2022年全国高中数学联赛试卷 .pdf

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1、全国高中数学联赛试卷第一试一选择题 ( 每小题 5 分，共 30 分) 1.对于每个自然数n，抛物线y(n2n)x2(2n1)x1 与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn| 表示该两点的距离，则 |A1B1| |A2B2| |A1992B1992| 的值是 ( ) (A)19921991 (B)19931992 (C)19931991 (D)199219932.已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是 ( ) (A)(x21y)(y21x)=0 (B)(x21y)(y21x)=0 (C)(x 21y)(y21x)=0 (D)(x21y)(y 21x)=0 3.设

2、四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=)(41iiS/S，则一定满足( ) (A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.51) 2. 用数学归纳法证明：fn(x)=),21,2, 1( ,)1()1(),2,2 , 1( ,)1()1(212121221122211为奇数为偶数nniCyCyCynniyCyCynnniniininnnniniininnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页1993 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一选择题 ( 每小题 5 分，共 30 分)

3、1 若M(x，y)| |tgy|+sin2x0 ，N(x，y)| x2+y22，则MN的元素个数是（）(A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2 已知f (x) asinx+b+4(a，b为实数 ) ，且f (lglog310)5，则f(lglg3) 的值是（）(A)5 (B)3 (C)3 (D) 随a，b取不同值而取不同值3 集合A，B的并集ABa1，a2，a3 ，当A B时，(A，B) 与(B，A) 视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（）（A）8 （B）9 （C）26 （D）27 4 若直线x4被曲线C：(xarcsina)(xarccosa) (yarcsina)(yarccos

4、a) 0 所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是 ( ) (A) 4 (B) 3 (C)2 (D)5 在 ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 长 分 别 为a，b，c， 若c a等 于AC边 上 的 高h， 则2co s2sinACAC的值是 ( ) (A)1 (B)21 (C)31 (D)1 6 设m，n为非零复数，i为虚数单位，z C，则方程 | zni| | zmi| n与| zni| |zmi|m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点 ) 是( ) 二填空题（每小题5 分，共 30 分）1 二次方程 (1 i)x2(i)x(1i) 0(i为虚数单位，R) 有两个虚根的充分必要条件是的

5、取值范围为 _xyF1F2xyF1F2OoF1F2F1F2xxyooy(A)(B)(C)(D)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页2 实数x，y满足 4x25xy4y25，设Sx2y2，则minmax11SS_ _3 若z C，arg(z24) 65，arg(z2+4) 3，则z的值是 _ _4 整数310103193的末两位数是 _5 设任意实数x0 x1x2x30，要使1993log1993log1993log322110 xxxxxx1993log30 xxk恒成立，则k的最大值是 _ _6 三位数 (100

6、，101，999) 共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198 倒过来看是861；有的卡片则不然，如531 倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片三 （本题满分20 分）三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP证明： (1)DP与SM相交； (2) 设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥SABC的外接球球心四 （本题满分20 分）设 0ab，过两定点A(a，0) 和B(b，0) 分别引直线l和m，使与抛物线y2x有四个不同的

7、交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹五 （本题满分20 分）设正数列a0，a1，a2，an，满足12122nnnnnaaaaa(n2) 且a0a11求 an 的通项公式1994 年全国高中数学联赛试题第一试一选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页1设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式0cossincxbxa都成立的充要条件是 (A)a，b同时为 0，且c0 (B)abc22 (C)abc22 (D)abc222给出下列两个命题：(1) 设a，b，c都

8、是复数，如果abc222，则abc2220；(2) 设a，b，c都是复数，如果abc2220，则abc222那么下述说法正确的是 (A) 命题 (1) 正确，命题 (2) 也正确 (B)命题 (1) 正确，命题 (2) 错误 (C) 命题 (1) 错误，命题 (2) 也错误 (D)命题 (1) 错误，命题 (2) 正确3已知数列an满足3411aannn()，且a19，其前 n 项之和为Sn，则满足不等式|Snn61125的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4已知40,10ab，则下列三数：xaba(sin )log sin，yaba(cos )log cos，zaba(s

9、in )log cos的大小关系是 (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz5在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(,)nn2 (B)(,)nn1 (C)( ,)02 (D)(,)nnnn216在平面直角坐标系中，方程|xyaxyb221(a，b是不相等的两个正数) 所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页二、填空题 ( 每小题 9 分，共 54 分) 1已知有向线段PQ的起点 P和终点Q的坐标分别为

