第9 章 动能定理.pdf

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1、 9-1 动力学普遍定理引言动力学普遍定理引言 从本章开始的三章（9、10、11 章）介绍动力学普遍定理。用此三大定理可解决任何动 力学问题。 物理中已介绍过三大定理的有关概念和基本理论， 故不再全部详述。 但物理中主要针对 质点和转动刚体而言， 而众多的问题是具有任意运动的物体系的动力学问题， 特别是含平面 运动物体的物体系问题，故对这些问题给予详细讨论。 动力学问题： 运动 力 牛顿第二定律 运动 力 牛顿第二定律已给出： Fam 但只对质点 需建立新的理论（用新的概念）： 动能定理动能定理 动能 功 动量定理动量定理 动量 冲量（力） 动量矩定理动量矩定理 动量矩 冲量矩（力矩） 这些理

2、论不仅适用于质点，更适于质点系。 此三章研究方法： 牛顿第二定律质点的普遍定理质点系的普遍定理牛顿第二定律质点的普遍定理质点系的普遍定理 注意注意： 这种推导仅为方便和使理论系统化，力学史上并非如此顺序。事实上，三大定理是单 独发现的，且早于牛顿第二定律； 仅适于惯性参考系。 第第 9 章章 动能定理动能定理 提问提问：请同学讲述动能的大概含意和公式表达式。（可对质点或其他情况） 动能 2 动能 1 功 问题 动能 2 动能 1 功 问题：动能与功如何求？ 从不同方面表示质点 系运动强度的量 从不同方面表示力作用 强度的量 9-2 9.1 动能动能 动能动能：描述物体机械运动强度的量。 以下一

3、四提问。 一、 一、 质点：质点： 2 2 1 mvT 二、 二、 质点系：质点系： 2 2 1 iiv mT 三、 三、 平动刚体：平动刚体： 2 2 1 MvT 四、 四、 转动刚体：转动刚体： 2 2 1 z IT 五、 五、 柯尼希定理柯尼希定理 对任意质点系， 选动系为随质心平动的坐 标系，应用速度合成定理，易证： 22 2 1 2 1 riiC vmMvT 即 质系动能随动系（质心）平动动能相 对动系（质心）之相对动能 柯尼希定理柯尼希定理 问题：问题：对质点系任意一点 A，可写动能表 达式 22 2 1 2 1 riiA vmMvT吗？不能 六、 六、 平面运动刚体平面运动刚体

4、由上述定理，立即得： 22 2 1 2 1 CC IMvT 即 质系动能随质心平动动能相对质心之转动动能 可证： 2 2 1 C IT C为速度瞬心， 2 CCMII CC 问题问题： 对刚体任意一点 A， 可写 22 2 1 2 1 AA IMvT吗？ 一般不能（见手稿附页） 附附：可以证明，对平面运动刚体，除对质心和瞬心可写 柯尼希定理外，还可对以质心到瞬心的距离为直径的圆周上 任一点写此定理。证明如下：（此部分未见于任何书上） 方法方法 1：瞬心法 图 9-1-1 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 9-3 如图，质心为C，瞬心为C。对任一

5、点A， 222 22 2222 )( 2 1 )( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 ACMIACM IACM IACMIMv C A AAA 当 222 CCACAC时， 上式TICCMI CC 2 22 2 1 )( 2 1 所以当A点落在以CC为直径的圆周上时，有 22 2 1 2 1 AA IMvT 方法方法 2：基点法 任选一点A，其速度 A v 。质心速度为 C v 。以A为基点， C为动点，则 CAAC vvv 由前面对质心的柯尼希定理，有 CAAAA CCAAA CCAACAA CCAACAA CC vvMIMv IvvMACMMv IvvvvM IvvvvM IM

6、vT 22 222 222 2 22 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 )2( 2 1 2 1 )()( 2 1 2 1 2 1 当 CAA vv ，即 A v 沿AC方向时，0 CAA vv ，则 22 2 1 2 1 AA IMvT 此时，过A所作 vA垂线与过C所作 vC垂线的交电即刚体瞬心C。所以A点位于以CC为 直径的圆周上。 9.2 力的功力的功 功功：力（力偶）在位移上的累积效应。 9-4 一、 功的一般表达式一、 功的一般表达式（提问） 元功：sFsFtvFrFWddcosdd 力作用点从 1 M到 2 M，力的功： 2 1 d M M rFW 特别地，直角

7、坐标系下：zZyYxXWddd 2 1 )ddd( M M zZyYxXW 二、 几种常见力的功二、 几种常见力的功 以下14提问。 1. 常力的功：cosFsW 2. 重力的功：)( 21 zzPW 3. 弹性力的功：)( 2 1 2 2 2 1 kW，其中 21 、为拉压弹簧初、 末时变形。 4. 万有引力的功：) 11 ( 12 rr cMmW， 其中c为引力常数， 21 rr、 为二星体质心间初末时距离。 5. 摩擦力的功： 动滑动摩擦力：有功 静滑动摩擦力：有时有，有时没有。 6. 力偶与力矩的功： 力偶M： 2 1 d MW 力矩)(FmO ： 2 1 )d( FmW O 注：有时

