2022年高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 第三章 导数及其应用一、变化率与导数1、定义：设yfx在xx 0处取得一个增量xx0.x函数值也得到一个增量y,称y为从x0 到x 0x的平均变化率. 如当时x0 时,有极限存在,就称此极限值为函数y 在xx 0处的瞬时变化率,记为lim x0ylim x0fx 0xfx 0,也称为函xx数 在 yxx0 处的导数,记作fx0或yx x 0,即fx0lim x0fx0xfx0.x说明：导数即为函数yfx在xx0处的瞬时变化率.2、几何意义 :x0 时, Q沿fx图像无限趋近于点P时,切线PT的斜率 .即fx 0k PT.3、导函数（简称为导

2、数）yfx称为导函数,记作y,即fx=y= lim x0ylim x0fxxfx.xx二、常见函数的导数公式1 假设f x c c 为常数 ,就f 0；第 1 页,共 5 页2 假设f x ,就f x1; 3 假设f x sinx ,就f cosxx ; 4 假设f cosx ,就f sin5 假设f x a ,就f axlna6 假设f x x e ,就f ex7 假设logx,就f x1af x aln8 假设f lnx ,就f 1x_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三、导数的运算法就1. f x .g x f g x .f x

3、.g x 2. f x g x f .g x 3. f x f .g x f x g g x 2四、复合函数求导yf u 和ug x ,称就 y 可以表示成为 x 的函数 ,即yf g x 为一个复合函数,就yf .g 五、导数在争论函数中的应用1. 函数的单调性与导数 : 1在某个区间 , a b 内,假如 f 0,那么函数 y f x 在这个区间单调递增；假如 f 0,那么函数 y f x 在这个区间单调递减 . 说明：如 f x 在定义域区间上不是单调的,就经常用 fx =0 的点划分 f x 的单调区间 .如 fx 在某个区间恒有 fx 0,就 f x 是常函数；如 fx 在某个区间内

4、只有有限个点使 f x 0,其余恒有 f x 0, 就 f x 仍为增函数 .例如：f x x 3 在 R上有 f0 0,其余恒有 fx 0,f x x 3 仍为 R上的增函数,其函数图像为：（ ）求单调区间的步骤：2求fx的定义域；.“” “、或 相连,应当用“ ”,隔开或用“和”.第 2 页,共 5 页求导fx；令fx0,解集在定义域内的部分为增区间令fx0,解集在定义域内的部分为减区间.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时,不能用_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （ ）一种常见的题型：3已知函数的单调性求参数的取值范畴,利用“

5、如fx单调递增,就fx0；如fx单调递减,就fx0. 来求解,留意等号不能省略,否就可能漏解；2. 函数的极值与导数1极大、微小值得定义：如对x 0 邻近的全部的点,都有fxfx 0如对x0 邻近的全部的点,都有fxfx 0且fx0=0,就称fx0是函数fx的一个极且fx 0=0,就称fx 0是函数fx的一个极大值 称 .x0 是极大值点 .小值 称 .x 0是微小值点 . 说明：极大值与微小值统称为极值,极大值与微小值点统称为极值点,极值点是实数而不是点（2）求函数的极值的步骤：确定定义区间,求导fx；0,那么fx0是极大值;求方程fx=0 的解x 0；检查x 0 左右两边fx的符号：I、假

6、如在x 0 邻近的左侧fx0,右侧fxII、假如在x 0 邻近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx 0是微小值;III、假如在x 0左右两侧导函数不转变符号,那么fx在x0 处无极值 .说明：在解答过程中通常用列表：_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 5 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、函数的最值与导数求函数yf x 在 , a b 上的最大值与最小值的步骤f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值. 求函数yf x 在 , a b 内的极值； 将函数yf x 的各极值与端点处的函数值f a ,说明：“ 最值” 是整体概念, “ 极值”

7、是个局部概念. 4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为“加 型fxx/xn1xf/xxnfx第 4 页,共 5 页1f/xfx0构造x e fx/x ef/xfx2xf/xfx0构造xfx/xf/xfx3xf/xnfx0构造n x fx/n x f/xnxn1留意对x的符号进行争论fxfx2、关系式为“减 型1f/xfx0构造fxf/x exxfx exx e2e2ex2xf/xfx0构造fx/xf/x2 xfxxf/xnfx3xf/xnfx0构造fxx/n x f/xxnxn1fnn2xn1留意对 的符号进行争论 x_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 5 页