的垂直平分线DE 的斜率 k2 2，由点斜式得直线DE 的方程为 y22(x0)，即 2xy20. 1 个关系 直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率(2)直线的倾斜角和斜率 k 之间的对应关系：00 909090 0不存在k0 3 个注意点 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直

10、于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 易误警示 有关直线方程中“极端 ”情况的易误点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页典例 (2013 常州模拟 )过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l

11、 的方程为_ 解析 当截距不为0 时，设所求直线方程为xaya1，即 xya0. 点P(2,3)在直线 l 上，23 a0， a1，所求直线l 的方程为xy10. 当截距为 0 时，设所求直线方程为ykx，则有3 2k，即 k32，此时直线 l 的方程为y32x，即 3x 2y0. 综上，直线l 的方程为xy10 或 3x2y0. 答案 xy10 或 3x2y 0 易误辨析 1因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x2y 0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解2在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时

12、忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况变式训练 已知直线 l 过(2,1)， (m,3)两点，则直线l 的方程为 _解析： 当 m2 时，直线l 的方程为x2；当 m2 时，直线l 的方程为y 131x2m2，即 2x(m 2)ym60. 因为 m2 时，方程2x(m2)ym60，即为 x2，所以直线 l 的方程为2x(m2)ym60. 答案： 2x(m2)ym60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页一、选择题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1(2013 秦皇岛模拟 )直线 x3y1 0的倾

13、斜角是 () A.6B.3C.23D.56解析： 选 D由直线的方程得直线的斜率为k33，设倾斜角为 ，则tan 33，所以 56. 2已知点 A(1， 2)，B(m,2)，且线段 AB垂直平分线的方程是x 2y20，则实数 m的值是 () A 2 B 7 C3 D1 解析： 选 C由已知 kAB2，即4m 12，解得 m 3. 3若直线经过点(1,1) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有() A4 条B3 条C2 条D1 条解析： 选 B作图易得在第一、二、四象限各能围成一个4(2013 银川模拟 )已知直线 l1：xay6 0和 l2：(a 2)x3y2a0，则 l1

14、l2的充要条件是a 等于 () A3 B1 C 1 D3 或 1 解析： 选 C由题意知， l1 l2?1a2a362a，即 a 1. 5直线 2xmy 13m0，当 m 变化时，所有直线都过定点() A.12，3B.12，3C.12， 3D. 12， 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页解析： 选 D原方程可化为(2x1)m(y3)0，令2x10，y30，解得x12，y3，故所有直线都过定点12， 3 . 6设 a，b，c 分别是 ABC 中角 A，B，C 所对边的边长，则直线xsin Aayc0 与直线 bx

15、ysin Bsin C 0 的位置关系是 () A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析： 选 C由已知得a0，sin B0，所以两条直线的斜率分别为k1sin Aa， k2bsin B，由正弦定理得k1 k2sin Aabsin B 1，所以两条直线垂直二、填空题 (本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分) 7若直线l 的斜率为k，倾斜角为 ，而 6，423，则k 的取值范围是_解析： 当 6，4时， ktan 33，1 ；当 23，时， ktan 3，0)综上 k 3，0)33，1 . 答案： 3，0)33，18已知直线xky10 与直线 ykx1 平行，则k 的值为 _解析： 若两直线

16、平行，则k1k，解得 k 1. 答案： 1 9(2013 皖南八校联考 )已知直线 a2xy2 0与直线 bx(a21)y10 互相垂直，则|ab|的最小值为 _解析： 两直线互相垂直， a2b(a2 1)0 且 a0， a2ba21， aba2 1aa1a， |ab|a1a|a|1|a|2(当且仅当a 1 时取等号 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页答案： 2 三、解答题 (本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10设直线l 的方程为xmy2m6 0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线 l

17、的斜率为1；(2)直线 l 在 x 轴上的截距为3. 解： (1)因为直线 l 的斜率存在，所以m0，于是直线l 的方程可化为y1mx2m6m.由题意得1m1，解得 m 1. (2)法一： 令 y0，得 x2m6.由题意得2m6 3，解得 m32. 法二： 直线 l 的方程可化为x my 2m6.由题意得2m 6 3，解得 m32. 11已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线 AB 的方程；(2)已知实数m 331，31 ，求直线AB 的倾斜角的取值范围解： (1)当 m 1 时，直线 AB 的方程为x 1，当 m1 时，直线AB 的方程为 y21m1(x1)(2)当 m 1 时， 2

18、. 当 m1 时， m133，0 (0，3 ，即 k1m1 ( ，3 33， ，所以 6，22，23. 综合知，直线AB 的倾斜角 的取值范围为6，23. 12如图，射线OA， OB 分别与 x 轴正半轴成45 和 30 角，过点P(1,0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，求直线AB 的方程解： 由题意可得kOA tan 45 1，kOBtan(180 30 )33，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页所以直线 lOA：y x，lOB：y33x.

19、 设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点 Cm3n2，mn2，由点 C 在 y12x 上，且 A，P，B 三点共线得mn212m3n2，m0m1n 03n1，解得 m3，所以 A(3，3)又 P(1,0)，所以 kABkAP331332. 所以 lAB：y332(x1)，即直线 AB 的方程为 (33)x2y33 0. 1直线 l 过点 (1,2)且与直线3y2x1 垂直，则l 的方程是 () A3x2y10B3x2y70 C2x3y50 D2x3y80 解析： 选 A法一： 设所求直线 l的方程为 3x2yC0，则 3( 1) 22C0，得 C 1，即 l 的方程为 3x2y1

20、 0. 法二： 由题意知， l 的斜率是k32，则直线l 的方程为y232(x1)，即 3x 2y10. 2直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是() A 1k1 或 k15或 k12或 k1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页解析： 选 D设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x 1)，令 y0，得直线l 在 x轴上的截距为12k，则 312k12或 k0，b0)，则直线l 的方程为xayb1， l 过点 P(3,2)，3a2b1，b2aa3. 从而 SA

21、BO12a b12a2aa3a2a3. 故有 SABOa326 a3 9a3(a3)9a 36 2 a3 9a3612，当且仅当 a39a 3，即 a6 时， (SABO)min 12，此时 b2 66 34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页故所求直线l 的方程为x6y41，即 2x3y120. 法二： 设直线方程为xayb1(a0，b0)，代入 P(3,2)，得3a2b1 2 6ab，得 ab24，从而 SAOB12ab12，当且仅当3a2b时，等号成立，此时kba23，故所求直线l 的方程为2x3y120

22、. 法三： 依题意知，直线l 的斜率存在设直线 l 的方程为y2k(x3)(k0)，则有 A 32k，0 ，B(0,23k)，则 SAOB12(23k) 32k1212 9k 4k12122 9k 4k12(1212)12，当且仅当 9k4k，即 k23时，等号成立故所求直线l 的方程为2x3y120. 法四： 如右图所示，过P 分别作 x 轴， y 轴的垂线PM， PN，垂足分别为M，N. 设 PAM BPN，则 SAOBSPBNS四边形NPMOSPMA1233tan 612221tan 692tan 2tan 62 92tan 2tan 12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页当且仅当92tan 2tan ，即 tan 23时， SAOB12，此时直线l 的斜率为23，其方程为2x3y 120.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页