10、 (1，1) 和(2 ，2) ，若直线l：xmym0 与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 _ _2已知x yaR,4 4且0cossin402sin33ayyyaxx，则cos()xy2=_3已知点集)25()4()3( |),(222yxyxA，)25()5()4(|),(222yxyxB，则点集AB中的整点 ( 即横、纵坐标均为整数的点) 的个数为 _4设0，则sin(cos )21的最大值是 _5已知一平面与一正方体的12 条棱的夹角都等于，则sin=_ 6已知 95 个数aaaa12395,， 每个都只能取1 或1两个值之一，那么它们的两两之积的和a aa aa a12139495的

11、最小值是 _ _1995 年全国高中数学联赛第一试一选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分) 1. 设等差数列an满足35813aa且a10，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是 ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S212. 设复平面上单位圆内接正20边形的 20个顶点所对应的复数依次为Z ZZ1220,， 则复数Z11995，Z21995，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页,Z201995所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数

12、至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个4. 已知方程|()xnk x nN2在区间 (2n-1 ，2n+1 上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A)k0 (B)0121kn (C)121121nkn (D)以上都不是5. 1tglog, 1sinlog, 1tglog, 1coslog1cos1cos1sin1sin的大小关系是 ( ) (A)1tglog1log1sinlog1coslog1cos1sin1cos

13、1sintg (B)1tglog1coslog1log1sinlog1sin1sin1cos1costg (C)1coslog1sinlog1tglog1tglog1sin1cos1cos1sin (D)1sinlog1coslog1tglog1tglog1cos1sin1sin1cos6. 设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式111PQPRPS (A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题 ( 每小题 9 分，共 54 分) 1

14、. 设,为一对共轭复数，若|2 3，且2为实数，则|_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_3. 用x表示不大于实数x的最大整数，方程lglg220 xx的实根个数是 _4. 直角坐标平面上，满足不等式组yxyxxy33100的整点个数是 _5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5 种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是_6. 设M=1 ，2，3， 1995，A是M的子集且满足条件:当xA时，15xA，则A中元素的个数最多是

15、_一九九六年全国高中数学联合竞赛一、 选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1.把圆 x2+ (y 1 )2 =1 与椭圆 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共点 , 用线段连接起来的图形是_. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形2.等比数列 an 的首项a11536, 公比是 q21 用Tn表示它的前n项之积，则Tn(n N) 最大的是_ (A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13 3. 存在在整数n，使nnp是整数的质数p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D) 有无穷多个4 设 x( 21，0

16、) ，以下三个数：1=cos(sinx), 2=sin(cosx), 3=cos(x+1)的大小关系是_ (A) 3 2 1 (B) 1 3 2 (C) 3 1 2 (D) 2 3 1 5. 如果在区间 1, 2 上, 函数 f(x) = x2 + px + q与 g(x) = x + ()2在同一点取相同的最小值, 那么f (x) 在该区间上的最大值是_. (A)33424114(B) 3342254 (C) 3342211 (D)以上答案都不对6. 高为 8 的圆台内有一个半径为2 的球 O1, 球心 O1在圆台的轴上 . 球 O1与圆台上底面、 侧面都相切 . 圆台内可再放入一个半径为3

17、 的球 O2, 使得球 O2与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3 的球的个数是 _. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、 填空题 ( 本题满分 54 分, 每小题 9 分) 1.集合 x| 1 log ()10 , xN的真子集的个数是_2. 复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心 1 为半径的圆上，z1z1的实部为零， z1的辐角主值为61，则 z 2 = _ 3. 曲线 C的极坐标方程是 = 1 + cos, 点 A的极坐标是 (2, 0) 曲线 C在它所在的平面内绕 A 旋转一周 , 则它扫过的图形的面积是_精选学习资料 -

18、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页 4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是_ 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色. 将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色. 则不同的染色方案共有_种. ( 注: 如果我们对两个相同的正方体染色后, 可以通过适当的翻转, 使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同, 那么 , 我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角