8、求力的功可转化为求力对点之矩的功较方便（如虚位移原理）。 三、 力系的功三、 力系的功 i WW， i WW 四、 质系内力的功四、 质系内力的功 )(d ABFW A 当为刚体（或几何不变体系）时，内力的功为零。否则不为零，如系统中有弹簧时。 五、 约束力的功五、 约束力的功 可证，一般约束力的功为零：0 N W，理想约束理想约束。 大部分问题中，质系所有约束的约束力的功为零：0 N W，这为我们用动能定理 有势力 势力 保守力 9-5 带来了很大方便。 注：对柔性约束，可理解为“内约束”，即连接两物体的约束（质系内部）。 9.3 动能定理动能定理 一、 质点的动能定理一、 质点的动能定理

9、牛顿第二定律： Fam F t v m d d tFvmdd tvFvvmdd Wmv) 2 1 (d 2 微分形式 Wmvmv 2 1 2 2 2 1 2 1 积分形式（有限形式） 二、 质系的动能定理二、 质系的动能定理 将质系受力按主动力和约束力分，当为理想约束时，0 N W，则 F WTd 微分形式 F WTT 12 积分形式（有限形式） 问题问题：动能定理可求什么量？（主动力、位移、速度、加速度） 解题步骤解题步骤： （一）取研究对象（一般为整体，且不去约束，即不取分离体）； （二）画受力图（只画主动力，理想约束不做功）； （三）列解方程。 例例9-2 典型例题，详讲。 图示系统。

10、均质滚子A、 滑轮B重量和半径均为 Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为 a，重物重量P。求滚子质心C的加速度aC 。 分析： 考虑整体。 动能定理有两种形式： 积分式和微分 式。 积分式显含速度， 若求加速度， 需考虑从初始位 置到任意位置，列方程求导； 此四个例题均非常好。 与v 作点积 9-6 微分式显含速度微分，两边除以dt，即得加速度，但应考虑在任意位置列方程。 一般来讲，积分式容易理解，首先考虑用积分式求解。 解：设系统从初始到任意位置，重物上升s。画出所有主动力和相关运动量。如图。 设初始动能：T0 = 0 任意位置动能： 2222222 2 2 2 1 2 1 2 1 2

11、 1 2 1 2 1 CC ABP v g QP r g Q v g Q r g Q v g P TTTT 所有主动力做功：sPQWF)sin( 动能定理： F WTT 0 sPQv g QP C )sin(0 2 2 2 对t求导： t s PQ t v g QP v C C d d )sin(0 d d 2 2 2 CCC vPQa g QP v)sin( 2 2 2 g QP PQ aC 2 sin 例例9-3 需用到较多运动分析，稍难。 图示椭圆机构在铅直面内运动。OC、 AB为均质杆，OC = AC = BC = l，OC重P，AB重2P， AB受一常力偶M，在图示位置，q = 30

12、，系统由静止开始运动，求当A运动到O时A的 速度vA 。滑块质量不计，C为铰链 。 分析：分析：本题求速度，显然用动能定理的积分形 式，考虑从初时位置（ = 30）到末时位置（ = 90）。 解：解：设系统从初时到末时位置。画出所有主动 力和相关运动量，如图。 9-7 初时动能：T1 = 0 末时动能： 由OC、AB方位角相等，知 由B点运动规律知，B在最高点时速度为0，即AB铅直时B为瞬心。则 则系统在末时动能： 所有主动力做功： 由动能定理 得 例例（补充） 典型例题，亦用到较多运动分析，较难， 详讲。 均质细杆AB长l = 1.0m，重Q = 30N，上端靠在光滑铅 直面上，下端以铰链A

13、和均质圆柱中心相连，圆柱重P = 20N， 半径R = 0.4m， 沿水平面纯滚动。 （1） 当 = 45， 若系统由静止开始运动，求此时A点的加速度；（2） 在该位置，若A点以速度vA = 1.0m/s向左运动，求该 瞬时A点的加速度。 分析： 分析： 本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置）的加速度。能否在此 位置应用微分形式的动能定理？ 222 22 2 2 12 1 2 12 2 1 3 1 2 1 ABC OC ABOC l g P v g P l g P TTT ABOC lvlv AC 2, 2222222 2 8 32 12 1 2 1 )( 2 2 1 3 1

