2022年高三数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.懂得直线的倾斜角和斜率的概念,把握过两点的直线斜率的运算公式2.能依据两条直线的斜率判定这两条 直线平行或垂直3.把握确定直线位置的几何要素；掌1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查,很少单独命题,但作为解析几何的基础,复习时要加深懂得2.对两条直线平行或垂直的考查,多与其他学问结合 考查,如 2022 年浙江 T3 等3.直线方程始终是高考考查的重点,且具有以下特点：握直线方程的几种形式 点斜式、两 1一般不单独命题,考查形式多与其他学问结合,以点式及一般式等 ,明白

2、斜截式与一 挑选题为主次函数的关系 . 2主要是涉及直线方程和斜率 . 归纳 学问整合 1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角名师归纳总结 一个前提：直线l 与 x 轴相交；0. 第 1 页,共 16 页一个基准：取x 轴作为基准；两个方向： x 轴正方向与直线l 向上方向当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定：它的倾斜角为倾斜角的取值范畴为0, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2直线的斜率定义：如直线的倾斜角 不是 90,就斜率 ktan_. 运算公式：如由 Ax1,y1, Bx2,y2确定的直线不垂直于 x 轴,就 ky2y1x2x1. 探究 1.

3、直线的倾角 越大,斜率 k 就越大,这种说法正确吗？提示： 这种说法不正确由 ktan 2知,当 0,2时, 越大,斜率越大且为正；当 2, 时, 越大,斜率也越大且为负但综合起来说是错误的2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究 2.两条直线 l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为1,这句话正确吗？提示： 不正确,当一条直线与x轴平行,另一条与y轴平行时,两直线垂直,但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称 点斜式斜截式两点式截距式一般式探究 条件方程适用范畴斜率 k 与点 x0,y0y y0不含直线 xx0kxx0斜率 k 与截距 b ykxb 不含垂直于x 轴的直线两点y y1 y2

4、y1不含直线xx1x1x2和x1,y1,xx1直线 y y1y1y2 x2, y2x2x1截距 a 与 b a y b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线AxByC0A2平面直角坐标系内的直线B 2 0都适用3.过两点 P1x1,y1,P2x2,y2的直线是否肯定可用两点式方程表示？提示： 当 x1x2,或 y1y2 时,由两点式方程知分母此时为零,所以不能用两点式方程表示自测 牛刀小试 名师归纳总结 1教材习题改编 如直线 x2 的倾斜角为,就 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A等于 0B等于4C等于D不存在1,就 m 的值为

5、2解析： 选 C由于直线 x2 垂直于 x 轴,故其倾斜角为 2. 2教材习题改编 过点 M2,m,Nm,4的直线的斜率等于A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 解析： 选 A由题意知,4m1,解得 m1. m23过两点 0,3,2,1的直线方程为 Axy30 Bxy30 Cxy3 0 Dx y30 解析： 选 B直线斜率为31 1,02其方程为 y x3,即 xy30. 4直线 l 的倾斜角为30,如直线 l 1 l,就直线 l1的斜率 k1_；如直线 l2l,就直线 l2 的斜率 k2_. 3解析： l 1l2,kl1 tan 30 3 . l 2l,kl21 kl3. 答案：3 33

6、5已知 A3,5,B4,7,C1,x三点共线,就 x 等于 _75 x5 x5解析： 由于 kAB432,kAC134 . x5A,B,C 三点共线,所以 kABkAC,即4 2,解得 x 3. 答案： 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线的倾斜角和斜率例 11直线 xsin y20 的倾斜角的取值范畴是 A0, B. 0,4 3 4,C. 0,D. 0,4 ,42已知两点 Am,n,Bn,mm n,就直线AB 的倾斜角为 _；3直线 l 过点 P1,0,且与以 A2,1,B0,3为端点的线段有公共点,就直线

7、 l 的斜率的取值范畴为 _自主解答 1设直线的倾斜角为 ,就有 tan sin ,其中 sin 1,1又 0, ,所以 0 4或 3 4 0, b0就有3 a 2 b1,且 1 2ab12. 解得 a6, b4. 所以所求直线 l 的方程为x 6y 41,即 2x3y120. 法二： 设直线 l 的方程为 y2kx3 k0；令 y0,得 x 32 k0. 所以 SOAB1 22 3k 32 k12,解得 k 2 3,故所求直线方程为 y22 3x3,即 2x3y120. 答案 1D 22x3y120 求直线方程的常用方法1直接法：依据已知条件,挑选恰当形式的直线方程,直接求出方程中系数,写出

