高二数学寒假课程第10讲导数应用.doc

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1、第十讲 导数的应用【知识梳理】1.函数的单调性：在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a，b）内单调递增，则，是在（a，b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数在点处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值.（2）如果在附近的左侧 ，右侧，那么 是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点【考点一：导数与函

2、数的单调性】在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a，b）内单调递增，则，是在（a，b）内单调递增的充分不必要条件.【例1】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.【解析】（）由的图象经过，知， 所以.所以. 由在处的切线方程是，知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是（）因为， 令，即，解得 ，. 当或时， 当时， 故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 【例2】若在区间1，1上单调递增，求的取值范围.【解析】又在区间1，1上

3、单调递增在1，1上恒成立 即在 1，1时恒成立.，的取值范围为【例3】已知函数，设.（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；【解析】（），由，在上单调递增.由，在上单调递减.的单调递减区间为，单调递增区间为.（），恒成立当时，取得最大值.，amin=.【课堂练习】1.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直. （）求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解析】（）的图象经过点 ， 由已知条件知 即 解得：（）由（）知，令则或 函数在区间上单调递增 或 即或2.设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为 （1

4、）若方程的表达式； （2）若的最小值.【解析】（1）根据导数的几何意义知，由已知-2、4是方程的两个实根由韦达定理， （2）在区间1，3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有其中点（2，3）距离原点最近，所以当有最小值13 3.已知函数 ，.当 时，讨论函数 的单调性.【解析】，（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数.（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数. 【考点二: 导数与函数的极值最值】1.求函数的极值的步骤:（1）确定函数的定义域，求导数 .（2）求方程的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那

5、么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值. （2）求出端点函数值. （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】若函数在处取得极值，则 .【解析】因为可导，且，所以，解得.经验证当时， 函数在处取得极大值.【例5】已知函数，（）求的单调区间；（）求在区间上的最小值.【解析】（），令，所以在上递减，在上递增；（）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.【例6】设是函

6、数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）由已知得： （2）x变化时.的变化情况如表：（0，1）1（1，2）20+0极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值.【课堂练习】4.设.若在上存在单调递增区间，求a的取值范围.【解析】在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可.由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.5.设，.（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；【解析】（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.当（1，

7、+）时，0，是增函数，故是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为（2），设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即6.已知函数（）证明：曲线（）若，求a的取值范围.【解析】（） ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得.所以曲线（）由得，（i）当时，没有极小值；（ii）当或时，由得故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合（i）（ii）得a的取值范围是.【例7】 当时，求证【解析】设函数当时， ，故在递增，当时，又，即，故.【例8】已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，.【解析】（） f（x）的定义域为（0，+）

8、，.当a0时，0，故f（x）在（0，+）单调增加；当a1时，0， 故f（x）在（0，+）单调减少；当1a0时，令0，解得x=.当x（0， ）时， 0；x（，+）时，0， 故f（x）在（0， ）单调增加，在（，+）单调减少.（）不妨假设x1x2.由于a2，故f（x）在（0，+）单调减少.所以等价于，即令，则+4.于是0.从而在（0，+）单调减少，故，故对任意x1，x2（0，+） ，.【例9】设函数.（）若为函数的极值点，求实数；（）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有4成立.【解析】（），解得 或，检验知符合题意（）在时恒成立当时，显然恒成立当时 由得在时恒成立在时恒成立令，在单调递增 时，单调

9、递减 ，时单调递增 【课堂练习】7.已知函数（）（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：0，f（x）在上递增当时，令得解得：，因（舍去），故在上0，f（x）递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得8.已知函数.（）若，求a的取值范围；（）证明： .【解析】（）， ，题设等价于.令，则当，；当时，故是的最大值点，综上，a的取值范围是.（）有（）知，即.当时，；当时，所以9.设函数，其中常数a1（）讨论f（x）的单调性; （）若当x0时，f（x）0恒成立，求a的取值范围. 【解析】（） 由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数；当时，故在区间是增函数.综上，当时在区间和

10、是增函数，在区间是减函数（）由（）知，当时，在或处取得最小值.由假设知 即解得1a0）的单调递增区间是 .5.若函数在处取极值，则 6.设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.7.设函数，求函数的单调区间与极值.8.设函数，（）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于.9.设函数，其中.证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值.10.设函数f（x）=x2+b ln（x+1），其中b0.（）当b时，判断函数f（x）在定义域上的单

11、调性；（）求函数f（x）的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式ln（）都成立.【参考答案】1.【答案】 D 【解析】 ，切线方程为，即.2.【答案】A 【解析】，所以，故切线方程为.3.【答案】A【解析】 ， ，在切线， 4.【答案】【解析】由可得5.【答案】3【解析】，f（1）0 a36.【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.7.【解析】由从而当x变化时，变化情况如下表：8.【解析】（），依题意有，故.从而.的定义域为，当时，；当时，；当时，.从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少.（）的定义域为，.方程的判别式.（）若，即，在的定义域内，故

12、的极值（）若，则或.若，.当时，当时，所以无极值.若，也无极值.（）若，即或，则有两个不同的实根，.当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值.当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值.综上，存在极值时，的取值范围为.的极值之和为.9.【解析】因为，所以的定义域为.当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减.所以当，函数没有极值点.当时，令，得（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一

13、个极小值点，极小值为.若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.10.【解析】（）函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，故.当时，在上恒成立.即当时，函数在定义域上单调递增.（）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点.（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0 ，此时有个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.（）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得提高训练（B类）1 曲

