2022年高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义 .pdf

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1、第三章导数及其应用一、变化率与导数00000000000000010,0limlimlim.xxx xxyfxxxxxyyxxxxxyxxfxxfxyxxyxxfxyfxxfxfxx、定义：设在处取得一个增量.函数值也得到一个增量称为从到的平均变化率. 若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为， 也称为函数 在处的导数，记作或,即0yfxxx说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.00.PTxfxPPTfxk2、几何意义 :时， Q沿图像无限趋近于点时，切线的斜率 .即003= limlim.xxfxxfxyyfxyfxyxx、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即二、常见

2、函数的导数公式1 假设( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx；2 假设( )fxx,则1( )fxx; 3 假设( )sinf xx,则( )cosfxx4 假设( )cosfxx,则( )sinfxx; 5 假设( )xfxa,则( )lnxfxaa6 假设( )xf xe,则( )xfxe7 假设( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 假设( )lnfxx,则1( )fxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页三、导数的运算法则1. ( )( )( )( )f xg xfxg x2. ( )( )(

3、 )( )( )( )f xg xfxg xf xg x?3. 2( )( )( )( )( )( ) ( )f xfxg xf xgxg xg x?四、复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yf g x为一个复合函数，则五、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数: 1在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. 33=0000,000,fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxffxfxx说明：若在定义域区间上不是单调的，则常常

4、用的点划分的单调区间 .若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数 .例如：在R上有，其余恒有，仍为 R上的增函数，其函数图像为：20.0.fxfxfxfx（ ）求单调区间的步骤：求的定义域；求导；令，解集在定义域内的部分为增区间令，解集在定义域内的部分为减区间“ ”“ ”“ ”“ ” .说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或 相连，应该用，隔开或用和( ( )( )yfg xgx?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3“00?fxfxfxfx（ ）一种常见的题型：已知

5、函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则； 若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2. 函数的极值与导数1极大、极小值得定义：00000=0.xfxfxfxfxfxx若对附近的所有的点，都有且， 则称是函数的一个极大值 称是极大值点 .00000=0.xfxfxfxfxfxx若对附近的所有的点，都有且， 则称是函数的一个极小值 称是极小值点 .说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点. （2）求函数的极值的步骤：00000000=0I0,0,;II0,0,;IIIfxfxxxfxxfxfxfxxfxfxfxxfxx确定定义区间，

6、求导；求方程的解；检查左右两边的符号：、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值 .说明：在解答过程中通常用列表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页3、函数的最值与导数求函数( )yfx在 , a b上的最大值与最小值的步骤 求函数( )yf x在( , )a b内的极值； 将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 说明： “最值”是整体概念， “极值”是个局部概念.

7、4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：/11/“ ”102030 xxnnnnfxfxe fxefxfxxfxfxxfxxfxfxxfxnfxx fxx fxnxfxxxfxnfxx扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加 型构造构造构造注意对的符号进行讨论/22/2/1/21“ ”102030 xxxxxnnnnnfxfx efx efxfxfxfxeeefxxfxfxxfxfxxxfxx fxnxfxxfxnfxxfxnfxxxxx2、关系式为减 型构造构造构造注意对 的符号进行讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页