19、坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199 为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为 _1997 年全国高中数学联合竞赛试卷(10 月 5 日上午 8:0010:00) 一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分) 1已知数列 nx 满足11nnnxxx(n2) ，x1a，x2b， 记Snx1x2xn，则下列结论正确的是(A)x100a，S1002ba (B)x100b，S1002ba (C)x100b，S100ba (D)x100a，S100b a2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得)0(FDCFEBAE，记)(f其中表示EF与AC所成的角，表示E

20、F与BD所成的角，则(A)(f在),0(单调增加(B)(f在),0(单调减少(C)(f在(0 ，1) 单调增加，而在 (1 ，)单调减少(D)(f在(0 ，) 为常数3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个4在平面直角坐标系中，若方程222)32() 12(yxyyxm表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页(A)(0 ，1) (B)(1 ，) (C)(0 ，5) (D)

21、(5 ，)5设xxxf2)(，arcsin31，)45(arcctg),31arccos(,45arctg，则(A)()()()(ffff (B)()()()(ffff(C)()()()(ffff (D)()()()(ffff6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0 条 (B) 1 条 (C) 多于 1 的有限条 (D) 无穷多条二、填空题 (每小题 9 分，共 54 分) 设x，y为实数，且满足1) 1(1997)1(1) 1(1997) 1(33yyxx，则xy . 过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得 |AB|

22、的直线l恰有 3 条，则 . 已知复数z满足1|12|zz，则z的幅角主值范围是已知三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SASBSC2，AB2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5 次之内跳到D点，则停止跳动；若5 次之内不能到达D点，则跳完5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种设algzlgx(yz)11 ，blgx1lg(xyz1)，clgylg(xyz)11 ，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为一九九八年全国高中数学

23、联合竞赛试卷（10 月 11 日上午 8 0010 00）一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）1 若a1,b1 且 lg(a+b)=lga+lgb，则 lg(a1)+lg(b1)的值(A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与a,b无关的常数2 若非空集合A=x|2a+1x3a5,B=x|3 x22 ，则能使A AB成立的所有a的集合是 ( ) (A)a|1 a9 (B)a|6 a9 (C)a|a9 (D)3 各项均为实数的等比数列an前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于 ( ) (A) 150 (B) 200 (C) 150或 200

24、(D)400或 50 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页4 设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c10 与a2x2+b2x+c20 的解集相同；命题Q：212121ccbbaa。则命题Q(A) 是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C) 是命题P的必要条件但不是充分条件(D) 既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5 设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C FGE的大小是 ( ) (A)36arcsin (B)33arccos2(C)2ar

25、ctg2 (D)22arcctg6 在正方体的8 个顶点， 12 条棱的中点， 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、填空题（本题满分54 分，每小题 9 分）1 若)(Rxxf是 以2为 周 期 的 偶 函 数 ， 当 1 ,0 x时 ，19981)(xxf， 则)1998(f,)17101(f,)15104(f由小到大的排列是_. 2 设复数z=sincosi(0180) ，复数z,(1+i)z,2z在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形

26、的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是 _. 3 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这 10个数中取出3 个数，使其和为不小于10 的偶数，不同的取法有_种. 4 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项. 5 若椭圆4)(422ayx与抛物线yx22有公共点，则实数a的取值范围是 _. 6 ABC中，C=90, B=30,AC=2，M是AB的中点，将ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为22，此时三棱锥A BCM的体积等于 _. 三、（本题满分20 分）已知复数z=1 sin+icos(2) ，求z的共轭复数z的辐角主值。四

27、、（本题满分20 分）设函数38)(2xaxxf(a0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a) ，使得在整个区间0,l(a) 上，不等式 |f(x)| 5 都成立。问：a为何值时l(a) 最大？求出这个最大的l(a) ，证明你的结论。五、（本题满分20 分）ABCDEFGABCM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页已知抛物线pxy22及定点),(baA,B(a,0),)2, 0(2pabab，M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2. 求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1,M2存

28、在且M1M2） ，直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。1999 年全国高中数学联合竞赛一选择题（满分36 分，每小题6 分）1 给定公比为q(q1) 的等比数列 an ， 设b1a1a2a3，b2a4a5a6， ，bna3n2a3n1a3n, ，则数列 bn( ) (A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列(C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列2 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x | 1)2(| y |1)22 的整点 (x，y) 的个数是 ( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)25 3 若(l

