第9章 动能定理.pdf

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1、 1 第第 9 章章 动能定理动能定理 9.1 主要内容主要内容 9.1.1 力的功 力的元功 9.1.1 力的功 力的元功：在一无限小位移中力所做的功称为力的元功。 rF dW 或 sFWdcos 直角坐标形式 zFyFxFW zyx ddd 力在有限路程上的功： 力在有限路程M1M2上的功为力在此路程上元功的定积分。 即 sM M dsFdW 0 12 cos 2 1 rF 或 21 ddd MM zyx zFyFxFW 常见力的功： 重力的功重力的功 21PPd 2 1 zzFzFW z z 弹性力的功弹性力的功 2 2 2 1 2 k W 定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的

2、功 d z MW 2 1 d 12 W 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功 dd CCR MWrF 2 1 2 1 dd C12 C C C R MWrF 9.1.2 质点系和刚体的动能 9.1.2 质点系和刚体的动能 质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能，即 2 2 2 1 iiv mT 动能是描述质点系运动强度的一个物理量。 （1）平动刚体的动能平动刚体的动能： 2 2 1 MvT （2）定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能： 2 2 1 z IT （3） 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 22 2 1 2 1 CC IMvT 9.1.3 质点系的动能定

3、理 9.1.3 质点系的动能定理 质点系动能定理建立了质点系动能的变化与作用于质点系上力的功之间的 关系。动能定理的微分形式为 F WTd 即在质点系无限小位移中质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功 之和。动能定理的积分形式为 F WTT 12 即在有限路程中质点系动能的改变量等于作用在质点系上所有的力在该路程上 的有限功之和。 9.1.4 功率 功率方程 9.1.4 功率 功率方程 单位时间内力所做的功 vF dt W P vF M dt W P 功率方程 无用有用入PPP T dt d 机械效率 %100 输入 有用 P P 9.1.5 势力场 势能 机械能守恒定律 9.1.5

4、势力场 势能 机械能守恒定律 3 质点在空间任意位置都受到一个大小、方向均为确定的力的作用，该空间称 为力场。 在势力场中质点从某一位置M移至选定的基点M0的过程中势力所做的功。 势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。 （1）重力场中的势能重力场中的势能 o z z zzFzFV)(d 0PP 若零势能点选在z0=0处，于是 zFV P 对于质点系或刚体 C zFV P 其中 P F是系统的重力，zC是质心的坐标。 （2）弹性力场中的势能弹性力场中的势能 )( 2 2 0 2 k V 如取弹簧的自然位置为基点 2 2 k V 机械能守恒定律 机械能守恒定律 质点或质点系在

5、某一位置的动能与势能之代数和称为机械能。 若质点系在运 动过程中只受有势力作用，则其机械能保持不变。称为机械能守恒定律。 2211 VTVT 9.2 基本要求基本要求 1 能理解并熟练计算动能、功、势能等基本物理量。 2 会正确应用动能定理的微分形式，解决主动力与加速度之间的关系，主要可 求出物体的加速度，以解决系统的动力学问题。 3 会正确应用动能定理的积分形式，解决系统的力与运动的问题，主要解决位 移、速度与力之间的关系。 9.3 重点讨论重点讨论 在动能定理中，力一般按主动力和约束力分类，在理想约束的情况下，约束 力的元功之和为零，具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定 质

6、点系在已知主动力作用下物体的运动规律。特别对于物系问题，可以整体为研 究对象，利用动能定理的微分形式求解物系中某一物体的加速度更为方便。动能 4 定理的积分形式也给出了质点系在运动过程中速度与位置之间的关系。 9.4 例题分析例题分析 例9-1 刚度系数为k的弹簧， 将上端A固定， 下端挂一重量FP的小球 （图9-13） 。 将小球托起，使弹簧具有原长，即小球在自然位置O，然后放手并给小球以向下 的初速度v0。求小球所能下降的最大距离。 解：以小球在自然位置O为始点，这时速度大小为v0；小 球下降到最低处B为终点时，这时速度v=0，而弹簧的伸长为 。小球运动时所受的力有重力FP和弹性力F。当小

7、球由O运 动到B时，重力FP所做的功等于FP；至于弹性力F所做的 功，在式（9-9）中令1=0，2=，即知为 2 2 k 。由质点动能 定理得 2 P 2 0 P 22 1 0 k Fv g F 即 02 2 0 P P 2 v g F Fk 解得 2 0 P 2 P 1 v g kF FF k P 例9-1图 令 st k F P 为FP的静力作用下弹簧的伸长，称为静伸长，于是 g v ststst 2 0 2 例92 图9-2所示系统中， 滚子A 、 滑轮B 均质， 重量和半径均为FP1 及r， 滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提 升重FP的物体，同时带动

8、滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用动能定理的微分形式 F WTd (a) 先写出系统在运动过程中任意位置的动能表达式 2 P 222 P1 2 1 2 1 2 1 2 1 pBOACC v g F IIv g F T (b) A轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以 r vC A 5 又 22 2 1 , 2 1 ,r g Q Ir g Q Ivv r v OCCP C B 代入式（b） ，得 2 P1P 2 2 C v g FF T (c) CC vv g FF Td 2 d P1P (d) 主动力FP1、FP的元功 sFFWFd)sin( PP1 (e) 因纯滚动，

