2004年全国高中数学联赛试卷.doc

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1、2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分) 1设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos+cos=0 有重根，则的弧度数为 ( ) A B或 C 或 D 6 12 5 12 6 5 12 12 2已知 M=(x，y)|x2+2y2=3，N=(x，y)|y=mx+b若对于所有的 mR，均有 MN，则 b 的取 值范围是 ( ) A， B(，) C(， D， 3不等式+ logx3+20 的解集为 log2x1 1 2 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点 O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为(

2、 ) OA OB OC 0 A2 B C3 D 3 2 5 3 5设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 n abc 有( ) A45 个 B81 个 C165 个 D216 个 6顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底 面圆内的点，O 为底面圆圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB 的长为 ( ) A B C D 二填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asin

3、ax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函 数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ； a2 + 1 8设函数 f：RR，满足 f(0)=1，且对任意 x，yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ； 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1A1的度数是 ； 10设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得也是一个正整数，则 k= k2pk ； 11已知数列 a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则的值是 ； n i= 0 1 ai A B P O H C B1 A1 B C

4、D A C1 D1 12在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，当MPN 取最 大值时，点 P 的横坐标为 ； 三解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和 大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？ 14在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该 4 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； 若直

5、线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范 围 15已知，是方程 4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数 f(x)=的定义域为， 2xt x2 + 1 求 g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于 ui(0， )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则+an+14，nN*； 证明有 n0N*，使得对nn0，都有 +n2004 b2 b1 b3 b2 bn bn1 bn+ 1 bn 三(本题满分 50 分)对于整数 n4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合 m，m+1

6、，m+n1的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素 EF B C D A G H K 2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分) 1设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos+cot=0 有重根，则的弧度数为 ( ) A B或 C 或 D 6 12 5 12 6 5 12 12 解：由方程有重根，故 =4cos2cot=0， 1 4 0 t2t1，2)，x2，4)，选 C t1 3 2 4设点 O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( ) OA OB OC 0 A2 B C3 D 3 2 5

7、3 解：如图，设AOC=S，则 OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5SOBC=0.5S，ABC=3S 选 C 5设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角 abc 形，则这样的三位数 n 有( ) A45 个 B81 个 C165 个 D216 个 解：等边三角形共 9 个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为 a，b)，有 36 种取法，以小数为底时总能构成等腰三 角形，而以大数为底时，b2n，知，n4即最多能过 4 关 要求他第一关时掷 1 次的点数2，第二关时掷 2 次的点数和4，第三关时掷 3 次的点数和8 第一关过关

8、的概率= = ； 4 6 2 3 第二关过关的基本事件有 62种，不能过关的基本事件有为不等式 x+y4 的正整数解的个数，有 C 个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计 6 种，过关的概率=1= ； 2 4 6 62 5 6 第三关的基本事件有 63种，不能过关的基本事件为方程 x+y+z8 的正整数解的总数，可连写 8 个 1，从 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C =56 种，不能过关的概率=，能过关的概率=； 3 8 876 321 56 63 7 27 20 27 连过三关的概率= = 2 3 5 6 20 27 100 243 14在平面直角坐标

9、系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该 4 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； M N P K O x y 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范 围 解： 设点 P 的坐标为(x，y)， AB 方程：+=1，4x3y+4=0， x 1 3y 4 BC 方程：y=0， AC 方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4)(4x+3y4)|， 25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0， 2x2

10、+2y2+3y2=0 或 25y216x2+(3y4)2=0，16x234y2+24y16=0， 8x217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y2=0， 或双曲线：8x217y2+12y8=0 但应去掉点(1，0)与(1，0) ABC 的内心 D(0， )：经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+ 1 2 1 2 (a) 直线 x=0 与圆有两个交点，与双曲线没有交点； (b) k=0 时，直线 y= 与圆切于点(0， )，与双曲线交于(， )，即 k=0 满足要求 1 2 1 2 5 8 2 1 2 (c) k= 时，直线与圆只有 1 个公共点，与双曲线也至多有 1 个公