14、2 1 l g P l g P l g P l g P T PlM PlP l MWF 4 5 3 )30sin1 (2)30sin1 ( 23 F WTT 12 PlMl g P 4 5 3 0 8 3 22 g P PlM l 308 6 1 g P PlM lvA 308 3 1 2 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 9-8 )sin 2 2 ( 2 0 4 3 sin6 1 2 2 Ql v g P g Q A 事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（ ）的加速度， 再求初瞬时加速度（将 = 45代入）。 书上使用微分

15、形式动能定理，这里应用积分式求解。 解：解：(1) 设系统从初始 = 45到任意位置 。画出所 有主动力和相关运动量，如图。 初始动能：T0 = 0 任意位置动能：（H为杆瞬心，D为滚子瞬心） 而 对杆： 代入(a)式得： 主动力只有Q做功： 动能定理： 对t求导，并注意 得 将 = 45和vA = 0代入上式，得 (2) 将 = 45和vA = 1 m/s代入(c)式，得 2 2 2 3 1 212 1 l g Ql g Q l g Q IH 22 2 1 2 1 ADABHAAB IITTT(a) 222 2 3 2 1 R g P R g P R g P ID sinl v AH v A

16、A AB 对滚子： R vA A 2 2 4 3 sin6 1 A v g P g Q T )sin 2 2 ( 2 )sin 2 45sin 2 ( Qlll QWF(b) F WTT 0 sinl vA AB (c) sin cos 2sin cos 3 1 2 3 sin3 1 2 42 Q v gl Q a g P g Q AA 2 m/s94.2 10 3 g aA 2 s/m605.2 49 )243( g QP Q aA 9-9 例例9-4 用动能定理建振动方程。 图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q， 半径为R，沿水平面纯滚动，弹簧常数为k， 初位置y = 0时，弹簧为原长，

17、系统由静止开 始运动，滑轮D质量不计，绳不可伸长。试 建立物块A的运动微分方程，并求其运动规 律。 分析： 分析： 建立物块 A 的运动微分方程，即写关于 y 的微分方程，即求物块 A 的加速度。两种形式 的动能定理应该均可用。但此题需求弹簧力做功。 解：解：（积分式）设系统从初始到任意位置。 建立坐标系，并画出所有主动力和相关运 动量，如图 初始动能：T0 = 0 任意位置动能： 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 BBABA R g Q v g Q v g P TTT 由运动关系： R v R v vv AB BAB 2 , 2 1 则： 2 2 222 8 3 2 1 4 1 2

18、1 2 1 4 1 2 1 2 1 A A AA v Q P gR v R g Q v g Q v g P T 主动力做功：（注意yB = y) 22 8 1 )0( 2 1 kyPyykPyW BF 动能定理： 22 8 1 0 8 3 2 1 kyPyv Q P g A y k P QP kg y 4 38 2 通常再写成标准形式：0 4 38 2 k P y QP kg y y a F WTT 0 9-10 并作坐标变换： k P yx 4 0 38 2 x QP kg x 即标准的无阻尼振动微分方程。x为从静平衡位置开始的坐标，固有频率： QP kg 38 2 0 方程(1)的通解为简

19、谐运动： A为振幅；为初相位角。二者与初始条件有关。(0t +)为相位角。 以y坐标表示的运动规律： k P tA k P xy 4 )sin( 4 0 另解：另解：（微分式）系统在任意位置。建立坐 标系，并画出所有主动力和相关运动量，如 图。 2 2222 8 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A BBA BA v Q P g R g Q v g Q v g P TTT 任意位置动能： 主动力的元功：（注意dyB = dy) 微分形式动能定理： F WTd (1) ykyPvv Q P g AA d 4 1 d2 8 31 两边除以dt，注意yvA ，得 y k P QP kg y

20、 4 38 2 作坐标变换： k P yx 4 0 38 2 x QP kg x (2) )sin( 0 tAx AA vv Q P g Td2 8 31 d ykyPykyyPW BBF d 4 1 dd 9-11 通解：)sin( 0 tAx 式中， QP kg 38 2 0 以y坐标表示的运动规律： k P tA k P xy 4 )sin( 4 0 作业作业：9-13、18、21、22 9.4 功率功率 功率方程功率方程 功率方程实际是动能定理 （微分形式） 用功率表示的另一形式。 主要用于计算机械效率， 一般不直接用于求解普通动力学问题。 一、 一、 功率功率 t W N d ， M

21、vFvFN 二、 二、 功率方程功率方程 动能定理： 无用有用入 WWWdT 除以dt，得 无用有用入 NNN t T d d 9.5 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 物理中讲述较多，故略讲。 一、 一、 势力场势力场 二、 二、 势能势能 势能函数势能函数 三、机械能守恒定律机械能守恒定律动能定理的特殊形式 例例 9-2 （典型例题）用机械能守恒定律重新求解例9-2。（自己练习） 图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均 为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾 角为，重物重量P。求滚子质心C的加速度 aC。有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺 ）