2022年高考数学一轮导数在研究函数中的应用 .docx

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1、精品_精品资料_高考数学精品复习资料2022.5学案 14导数在争辩函数中的应用0 导学目标： 1.明白函数单调性和导数的关系,能利用导数争辩函数的单调性,会求函数的单调区间 多项式函数一般不超过三次.2. 明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、微小值多项式函数一般不超过三次及最大 最小 值自主梳理1. 导数和函数单调性的关系：(1) 假设 f x0 在a,b上恒成立,就fx在a,b上是函数, f x0 的解集与定义域的交集的对应区间为 区间.(2) 假设 f x0 在a,b上恒成立,就fx在a,b上是函数, f x1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

2、资料_1争辩函数 fx的单调性.2证明：假设 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多角度审题1先求导,依据参数a 的值进行分类争辩. 2 假设 x1x2,结论等价于fx1x1fx2x2,假设 x1x2,问题等价于fx1 x1f x2 x2,故问题等价于 yfx x 是单调增函数【答题模板】1解fx的定义域为 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xxaa 1xx2 ax a 1xx 1x 1 ax.2 分x 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a 1 1,即 a2 时, f xx.故 fx 在0 , 上单调递增假设 a 11,故 1

3、a2 时,就当 x a 1,1时, f x0,故 f x在a 1,1上单调递减,在 0,a 1,1, 上单调递增假设 a 11 ,即 a2 时,同理可得fx在1, a1上单调递减,在0,1, a 1, 上单调递增 6 分 2证明考虑函数 gx fx xx1 2 ax a1ln x x. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 g x x a1 a 12x a 1a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 a 1 12.x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1a0 , 即 gx在0, 上单调递增,从而当 x1x20 时,有 gx1 gx20 ,

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 fx1 fx2 x1 x20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故f x1 f x2x1 x2 1.10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,假设 a 1.12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【突破思维障碍】(1) 争辩函数的单调区间的关键是争辩导数大于0 或小于 0 的不等式的解集,一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的争辩, 在能够通过因式分解得到导数等于0 的根的情形下, 根的大小是分类的标准.(2) 利用导数解决不等

5、式问题的主要方法就是构造函数,通过函数争辩函数的性质进而解决不等式问题1. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 1确定函数 fx的定义域.(2) 求 fx,令 f x 0,求出它在定义域内的一切实根.(3) 把函数 fx的间断点 即 fx的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的次序排列起来,然后用这些点把函数f x的定义区间分成假设干个小区间.(4) 确定 f x在各个开区间内的符号,依据f x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性2. 可导函数极值存在的条件：(1) 可导函数的极值点x0 确定中意 fx0 0,但当 f x1 0 时,x1 不愿定是极值点 如fx x3, f

6、 0 0,但 x 0 不是极值点(2) 可导函数 y fx在点 x0 处取得极值的充要条件是fx0 0,且在 x0 左侧与右侧 f x的符号不同3. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点邻近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少, 但最值只有一个, 极值只能在区间内取得, 最值就可以在端点取得, 有极值的未必有最值,有最值的未必有极值, 极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值4. 求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值总分值： 75 分一、选择题 每题 5 分,共 25 分1

7、. 20xx 大连模拟 设 f x, gx是 R 上的可导函数, f x、g x分别为 f x、gx的导函数, 且 f x gx f xg x0 ,就当 axfbgxB f xgafagxCfxgx fbgbD fxgxfaga2. 函数 fx的定义域为开区间a,b ,导函数 f x在a,b内的图象如下图, 就函数 f x在开区间 a, b内有微小值点A 1 个B 2 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C3 个D 4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_320xx嘉兴模拟 假设函数 y ax3 x在区间 33 上为减函数, 就 a 的取值范3可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_3 ,围是A a0B 1a1D 0a233Cm 2D m 3B a 1D a0,求函数 yfx在区间 a 1, a1 内的极值答案自主梳理1 1 增增 2 减减3 增减2.1 f x0f x0 f x0微小值2 f x 0自我检测1 C2.D3.C4.C5 18解析f x 3x2 2ax b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意f 1 10, f 1 0,1 ab a2 10,即3 2a b 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 a4, b 11 或 a 3, b 3.但当 a 3 时, fx 3x2 6x3 0,故不存在极值, a

9、 4, b 11, f2 18.课堂活动区例 1 解题导引 1 一般的, 涉及到函数 特殊是一些特殊规函数 的单调性问题, 往往可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义域内存在单调区间,就是不等式 f x0 或 f x0 ,即 x2 2ex0, ex0, x2 20,解得2 x0, x2 a 2xa 0 对 x 1,1都成立, 即 x2 a 2x a 0 对 x 1,1恒成立 设 hx x2 a 2x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h 1 0只须中意h 1 0,解得 a 3.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设函数 fx在 R 上单调递减,就 f x

10、0 对 xR 都成立,即 x2 a2 x aex 0 对 x R 都成立 ex0, x2 a 2x a 0 对 xR 都成立 a 22 4a 0,即 a2 4 0,这是不行能的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 f x不行能在 R 上单调递减假设函数 fx在 R 上单调递增, 就 f x0 对 xR 都成立, 即x2 a2x aex 0对 x R 都成立 ex0, x2 a 2x a 0 对 xR 都成立 而 x2 a 2x a 0 不行能恒成立,故函数 f x不行能在 R 上单调递增综上可知函数 fx不行能是 R 上的单调函数变 式 迁 移 1解1 由 题 意 得 f x

11、 3x2 21 a x aa 2 , 又f 0 b 0,f 0 a a2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 b 0, a 3 或 a1.2由 fx 0,得 x1 a, x2 又 fx 在 1,1上不单调,a 23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1a1 ,即a 2 1 a21,3或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 3a 2a 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1a1 , 解得 a 1, 5a1,或1a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a 的取

12、值范畴为 5, 1 1, 122例 2解题导引此题争辩函数的极值问题利用待定系数法, 由极值点的导数值为0, 以及极大值、 微小值, 建立方程组求解 判定函数极值时要留意导数为0 的点不愿定是极值点,所以求极值时确定要判定导数为0 的点左侧与右侧的单调性, 然后依据极值的定义判定是极大值仍是微小值解1由题意可知 f x 3ax2 b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 12a b 0于是4f 2 8a 2b 4 3,解得a1, 3b 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的函数解析式为fx 1x3 4x 4.32由1 可知 f x x24 x 2x 2 令

13、 f x 0 得 x 2 或 x 2,当 x 变化时, f x, f x的变化情形如下表所示：x , 2 2 2,222, f x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极大fx单调递增值单调递减微小值单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3因此,当 x 2 时, fx有极大值 28,当 x 2 时, fx有微小值 43所以函数的大致图象如图, 故实数 k 的取值范畴为 4, 2833可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式迁移 2解 1 f xf 1 a 2b1 0a x2bx 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f 2 a 4b

14、1 02136.解得 a , b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2f x 2 xx 1x 2 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x33x函数定义域为 0, ,列表x0,111,222, f x00fx单调递减微小值单调递增极大值单调递减 x 1 是 fx的微小值点, x2 是 fx 的极大值点例 3解题导引设函数 fx在a, b 上连续,在 a, b内可导,求 fx在 a, b上的最大值和最小值的步骤：(1) 求函数 y fx在a, b内的极值(2) 将函数 y fx的各极值与端点处的函数值fa、fb比较,

15、 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值解1由 fx x3ax2 bx c, 得 f x 3x2 2ax b,当 x 1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2ab 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,当 x 23y fx 有极值,就 f 23 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 4a 3b 4 0.由解得 a2, b 4,又切点的横坐标为x 1, f1 4. 1 a b c 4. c 5.2由1 ,得 f x x3 2x2 4x5, f x 3x2 4x 4.,令 f x 0,得 x 2 或 x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、3 f x0 的解集为 2,2,即为 fx的减区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3, 2、2, 1 是函数的增区间3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 3 8, f 2 13,f 23 95, f1 4, 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. y fx在 3,1上的最大值为 13,最小值为 9527变式迁移 3解 1 由题意得 f x 3ax2 2x b. 因此 gx fx f x ax33 a1 x2b2x b. 由于函数 gx是奇函数,所以 gx gx,即对任意实数 x,有 a x3 3a 1 x2 b 2 x b ax3 3a 1

17、 x2 b2xb,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,从而 3a 1 0, b 0,解得 a 13b 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x因此 fx的表达式为 fx 1332由1 知 g x 1x3 2x,3 x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 g x x2 2,令 g x 0, 解得 x1 2, x2 2,就当 x2时, gx0,从而 gx在区间 , 2, 2, 上是减函数. 当 2x0 ,从而 gx在区间 2, 2 上是增函数由前面争辩知, g x在区间 1,2 上的最大值与最小值只能在x 1, 2, 2 时取得,可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品_精品资料_而 g15g2 42, g2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 3,3.因此 gx在区间 1,2 上的最大值为 g2 42,3.最小值为 g2 43课后练习区1 C2.A3.A4.A5.B6 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 a解析 fx x 1 x2 a x1 x2ax 1 x2 2x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1 2x 1 2,又 x 1 为函数的极值, f1 0. 1 2 1 a0,即 a3. 7解析观看函数 fx的导函数 f x的图象, 由单调性、极值与导数值的关系直接判定8 , 3 6,

19、 解析f x 3x2 2mx m 6 0 有两个不等实根, 就 4m2 12 m 60 , m6或 m 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 19 解fx x2 2 分 2 x 2x 1x2 2 2,由 f x 0 得 x 2,1. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x , 2时 f x0 ,故 x 2 是函数的微小值点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 fx的微小值为 f 21 2.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分当 x 2,1时 fx0,当 x 1, 时 f x0 ,得 x2 或 x0,故 fx 的单调递增区间是

20、 ,0 2, .由 f x0 ,得 0x2,故 fx 的单调递减区间是0,28 分2由1 得 f x 3xx 2, 令 f x 0,得 x 0 或 x 2.当 x 变化时, f x、fx的变化情形如下表：x ,000,222, f xfx0极大值0微小值10分由此可得：当 0a1 时, fx在 a 1, a1内有极大值 f0 2,无微小值. 当 a1 时, fx 在a1, a 1内无极值.当 1a3 时, fx在 a 1, a1内有微小值 f2 6,无极大值.当 a 3 时, fx在a 1,a 1内无极值12分综上得：当 0a1 时, fx 有极大值 2,无微小值. 当 1a3 时, fx有微小值 6,无极大值.当 a 1 或 a3 时, f x无极值14分可编辑资料 - - - 欢迎下载