8、直线方程2待定系数法：先依据已知条件设出直线方程再依据已知条件构造关于待定系数的方程 组求系数,最终代入求出直线方程5 ABC 的三个顶点为 1BC 所在直线的方程；A3,0,B2,1,C 2,3,求：2BC 边上中线 AD 所在直线的方程；名师归纳总结 3BC 边的垂直平分线DE 的方程第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1由于直线BC 经过B2,1和 C 2,3两点,由两点式得BC 的方程为y131x 222,即 x2y40. 2设 BC 中点 D 的坐标 x,y,就x220,y13 2 2. AD 所在直线方程为xy

9、22BC 边的中线 AD 过点 A3,0,D0,2两点,由截距式得31,即 2x3y6 0. 3BC 的斜率 k11 2,就 BC 的垂直平分线DE 的斜率 k2 2,由点斜式得直线DE 的方程为 y22x0,即 2xy20. 1 个关系 直线的倾斜角和斜率的关系 1任何的直线都存在倾斜角,但并不是任意的直线都存在斜率2直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系：90180000不存在k0 3 个留意点 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的留意点 1明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐

10、标轴和过原点的直线在应用时要结合题意挑选合适 的形式,在无特别要求下一般化为一般式2截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题 中,要留意争论截距是否为零3求直线方程时,如不能肯定直线是否具有斜率时,应留意分类争论,即应对斜率存在与否加以争论. 易误警示 有关直线方程中“ 极端 ” 情形的易误点名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 典例 2022 常州模拟 过点P2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_ 解析 当截距不为 0 时,设所求直线方程为ay a1,即 xya0. 点P2,

11、3在直线 l 上,23 a0,a1,所求直线 l 的方程为 xy10. 当截距为 0 时,设所求直线方程为 ykx,就有3 2k,即 k3 2,此时直线 l 的方程为 y3 2x,即 3x 2y0. 综上,直线 l 的方程为 xy10 或 3x2y0. 答案 xy10 或 3x2y 0 易误辨析 1因忽视截距为“0”的情形,导致求解时漏掉直线方程3x2y 0而致错,所以可以借助几何法先判定,再求解,防止漏解2在选用直线方程时,常易忽视的情形仍有：1选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情形；2选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情形及与y 轴垂直的情形变式训练 已知直线 l 过2,1, m,3两点

12、,就直线l 的方程为 _ 解析： 当 m2 时,直线 l 的方程为 x2；当 m 2 时,直线 l 的方程为y 131x2,m2即 2xm 2ym60. 由于 m2 时,方程 2xm2ym60,即为 x2,所以直线 l 的方程为 2xm2ym60. 答案： 2xm2ym60 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 12022 秦皇岛模拟 直线 x3y1 0 的倾斜角是 A. 6 B. 32 5C. 3 D. 6解析： 选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k3,

13、设倾斜角为 3,就 tan 3,所以 5 6 . 2已知点 A1, 2,Bm,2,且线段 AB垂直平分线的方程是 x 2y20,就实数 m的值是 A 2 B 7 C3 D1 解析： 选 C 由已知 kAB2,即 42,解得 m 3. m 13如直线经过点 1,1 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,就这样的直线共有 A4 条 B3 条C2 条 D1 条解析： 选 B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个42022 银川模拟 已知直线 l1：xay6 0和 l2：a 2x3y2a0,就 l1 l2的充要条件是 a 等于 a2 1a 3B1 A3 C 1 由题意知, l1l 2.D3 或 1

14、 6 2a,解析： 选 C即 a 1. 名师归纳总结 5直线 2xmy 13m0,当 m 变化时,全部直线都过定点 第 10 页,共 16 页A.1 2,3B. 1 2,3C.1 2, 3D. 1 2, 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 选 D原方程可化为 2x1my30,令2x10,解得 x1 2,yy30,3,故全部直线都过定点1 2, 3 . 6设 a,b,c 分别是ABC 中角 A,B,C 所对边的边长,就直线 xsin Aayc0 与直线 bxysin Bsin C 0 的位置关系是 A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析： 选

15、C 由已知得 a 0,sin B 0,所以两条直线的斜率分别为 k1sin Aa, k2sin B,由正弦定理得 b k1k2sin A asin B 1,所以两条直线垂直b二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7如直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 ,而 6, 4 2 3, ,就 k 的取值范畴是_ 解析： 当 6, 4时, ktan 3,1 ；32当 3, 时, ktan 3,03综上 k3,03,1 . 答案： 3,03,138已知直线 xky10 与直线 ykx1 平行,就 k 的值为 _解析： 如两直线平行,就 k1 k,解得 k1. 答案： 1 92022 皖

