一次函数与方程不等式(共45张PPT).ppt

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1、19.2.3一次函数与方程、不等式,人教版八年级数学下册,第一课时,学习目标,1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。,.会用数形结合的方法分析和解决问题。,看下面两个问题之间的关系： （1）解方程2x+20=0 （2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,分析：可以从下面三个方面进行思考 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什 么不同？,若作出y=2x+20图像（1）和（2）有什么关系？,2 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？,问题： （1）解方程2x+20=0 （2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？, 对于2

2、x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？,形式上,2x+20=0,y=2x+20,一元一次方程,一次函数,问题： （1）解方程2x+20=0 （2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？,2x+20=0,y=2x+20,本质上（从“数”的角度看）,解方程2x+20=0 得x=-10,当函数值为0时，所对应的自变量x的值,也就是,当y=0时，得 2x+20=0，解得x=-10,从“数”上看,当x为何值时, y=8x+3的值为0,解方程 -7x+2=-1,当x为何值时, y=ax+b的值为0,解方程ax+b=0,解方程 8x+3

3、=0,解方程 3x2=0,当x为何值时, y=3x2的值为0,当x为何值时, y=-7x+2的值为-1,可化为：-7x+3=0,问题： （1）解方程2x+20=0 （2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,若作出y=2x+20图像，（1）和（2）有什么关系？,y=2x+20,从“形”的角度看：,直线y=2x+20的图像与x轴 的交点坐标为,这说明方程2x+20=0的 解是,（-10，0）,X=-10,从“形”上看,序号,一次函数问题,图像,当x为何值时，y=2x-2的值为0,当x为何值时，y=ax+b的值为0,直线y=ax+b的图像与x轴的交点的横坐标,问题： （1）解方程2x+

4、20=0 （2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,结论：这两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）,求ax+b=0(a, b是 常数，a0)的解,当X为何值时 y= ax+b的值为0,求直线y= ax+b 与X轴交点的横坐标,从“数”的角度看,从“形”的角度看,求ax+b=0(a, b是 常数，a0)的解,下列方程与函数y=2x+1有什么关系？ （1）2x+1=3 （2）2x+1=0 （3）2x+1=-1,y=2x+1 2x+1=3,求2x+1=3的解,当y=3时，求函 数y=2x+1的自 变量x的值,在y=2x+1的图像 上确定当y=3时 对应的横坐标x,y =2x+1

5、,答案：x=1,2x +1=0 的解,2x +1=-1 的解,1、0.5、-1,由 形 到 数,由 数 到 形,一次函数与一元一次方程,上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1的情况，而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标,从函数的观点看： 解一元一次方程ax+b=k，就是求当函数值为k时对应的自变量x的值,一元一次方程ax+b=k（a0）与函数y= ax+b,一次函数与一元一次方程的关系,求ax+b=k（a0）的解,（从“数”的角度）,X为何值时， y= ax+b的值为k,求ax+b=k（a0）的解,当函数y= ax+b的纵坐标为k

6、时，所对应的横坐标x的值,（从“形”的角度）,1、已知一次函数y=-2x+2,根据图像回答 （1）当y=0时，求x的值； （2）当y=2时，求x的值,解：,(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为（1，0）当y=0时，x=1,(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为（0，2）当y=2时，x=0,2.根据下列图象，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解,方程5x =0的解是x=_,方程x+2 =0的解是x=_,方程x-3 =0的解是x=_,方程-2.5x+5 =0的解是x=_,3. 已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线 y=ax+b的是（

7、 ）,B,从“数”上看,（1）解不等式：2x-40,（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0,解：（1）解得x2,（2）就是要使2x-40，解得x2时，函数y=2x-4的值大于0,议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？,从“数”的角度看它们是同一个问题,试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):,求一次函数y=3x-6的函数值 小于0的自变量的取值范围。,求不等式3x+80的解集。,从“形”上看,问题3：如何用函数图像来解释：自变量x取何值时，函数y=2x-4的值大于0,解：画出直线y=2x-4,可以看出，当x2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时,y=2x-4

8、0,例 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集,3x+60,(3) x+3 0,(2)3x+6 0,X-2,(4) x+30,x3,X-2,x3,(即y0),(即y0),(即y0),(即y0),1、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是 ，不等式-3x-30的解集是 ，不等式-3x-30的解集是,（-1,0）,x-1,x-1,求ax+b0 (或0)的解,X为何值时， y= ax+b的值大于0 （或小于0）,求直线y= ax+b在X轴 上方（或下方）部分 所有点的横坐标,从数的角度看,从形的角度看,一次函数与一元一次不等式的关系,求ax+b0 (或0)的解,归纳,例2下面三个不等式有什么