9、 滑动摩擦力F不作功， 将式 （d） 及式（e）代入式（a） ，两边再除以dt， 且知 C v t s d d ，得 C C C vFF t v v g FF )sin( d d2 PP1 P1P g FF FF t v a C C P1P PP1 2 sin d d 解法二 此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再 对时间求一阶导数，得到加速度。 由该系统在任意位置的动能表达式（c）所示，设系统的初始动能为T0，它 是一个定值，设从初始至任意位置，圆轮质心C走过距离s，由式（922） ，得 任意位置的动能 sFFTv g FF C )sin( 2 2 PP10 2 P1P

10、（f） 这里vC和s均为变量，将式（f）两边对时间求一阶倒数，得 t s FF t v g FF v C C d d )sin(0 d d 2 2 2 PP1 P1P 同样得到 g FF FF aC P1P PP1 2 sin 例93 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和 AB都是均质杆，重量分别为FP和2FP，且OCACBCl，滑块A和B重量 均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设0时系统静止，求曲柄角速度和角加速 例9-2图 P F 1P F 1P F 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 6 度 (以转角 表示)。 (a)

11、(b) 例9-3 图 解：由图9-3a所示的几何条件，OCBC， ，因此OC = AB = ， 系统由静止开始运动，当转过角时，系统的动能为 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 IIv g Q v g Q T OBA 对AB如图9-3b所示，瞬心为，有运动关系为 sin2cos2l v l v BA 所示 g lFQ l g F l g F l g Q l g Q T 2 )34( )2( 2 3 1 2 1 3 1 2 1 )sin2( 2 1 )cos2( 2 1 22 P 22 P 22 P 22 系统中力做的功为 MW 由动能定理的积分形式为 WTT 12 其中 TTT 21 ,

12、 0，解得 2 P) 34( 2 lFQ gM 由动能定理的微分形式，得 t W t T d d d FP2FP I FP2FP 7 其中 d )34( d 2 P g lFQ T dMW 所以 MglFQ/)34( 2 P 解得 2 P) 34(lFQ Mg 例94图示系统中，物块A重FP，均质圆轮B重Q，半径为R，可沿水平面纯 滚动，弹簧刚度系数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动， 定滑轮D 的质量不计，绳不可伸长。试建立物块 A 的运动微分方程，并求其运 动规律。 例9-4图 解：为建立物块 A 的运动微分方程，宜对整个系统应用动能定理。以 A 的位 移为变量，当A从初

13、始位置下降任意距离y时，它的速度为vA，此系统的动能 222 P 2 1 2 1 2 1 BBBA Iv g Q v g F T （a） 为建立A的运动微分方程，需找出vB、B与vA的关系。有运动学知 R v vv A BAB 2 , 2 1 （b） 2 2 1 R g Q IB （c） FP 8 将式（b）和式（c）代入式（a） ，得 2 P 16 38 A v g QF T （d） 由题意，此系统的初动能 0 0 T 初始位置时，弹簧为原长，0 0 ，当A下降y时，弹簧伸长 2 y ，则外力做 功为 2 P 2 0 2 yk yFWF （e） 根据式（d）和式（e） ，由动能定理得 2 P

14、 2 P 8 0 16 38 y k yFv g QF A （f） 对时间求一阶导数，其中 t y vA d d ，得 0 4 38 2 d d P P 2 2 k F y QF kg t y （g） 此即物块A的运动微分方程。可以看出，对整个系统应用动能定理，以此来建立 系统中某物体的运动微分方程是很方便的。 如果用微分形式的动能定理求解此题，则要注意到 2 d 2 d P yy kyFWF yy k FWFd 4 P （h） 将式（d）和式（h）代入式（921） ，得 yy k Fv g QF A d 416 38 d P 2 P 此式两边被dt除，同样得到物块A的微分方程（g） 。 为便

15、于求解其运动规律，对式（g）作变量变换，令 Cyy 1 （i） 将式（i）代入式（g） ，得 0 4 38 2 d d P 1 P 2 1 2 k F Cy QF kg t y 为消去常数项，令 k F C P 4 ，得到以y1为变量的标准形式的微分方程 9 0 38 2 d d 1 P 2 1 2 y QF kg t y 设其解为 )sin( 01 tAy （j） 物块A的运动规律为 )sin( 0 tACy （k） )cos( d d 00 tA t y （l） 其中 QF kg 38 2 P 0 （m） 将初始条件：t = 0时，0, 0 d d y t y 代入式（k）和式（l） ，得

16、 2 ， k F A P 4 将式（m）和式（n）代入式（j） ，物块A的运动规律为 k F t QP kg k F y PP 4 2 38 2 sin 4 例9-5 图9-5所示矿井升降机的链带上挂有重FP1、FP2的两重物；绞车由电动 机带动。开始时，重物FP1以匀加速度a被提升，当速度达到vmax时，将保持匀 速不变。已知绞车的半径为r1，其对轴的转动惯量为I1；滑轮、的半径各 为r2 、r3，对轴的转动惯量各为I2、I3；链带的单位长度重量为q，全长为l。试 求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。 例9-5图 1P F 2P F 10 解：用功率方程求解，设链带速度为

17、v，系统总动能、有用功率、无用功率为 2 21 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 21 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v g qlFF r I r I r I v g qlFF r v I r v I r v IT PP PP P(有用)=( FP1FP2) v P(有用)=0 代入式功率方程，得 vFFPv g qlFF r I r I r I t PP PP 21 2 21 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 d d 入 （a） 注意到链带的重心位置不变，所以其重力的功率为零。 由式（a）得到变速运动阶段电动机的输出功率 vFFa g qlFF r I r I r I P PP PP 21 21 2 3 3 2 2 2 2 1 1 其中，v=at，t是从启动开始计算的时间。匀速运动阶段，电动机的输出功率 max21 vFFP PP 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）