16、南八校联考 已知直线 a 就|ab|的最小值为 _2xy2 0 与直线 bxa 21y10 相互垂直,名师归纳总结 解析： 两直线相互垂直, a2ba 2 10 且 a 0,第 11 页,共 16 页a2ba21,aba2 1 aa1 a,|ab| aa|a| 1 |a|2当且仅当 a1 时取等号 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 2 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题 12 分,共 36 分 10设直线 l 的方程为 xmy2m6 0,依据以下条件分别确定 m 的值：1直线 l 的斜率为 1；2直线 l 在 x 轴上的截距为3. y1 m

17、x2m6 m .解： 1由于直线 l 的斜率存在,所以m 0,于是直线l 的方程可化为由题意得1 m1,解得 m 1. 2法一： 令 y0,得 x2m6.由题意得 2m6 3,解得 m3 2. 法二： 直线 l 的方程可化为x my 2m6.由题意得 2m 6 3,解得 m3 2. 11已知两点 A1,2,Bm,31求直线 AB 的方程；2已知实数 m 3 31,31 ,求直线 AB 的倾斜角 的取值范畴解： 1当 m 1 时,直线 AB 的方程为 x 1,1当 m 1 时,直线 AB 的方程为 y2x1m12当 m 1 时, 2. 当 m 1 时, m13,0 3 0,3 ,即 km1 1

18、,3 3, ,3 2所以 6,22,3 . 综合知,直线 AB 的倾斜角 的取值范畴为 6,2 3 . 12如图,射线 OA, OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角,过点P1,0作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落名师归纳总结 在直线 y1 2x 上时,求直线AB 的方程第 12 页,共 16 页解： 由题意可得kOA tan 45 1,kOBtan180 303 3,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以直线 l OA：y x,l OB：y3 x. 3设 Am,m,B3n,n, 所以 AB 的中点

19、C m23n,mn,2由点 C 在 y1 2x 上,且 A,P,B 三点共线得mn 21 2m3n,2m0m1n 0,3n1解得 m3,所以 A 3,3又 P1,0,所以 kABkAP333 . 312所以 lAB：y33 x1,2即直线 AB 的方程为 33x2y33 0. 1直线 l 过点 1,2且与直线 3y2x1 垂直,就 l 的方程是 A3x2y10 B3x2y70 C2x3y50 D2x3y80 解析： 选 A 法一： 设所求直线 l 的方程为 3x2yC0,就 3 1 2 2C0,得 C 1,即 l 的方程为 3x2y1 0. 法二： 由题意知, l 的斜率是k3 2,就直线l

20、的方程为y23 2x1,即 3x 2y10. 2直线 l 经过点 A1,2,在 x 轴上的截距的取值范畴是 3,3,就其斜率的取值范畴是 A 1k1 或 k1 5 或 k1 2或 k1 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 选 D设直线的斜率为k,就直线方程为y2kx 1,令 y0,得直线 l 在 x轴上的截距为12 k,AB 上移动,就xy 的最大值等于就 312 k1 2或 k0,b0,就直线 l 的方程为x ay b1,l 过点 P3,2,3 a2 b1,b 2a a3 . 2从而 SABO1 2ab1

21、 2a 2a a3aa3 . a3 26 a3 9故有 SABOa39a36 a 32 a3 9612,a39当且仅当 a3,a 3即 a6 时, SABOmin 12,此时 b2 64. 6 3名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故所求直线 l 的方程为x 6 y 41,即 2x3y120. 法二： 设直线方程为 ay b1a0,b0,代入 P3,2,得3 a2 b1 2 ab,6得 ab24,从而 SAOB1 2ab12,当且仅当3 a2 b时,等号成立,此时 kb a 2 3,故所求直线 l 的方程为 2x3

22、y120. 法三： 依题意知,直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y2kx3k0,就有 A 32 k,0 ,B0,23k,M,N. 就 SAOB1 223k 32 k1 212 9k 4k1 2122 9k 41 2121212,k当且仅当 9k4k,即 k2 3时,等号成立故所求直线l 的方程为 2x3y120. 法四： 如右图所示,过P 分别作 x 轴, y 轴的垂线 PM, PN,垂足分别为设 PAM BPN,就 SAOBS PBNS 四边形 NPMOS PMA名师归纳总结 1 2 3 3 tan 61 2 2 21第 15 页,共 16 页tan 69 2tan 2 tan 62 9 2tan 212,tan - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当9 2tan tan ,2名师归纳总结 即 tan 2 3时, SAOB12,此时直线l 的斜率为2 3,其方程为2x3y 120.第 16 页,共 16 页- - - - - - -