9、共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ （1）3x+22；（2）3x+20；（3）3x+2-1,用一用,y =3x+2,y =2,y =-1,不等式ax+bc的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c时所对于的自变量x的取值范围 不等式ax+b0(a0)的解集是函数y=ax+b的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围,巩固与应用,1、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是 。,x2,2、当x 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。,2,2题图,1题图,尝试题： 用画函数图象的方法解不等式：,不等式化为 3x-6 0,画出函数y=3x-6的图像

10、,这时 y=3x-6 0, 此不等式的解集为x 2,y=3x-6,5x+42x+10,解：,由图像可以看出：,当 x2 时这条直线上的点在x轴的下方，,解法二：,把 5x+42x+10 看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10,画出y=5x+4和y=2x+10的图像.,10,-5,y=2x+10,y=5x+4,2,它们的交点的横坐标为2.,当x 2时直线y=5x+4 上的点都在直线y=2x+10的下方.,x 2,14,4,由图像可知,即5x+42x+10,此不等式的解集为,（4，0）,x4,x4,x6,4x6,y=2,y=-1,巩固题：,1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min

11、的速度 上升与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升 请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y（m）与气球 上升时间 x（min）的函数关系,气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔高度：y =0.5x+15,二元一次方程与一次函数有 什么关系？,一次函数与二元一次方程组,从数的角度看：,就是求自变量为何值时，两个 一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函 数值相等，并求出函数值,拓展问题,什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？大 家会从数和形两方面分别加以研究吗？,气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y

12、=0.5x+15,二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标,拓展问题,A（20，25）,30,25,20,15,10,5,10,20,y =x+5,y =0.5x+15,15,5,O,x,y,从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么 关系？,用图象法解方程组：,解：,由得:,由得:,作出图象：,观察图象得：交点(3,-2),练习巩固,1.已知一次函数y=3x+5与y=2x+b的图象交点为(-1，2)， 则方程组 的解是_,继续尝试 ： 二元一次 方程与一次函数的关系,以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象 就是 的图象.,你会将二元一次方程 x+y=3 用x的

13、式子表示y吗？,一次函数 y=3-x 的图象上所有点的坐标 都是二元一次方程x+y=3解吗？,y=-x +3,一次函数 y=-x +3,归纳,每个二元一次方程都可转化为一次函数,思考： 二元一次 方程组与一次函数的关系,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合,对于，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个次函数的y值相等?它反映在图象上，就是求直线y=0.6x+1.6和直线y=2x-1的交点坐标.,从数的角度看：,从形的角度看：,一次函数与二元一次方程组,你一定能行的！,巩固练习,1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组 的解为 .,2、

14、若二元一次方程组 的解为 , 则函数 与 的图象的交点坐标为 .,（2，2）,3根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?,综合运用,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?,解法1:设上网时间为x分,若按方式A则收费y=0.1x元;若按方式B则收费y=0.05x+20元,在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象,解方程组,所以两图象交于(400,40),当0 x400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的下方， 0.1x 0.05x

15、+20，选A种方式合算,当x=400时两者均可。,当x400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的上方， 0.1x0.05x+20，选B种方式合算,解法2：,设上网时间为x分，方式A与方式B两种计费差额为y元，则y与x的函数关系式为:y=(0.05x+20) 0.1x=0.05x+200,一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?,画出这个函数的图象,400,解方程0.05x+200=0,得x=400,所以图象与x轴交点为(400,0),由图象可知

16、:当0 x400时,y0,选A方式合算,当x=400时,y=0,两者均可;,当x400时,y0,选B方式合算,（1）对应关系,将方程组中各方程化为y=kx+b的形式； 画出各个一次函数的图象； 由交点坐标得出方程组的解,(2)图象法解方程组的步骤：,你掌握了吗？,一、今天学习了什么？,二、有什么疑问的地方？,三、有什么和老师、同学探讨的吗？,当堂检测,1.直线y=-3x+5与x轴的交点坐标为_则方程5-3x=0的解是x= _,2.直线y=kx-3与x轴的交点是(-1,0),则kx=3的解是x = _,3.直线y=-3x+2与x轴的交点是_，,0,则不等式-3x+20的解集是,.,x _,4.方程组,的解为,5.函数y=2x-3与y=-x+6的图象的交点是 _,;所以点(-1,1)是直线_,与直线_的交点.,6、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是 ，不等式-3x-30的解集是 。,x,o,y,-1,y=-3x-3,7、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是 。,x,o,y,2,y=mx+n,6题图,7题图,8、当x 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。,x,o,y,2,2,8题图,9、直线y=-x+m和y=2x+n的交点如图，则不等式-x+m2x+n的解集是 。,x,o,y,2,1,9题图,x1,y1=-x+m,y2=2x+n,