高二数学寒假课程第3讲-数列的综合应用.doc

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1、 寒假课程高二数学第三讲 数列的综合应用【知识梳理】1.等差数列通项公式与前项和公式（1）通项公式，为首项，为公差.（2）前项和公式或.2.等比数列通项公式与前项和公式（1）通项公式：，为首项，为公比 .（2）前项和公式：当时，；当时，.3.数列的前项和与通项的公式：； .【考点一：数列的求和方法】1. 定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求前n项和的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；2.分组求和：对一个由等差数列及等比数列对应项之和或之差组成的数列的前n项和，常用分组求和法.即若，其中是等差数列， 是等比数列，则用分组求和法.3.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，

2、即，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项形式.裂项求和常用裂项形式有：；若数列为等差数列，且公差为d，则 4.错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法.即若，其中是等差数列， 是等比数列，公比为q，则求其前n项和的方法如下：记，则，两式相减，即可得出结果.5.倒序相加法：【例1】求数列的前n项和【解析】设数列的通项为an，前n项和为Sn，则当时，当时，【课堂练习】1.求和【解析】，故当n为奇数时，；当n为偶数时，故【例2】求数列前n项和【解析】设数列的通项为bn，则.【课堂练习】2.求数列

3、前n项和.【解析】3.已知等差数列满足：，的前n项和为.（）求及； （）令bn=（nN*），求数列的前n项和.【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=.（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=.【例3】证明：.【解析】因，所以.【例4】求数列前n项和【解析】 两式相减： 【课堂练习】4.已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.（1） 求和的通项公式；（2） 设，求.【解析】（1）设的公比为，由，得所以设的公差为，由得，所以（2） -得：所以【考点二：数列的通项公式】1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的

4、题目；2.公式法：若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解；3.由递推式求数列通项法：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解；类型2 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解；类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解；类型4递推式：解法：把原递推公式转化为：，再换元令，则可以化归为类型一类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）解法：

5、先把原递推公式转化为，其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解.【例5】（1）在数列中，求通项公式.（2）在数列中，求通项.（3）数列满足，求.（4）已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式.【解析】（1）原递推式可化为：，则 ，逐项相加得：.故.（2）由条件等式得， 得.（3）设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列.，即通项（4）将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.【课堂练习】5.设数列是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3），则它的通项公式是=.【解析】原递推式可化为： =0 0，则 ，逐项相乘得：，即=.6.已知各

6、项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项. （）求数列的通项公式；（）若数列满足，且，求数列的前项和.【解析】（）设等差数列的公差为（），则解得 . （）由， 故. .【例6】数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，）.证明：（1）数列是等比数列；（2）【解析】（1）由 得，即所以，所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）得，即，则所以所以【课堂练习】7.在数列中，（）设，求数列的通项公式 （）求数列的前项和【解析】（）由已知有利用累差迭加，即可求出数列的通项公式: （）（）由（）知，=而，又是一个典型的错位相减法模型，易得 =.

7、【课后练习】基础训练（A类）1.已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=（ ）A. B.7 C.6 D. 2.设等比数列 的前n 项和为，若=3则 =（ ）A.2 B. C. D.33.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列.若=1，则=（ ）A.7 B.8 C.15 D.164.已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 （ ）A.或5 B.或5 C. D.5.设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，n等于（ ）A.6 B.7 C.8 D.96.已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 （ ）A.21 B.20 C.19 D.

8、 18 7.等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ） A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 8.已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则（ ）A.B. C. D【参考答案】1.【答案】A【解析】由等比数列的性质知，10，所以，所以2.【答案】B【解析】设公比为q ，则1q33 q32于是 3.【答案】 C【解析】4，2，成等差数列，选C.4.【答案】C【解析】显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 故前5项和.5.【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值.6.【答案】 B【解析】由+=105得即

9、，由=99得即 ，故，由得，选B7.【答案】B【解析】设公差为，则.0，解得2，10.8.【答案】C【解析】依题意，可得，即，则有，可得，解得或（舍），所以，故选C.提高训练（B类）1.数列的通项，其前项和为，则为（ ）A. B. C. D.2.已知数列满足则的最小值为_.3.已知数列满足：则_；=_.4.设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 5.已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_. 6.等差数列前n项和为.已知+-=0，=38，则m=_7.等比数列的公比， 已知=1，则的前4项和= .8.设，则数列的通项公式= . 【参考答案】1.【答案】A【解

10、析】由于以3 为周期，故故选A.2.【答案】【解析】，所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+，所以当n=5或6时有最小值.又因为，所以，的最小值为.3.【答案】1，0【解析】依题意，得，. 4.【答案】-9【解析】有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9.5.【答案】 4，5，32【解析】（1）若为偶数，则为偶， 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4.（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5.6.【答案】10【解析】由+-=0得.7.【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，.8.【答案】2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4，

11、公比为2的等比数列，则综合迁移（C类）1.在数列中，并且对任意都有成立，令.（）求数列的通项公式 ； （）求数列的前n项和.2. 已知数列中，.（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.3.已知数列中，且（1）求证：； （2）求数列的通项公式；（3）设，是数列的前项和，求的解析式；4.数列an中，a1=1，且an+1 =Sn（n1，nN*），数列bn是等差数列，其公差d0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列.（）求数列an、bn的通项公式；（）设数列cn满足cn=，求cn的前n项和Tn.【参考答案】1.【解析】（

12、1）当n=1时，当时，由得所以所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为（2）由，得.2.【解析】 （1） ， ，当时，当时，也满足上式， 数列的通项公式为.（2） 数列是单调递减数列，要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，实数的取值范围为3.【解析】（1），故，又因为则，即.所以， （2），= （3）因为=，所以当时， 当时，.（1）（1）得（2） = 综上所述: 4.【解析】（）由已知有，即， Sn是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列. Sn=.由 得 b3，b7+2，3b9成等比数列， （b7+2）2=b33b9，即 （1+6d+2）2=（1+2d）3（1+8d），解得 d=1或d=（舍）， . （）Tn=a1b1+a2b2+anbn=11+220+321+n，设T=220+321+n， 2T=221+322+n，相减得T=2+21+22+-n，即T=（n-1）， Tn=1+（n-1） （nN*） 16