29、og23)x(log53)x(log23)y(log53)y，则( ) (A)x y0 (B)xy0 (C)x y0 (D)xy0 4 给定下列两个关于异面直线的命题：命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是 与 的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么， ( ) (A) 命题正确，命题不正确 (B)命题正确，命题不正确(C) 两个命题都正确 (D)两个命题都不正确5 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3 名选手各比赛了2 场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50 场。那么，在上述3

30、名选手之间比赛的场数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 6 已知点A(1,2) ，过点 (5,2)的直线与抛物线y24x交于另外两点B,C，那么，ABC是( ) (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 答案不确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页二填空题（满分54 分，每小题 9 分）1 已知正整数n不超过 2000，并且能表示成不少于60 个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_2 已知arctg125，那么，复数iiz2392sin2cos的辐角主值是 _ _ 3

31、在ABC中，记BCa，CAb，ABc，若 9a29b219c20，则BACctgctgctg_4 已知点P在双曲线191622yx上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是 _5 已知直线axbyc0 中的a，b，c是取自集合 3， 2， 1，0，1，2，,3 中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_ _6 已知三棱锥S ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H AB C的平面角等于30 , SA23。那么三棱锥S ABC的体积为 _三、( 满分 20 分)已知当x0

32、,1时，不等式0sin)1 ()1 (cos22xxxx恒成立， 试求的取值范围四、 ( 满分 20 分) 给定A(2,2) ，已知B是椭圆1162522yx上的动点，F是左焦点，当 |AB| 35|BF|取最小值时，求B的坐标五、 ( 满分 20 分)给定正整数n和正数M，对于满足条件2121naaM的所有等差数列a1,a2,a3,. ，试求San1an2a2n1的最大值2000 年全国高中数学联合竞赛试卷（10 月 15 日上午 8:00-9:40）一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

33、3 页，共 20 页1设全集是实数，若A=x| 0 ，B=x| = , 则是( ) (A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) 2设 sina 0,cosa 0, 且 sin cos , 则的取值范围是 ( ) (A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z (C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z 3已知点 A 为双曲线 x2-y2=1 的左顶点，点B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是 ( ) (A) (B) (C)3 (D)6 4 给定正数 p,q,a,b,

34、c， 其中 p1q， 若 p,a,q 是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A) 无实根 (B) 有两个相等实根 (C) 有两个同号相异实根 (D) 有两个异号实根5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 6设，则以 w,w3,w7,w9 为根的方程是 ( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0 (C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题（本题满分54 分，每小题 9 分）7arcsin(sin2000)=_. 8

35、设 an 是(3- 的展开式中x 项的系数 (n=2,3,4,) ，则)=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页9等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是 _. 10在椭圆(a b0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则 ABF=_. 11一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是_. 12如果： (1)a,b,c,d都属于 1,2,3,4; (2)a1b,b1c,c1d,d1a; (3)a 是 a,b,c,d中的最小值，那么

36、，可以组成的不同的四位数的个数是 _. 三、解答题 ( 本题满分 60 分，每小题20 分) 13设 Sn=1+2+3+ +n,n?N，求 f(n)= 的最大值 . 14若函数在区间 a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求 a,b. 15已知 C0:x2+y2=1 和 C1: (ab0) 。试问：当且仅当a,b 满足什么条件时，对C1 上任意一点 P，均存在以P为项点 , 与 C0外切, 与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论。2001 年全国高中数学联合竞赛题1、已知 a 为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,x R的子集的个数为（A）1 （B）2 （C ）4 （D ）

37、不确定2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0 个（B ）1 个（C）2 个（D）3 个3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|0，2）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足 ABC=60 ，AC=12 ，BC=k的 ABC恰有一个，那么k 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

38、- - - - - - -第 15 页，共 20 页（A）k=83（B）0k12 （C）12（D）0kcos21的短轴长等于。8、若复数 z1,z2满足 |z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=23-I,则 z1z2= 。9、正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 ，则直线 A1C1与 BD1的距离是。10、不等式232log121x的解集为。11、函数232xxxy的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。一、 解答题（本题满分60 分，每小题20 分）13、设

39、an 为等差数列， bn 为等比数列，且211ab，222ab，233ab（a1a2）, 又12)(lim21nnbbb，试求 an 的首项与公差。14、设曲线 C1:1222yax(a 为正常数 ) 与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方公有一个公共点P。（1）求实数 m的取值范围（用a 表示） ；（2）O为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点A，当 0aa2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。2002 年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、 选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1、函数 f (x)=lo