11、共点，故舍去 1 2 (c) k0 时，k 时，直线与圆有 2 个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=0 1 2 25 4 当 817k2=0 或(5k)225(817k2)=0，即得 k=与 k= 所求 k 值的取值范围为0， 15已知，是方程 4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数 f(x)= 的定义域为， 2xt x2 + 1 求 g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于 ui(0， )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则+an+14，nN*； 证明有 n0N*，使得对nn0，都有+0) 1 n2bn 1 n 0bn且 bn递减，

12、n2bn=n(n)= =单调增 1 2n2n2 + 1 0an+14 成立 亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 1 n2bn bn + 22 bn + 2 由 bn递减知 an递减，且 an0+2+=4 22 24 18 7 25 20 15 EF B C D A G H K P 即证(1)2004 n k = 1 bk+ 1 bk 1=k2( )2()2) bk+ 1 bk bkbk+ 1 bk 1 k 1 k+ 1 2k+ 1 (k+ 1)2 2k+ 1 (k+ 1)2 1 2 1 k+ 2 (1)( + )+( + + + )+ + + + n k = 1 bk+ 1 bk n

13、k = 1 1 k+ 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 2 1 2 1 2 只要 n 足够大，就有(1)2004 成立 n k = 1 bk + 1 bk 三(本题满分 50 分)对于整数 n4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，集合 m，m+1，m+n1的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素 解： 当 n4 时，对集合 M(m，n)=m，m+1，m+n1， 当 m 为奇数时，m，m+1，m+2 互质，当 m 为偶数时，m+1，m+2，m+3 互质即 M 的子集 M 中存在 3 个两两互质的元素，故 f(n)存在且 f(n)n 取集合

14、Tn=t|2|t 或 3|t，tn+1，则 T 为 M(2，n)=2，3，n+1的一个子集，且其中任 3 个数无不 能两两互质故 f(n)card(T)+1 但 card(T)=+故 f(n)+1 n +1 2 n +1 3 n +1 6 n +1 2 n +1 3 n +1 6 由与得，f(4)=4，f(5)=55f(6)6，6f(7)7，7f(8)8，8f(9)9 现计算 f(6)，取 M=m，m+1，m+5，若取其中任意 5 个数，当这 5 个数中有 3 个奇数时，这 3 个奇数互质；当这 3 个数中有 3 个偶数 k，k+2，k+4(k0(mod 2)时，其中至多有 1 个被 5 整除

15、，必有 1 个 被 3 整除，故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除，此数与另两个奇数两两互质故 f(6)=5 而 M(m，n+1)=M(m，n)m+n，故 f(n+1)f(n)+1 f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8 对于 4n9，f(n)= +1 成立 n +1 2 n +1 3 n +1 6 设对于 nk，成立，当 n=k+1 时，由于 M(m，k+1)=M(m，k5)m+k5，m+k4，m+k 在m+k5，m+k4，m+k中，能被 2 或 3 整除的数恰有 4 个，即使这 4 个数全部取出，只要在 前面的 M(m，k5)中取出 f(n)个数就必有 3 个两两互质的数于是 当 n

16、4 时，f(n+6)f(n)+4=f(n)+f(6)1 故 f(k+1)f(k5)+f(6)1=+1， k+ 2 2 k+ 2 3 k+ 2 6 比较，知对于 n=k+1，命题成立 对于任意 nN*，n4，f(n)= +1 成立 n +1 2 n +1 3 n +1 6 又可分段写出结果： f(n)= 4k+ 1，(n =6k， k N N * )， 4k+ 2，(n =6k+ 1，k N N * )， 4k+ 3，(n =6k+ 2，k N N * )， 4k+ 4，(n =6k+ 3，k N N * )， 4k+ 4，(n =6k+ 4，k N N * )， 4k+ 5，(n =6k+ 5，k N N * )