14、线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （） .2.设函数则 （ ）A在区间内均有零点. B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点. 3. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .4.已知定义在正实数集上的函数，其中.设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值.5.已知函数的减区间是.（1）试求m、n的值；（2）求过点且与曲线相切的切线方程；（3）过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.6.已知函数图像上的点处的切线方程为.（1）若函数在时有

15、极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围7.设函数，已知和为的极值点.（）求和的值；（）讨论的单调性；（）设，试比较与的大小.8.已知函数（）如果，求的单调区间；（）若在单调增加，在单调减少，证明6. 9.设函数，曲线在点处的切线方程为.（）求的解析式：（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【参考答案】1.【答案】D【解析】已知曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以2.【答案】D【解析】由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点

16、处有极小值；又，故选择D.3.【答案】【解析】由题意该函数的定义域，由.因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点.解法1（图像法）再将之转化为与存在交点.当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程在内有解，显然可得4.【解析】（1）设与在公共点处的切线相同，由题意知，由得，或（舍去）则有（2）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为5.【解析】 由题意知：的解集为， 所以-2和2为方程的根，

17、由韦达定理知 ，即m=1，n=0. ，当A为切点时，切线的斜率 ，切线为，即； 当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即 因为过点A（1，-11）， 或，而为A点，即另一个切点为， ，切线方程为 ，即 所以，过点的切线为或. 存在满足条件的三条切线. 设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为 即因为其过点A（1，t），所以， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设，只要使曲线有3个零点即可.设 =0， 分别为的极值点，当时，在和 上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得. 6.【解析】， 因为函数在处的切线斜率

18、为-3，所以，即，又得（1）函数在时有极值，所以，解得，所以.（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，则得，所以实数的取值范围为7.【解析】（）因为，又和为的极值点，所以，因此 解方程组得，.（）因为，所以，令，解得，.因为当时，；当时，.所以在和上是递增的；在和上是递减的.（）由（）可知，故，令，则.令，得，因为时，所以在上单调递减.故时，；因为时，所以在上单调递增.故时，.所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有.8.【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.（）由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 9.【解析】（），于是解得

19、或因为，所以.（）已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数.可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.（）在曲线上任一点.由知，过此点的切线方程为.令得，切线与直线交点为.令得，切线与直线交点为.直线与直线的交点为（1，1）.从而所围三角形的面积为.所以， 所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C类）1.已知函数其中为常数.（）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数，当时，有2.已知函数，其中R.（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；3.设 （1）若，求过点（2，）的

20、直线方程； （2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.4. 已知函数，xR.（其中m为常数）（I）当m=4时，求函数的极值点和极值；（）若函数在区间（0，+）上有两个极值点，求实数m的取值范围.5. 已知函数.（）若，令函数，求函数在上的极大值、极小值；（）若函数在上恒为单调递增函数，求实数的取值范围.6.已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立.7.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数的值.（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.8.已知函数.（）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（）求函数的极

21、值.9.已知函数，其定义域为 （），设.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）试判断的大小并说明理由.10.已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围.【参考答案】1.【解析】（）由已知得函数的定义域为，当时，所以.当时，由得，此时.当时，单调递减；当时，单调递增.当时，恒成立，所以无极值.综上所述，时，当时，无极值当时，在处取得极小值，极小值为.（）当时，.当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明.令，则，当时，故在上单调递增，因此当时，即成立.故当时，有.即.2.【解析】（）的定义域为，且，

22、 当时，在上单调递增；当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. （），的定义域为 因为在其定义域内为增函数所以，而，当且仅当时取等号，所以3.【解析】（1）由得故 故过点（2，）的直线方程为，即（2）由令在其定义域（0，+）上单调递增.只需恒成立由上恒成立，综上k的取值范围为4.【解析】函数的定义域为R（）当m4时，f（x） x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得，列表如下：0-0所以函数的极大值点是，极大值是；极小值点是，极小值是.（）x2（m3）xm6，要使函数在（0，）有两个极值点，则，解得m3.5.【解析】（），所以，由得或所以函数在处取得极小值；在处取

23、得极大值（） 因为的对称轴为若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；综上，实数的取值范围为6.【解析】（1）由奇函数定义，有. 即因此， 由条件为的极值，必有 故 ，解得 因此 当时，故在单调区间上是增函数.当时，故在单调区间上是减函数.当时，故在单调区间上是增函数.所以，在处取得极大值，极大值为（2）由（1）知，是减函数，且在上的最大值为最小值为所以，对任意恒有7.【解析】（1）的图象经过点，故又，则由条件即解得（2），令得或函数在区间上单调递增，则或即或8.【解析】（）. 因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以 ，即

24、 所以 . （）. 令，则或. 当，即时，函数在上为增函数，函数无极值点； 当，即时.+0-0+极大值极小值所以当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是；当，即时.+0-0+极大值极小值所以 当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是. 综上所述，当时函数无极值；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值是；当时，当时，函数有极大值是，当时，函数有极小值.9.【解析】（1） 令，则或，在上单调递增，在上单调递减， 若，则在上单调递增，即 若，则在上单调递增，在上单调递减又，即若，则在上单调递增，在上单调递减，即，综上，.10.【解析】（1）由，得.取，得，解之，得， （2）因为.从而，列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是. （3）函数，有=（x2 3 x+C1）ex， 当函数在区间上为单调递增时，等价于h（x）= x2 3 x+C10在上恒成立， 只要h（2）0，解得c 11， 当函数在区间上为单调递减时，等价于h（x）= x2 3 x+C10在上恒成立， 即=，解得c ，所以c的取值范围是c 11或c .