40、g1/2(x2-2x-3) 的单调递增区间是（） 。（A） （ , 1）（B） （ ,1 ）（C） （1, ）（D） （3, ）F A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页2、若实数 x，y 满足 (x+5)2+(y-12)2=142，则 x2+y2的最小值为（） 。（A）2 （B）1 （C） 3 （D）2 3、函数 f(x)=x/1-2x-x/2 （）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线 x/4+y/3=1与椭圆 x2

41、/16+y2/9=1 相交于 A，B两点，该椭圆上点P ，使得 PAB面积等于 3，这样的点 P共有（） 。（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个5、已知两个实数集合A a1,a2, ,a100与 B b1,b2, ,b50 ，若从 A到 B 的映射 f 使得 B中每个元素都有原象，且f(a1) f(a2) f(a100) 则这样的映射共有（） 。（A）C50100（B）C4899（C）C49100（ D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24 的点

42、（x,y ）组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（） 。（A）V1=（1/2 ）V2 (B)V1=（2/3 ）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、 填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7、已知复数Z1,Z2满足 Z1 2, Z2 3, 若它们所对应向量的夹角为60, 则 (Z1Z2)/(Z1Z2) = 。8、将二项式（ x+1/ （24x） ）n的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页的幂指数是整数的项共有个。9、如图，点P1

43、，P2， P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk） （1i j k10）有个。10、已知 f(x)是定义在 R上的函数， f(1)=1且对任意xR都有 f(x+5) f(x)+5 ，f(x+1) f(x)+1 。若g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= 。11、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1 ，则 x- y的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a21+cosx 对一切 xR恒成立的负数a 的取值范围是。三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分）13、已知点 A（0,2 ）和抛物线 y2=x+4 上两点 B

44、，C使得 AB BC ，求点 C的纵坐标的取值范围。14、如图，有一列曲线P0，P1，P2，已知P0所围成的图形是面积为1 的等边三角形， Pk+1是对 Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ k=0,1,2,） 。记 Sn为曲线 Pn所围成图形的面积。（1） 求数列 Sn的通项公式；（2） 求 limSn. n15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0) 满足条件：（1） 当 xR时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x) x; （2） 当 x(0,2) 时， f(x) (x+1)/2)2; （3

45、） f(x)在 R上的最小值为0. 求最大的 m(m 1) ，使得存在t R，只要 x1,m ，就有 f(x+t)x。2003 年全国高中数学联赛第一试一、 选择题（每小题6 分, 满分 36 分）1 删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第2003 项是(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049 2 设a, b R, ab0，那么，直线ax y+b=0 和曲线bx2+ay2=ab 的图形是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页 (A) (B) (C) (D) 3

46、 过抛物线y2=8(x+2) 的焦点F作倾斜角为60 的直线若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于(A) (B)38 (C)3316 (D)834 若x125,3 ，则y= tan(x+32)tan(x+6)+cos(x+6) 的最大值是(A)2512 (B)2611 (C)3611 (D)35125 已知x,y都在区间 (2,2) 内，且xy 1，则函数u=244x+299y的最小值是(A)58(B)1124(C)712(D)5126 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为 2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A)23

47、(B)21(C)31(D)33二、 填空题 ( 每小题 9 分, 满分 54 分) 7 不等式 |x|32x24|x|+3 0 的解集是 _. 8 设F1,F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1 ，则PF1F2的面积等于_. 9 已知A=x|x24x+30,x R, B=x|ax120, x22(a+7)x+50,x R 若A B, 则实数a的取值范围是 _. 10已知a,b,c,d均为正整数，且logab=23, logcd=45，若a c=9, 则b d=_. 11将八个半径都为1 的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，

48、且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_. 12设Mn=( 十进制 )n位纯小数 0.naaa21|ai只取 0 或 1(i=1,2, ,n1)，an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则nnnTSlim=_. 三、 解答题 ( 每小题 20 分，满分 60 分) 1.已知523x, 证1923153212xxx2.设 A、B、C分别是复数aiz0,biz211,),(12Rcbaciz对应的不共线三点。证：曲线)(sinsincos2cos4222140Rttzttztzz与ABC中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点。x y x y O x y O x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页3.一张纸上画有半径为R的圆 O和圆内一定点A，且 OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与 A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页