高二数学寒假课程第1讲-解三角形.doc

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1、 寒假课程 高二数学第一讲 解三角形【知识梳理】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【考点一：正弦定理】知识点：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 形式一： （解三角形的重要工具） 形式二： （边角转化的重要工具） 形式三： 形式四：，方法归纳：1.已知两角A、B与一边a，由A+B+C=及，可求出角C，再求b、c.2.已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边b的对角B，由，求出C，再由求出c，而通过求B时，

2、可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90A=90Ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解例题精讲：【例1】在中，a=15，b=10，A=60，则=（ ）A. B. C. D. .【答案】D【解析】根据正弦定理，可得，解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.【课堂练习】1.在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解【例2】在ABC中，已知a=，b=，B=45，求A、C和c.【解析】

3、B=4590且asinBba，ABC有两解.由正弦定理得sinA= =，则A为60或120.当A=60时，C=180-（A+B）=75，c=.当A=120时，C=180-（A+B）=15，c=.故在ABC中，A=60，C=75，c=或A=120，C=15，c=.【考点二：余弦定理】知识点：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：， ，；形式二：，.方法归纳：1.已知两边b、c与其夹角A，由，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.2.已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.例题精讲：【例3】在中，AB=3，AC=2，BC=，则 （

4、）A. B. C. D.【答案】D 【解析】由余弦定理得所以选.【课堂练习】 2.在ABC中，已知，求b及A；【解析】=cos=8，求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即，【例4】设内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长； （）求的值.【解析】（），的周长为.（），故为锐角，. 【注】常用到的三角公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系如下：【课堂练习】3. 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3+3-3=4bc .（） 求sinA的值； （）求的值.【解析】（）由余弦定理，得，又，故.（）原式=.【考点三：正余弦定理的综合应用】知

5、识点：内角和定理：在中，；面积公式：在三角形中大边对大角，反之亦然.方法归纳：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理【例5】若的三个内角满足，则（ ）A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】C【解析】由及正弦定理得a：b：c=5：11：13由余弦定理得，所以角C为钝角【课堂练习】4.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角

6、形【解析】2sinAcosBsin（AB）sin（AB），又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB5.在ABC中，、b、c分别表示内角A、B、C的对边，如果，判断三角形的形状.【解析】方法一：已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin（A-B）2a2cosAsinB=2b2cosBsinA，由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0sin2A=sin2B，由02A，2B2，得2A=2B或2A=-2B，即A=B或A=-B，ABC为等腰或直角三角形.

7、方法二：同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB，由正、余弦定理，可得，即，即a=b或a2+b2=c2，ABC为等腰或直角三角形.【例6】在ABC中，已知，则的值为（ ）A. B. C.或 D.【答案】 A【解析】 在ABC中，由 知角B为锐角【课堂练习】6.在ABC中，所对的边分别为，且，（1）求的值； （2）若，求的最大值；【解析】（1）因为，故（2），又，当且仅当时，故的最大值是.【例7】已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC外接圆半径为. （1）求C； （2）求ABC面积的最大值.【解析】（1）由2（sin2Asin2C）=（ab）sinB

8、得2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0C180，C=60.（2）S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin（120A）=2sinA（sin120cosAcos120sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2Acos2A+=sin（2A30）+.当2A=120，即A=60时，Smax=.【课堂练习】7.已知向量，其中A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小； （2）求的取值范围.【解析】（1）由得由余弦定理得 ， ，. （2）， . ，.，即. 【考点四：解三角形的实际应用】1.

9、解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路，然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，2. 解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.【例8】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之间的距离.【解析】如图所示在ACD中，ACD=12

10、0，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=+-2cos75=3+2+-=5，AB=（km）.A、B之间的距离为 km. 【例9】如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=，A1A2=，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180-120=60，A1A2B

11、2是等边三角形，A1B2=A1A2=.由已知A1B1=20，B1A1B2=105-60=45，在A1B2B1中，由余弦定理，=+-A1B2cos45=200.B1B2=.因此，乙船的速度的大小为60=（海里/小时）.【课后练习】基础训练（A类）1.ABC中，a，b，sinB，则符合条件的三角形有 （）A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.已知中， 则 （ ）A. B. C. D. 3.某人朝正东方向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为 （ ）A. B. C.或D.34.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=，则角B的值为（

12、 ）A. B. C.或 D.或5. 在中，若，则一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形6.在中，若，则a= .7.已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=， A+C=2B，则sinC= .8.已知的周长为，且.（）求边的长； （）若的面积为，求角的度数.9.在中，角、所对应的边分别为、，且满足.（）求角的值；（）若，求的值.10.在中，分别为内角的对边，且.（）求； （）若，求.【参考答案】1.【答案】B【解析】asinB，asinBbb B.abC.ab D.a与b的大小关系不能确定3.在ABC中，D为边BC上一点，BDC

13、D，ADB120，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.4.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB，bsinA4. （1）求cosB和a；（2）若ABC的面积S10，求cos4C的值.5.已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b=a+c，且2cos2B8cosB50，求角B的大小，并判断ABC的形状.6.在中，分别为角的对边，且满足.（）求角的值；（）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.7.已知函数，（1）求函数的最小正周期； （2）记的内角A，B，C的对边长分别为，若，求的值.8. 已知的三内角，所对边的长分别为，设向量，.（1）求的值； （2

14、）求的值.9.已知向量，函数.（）求函数的最小正周期;（）已知、分别为内角、的对边， 其中为锐角，且，求和的面积.【参考答案】1.【答案】D【解析】设等腰三角形的底边为a，顶角为，则腰长为2a.由余弦定理得cos.2.【答案】A【解析】法一：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，即（）210，1，故ba.法二：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，b，由aab得b0， 则sinB，tanB，故a5.（2）由SacsinB，得c5，AC.故cos4C2cos22C12cos2（AC）12cos2B12（）21.5.【解析】法一：2cos2B8cos

15、B50，2（2cos2B1）8cosB50.4cos2B8cosB30，即（2cosB1）（2cosB3）0.解得cosB或cosB（舍去）.0B，B.ac2b.cosB，化简得a2c22ac0，解得ac.ABC是等边三角形.法二：2cos2B8cosB50，2（2cos2B1）8cosB50.4cos2B8cosB30.即（2cosB1）（2cosB3）0.解得cosB或cosB（舍去）.0B，B.ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB2sin.sinAsin（A），sinAsincosAcossinA.化简得sinAcosA，sin（A）1.0A，A.A，C.ABC是等边三角形.6.【解析】（）在中，由及余弦定理得而，则；（）由及正弦定理得，而，则于是，由得，当即时，7.【解析】（1） 所以函数的最小正周期为. （2）由得，即又因为，所以，所以，即. 因为，所以由正弦定理，得故 当当故的值为1或2. 8.【解析】（1）因为，所以，得故（2）由及，得，所以，故9.【解析】（）因为，所以.（），因为，所以，解得，则由，得，即，则，从而.研发老师：北京分公司责任编辑：总部产品部 课程审核：项目管理：总部产品部 王婷E-mail：xueke20