初一数学绝对值难题解析(5页).doc

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1、-初一数学绝对值难题解析-第 5 页初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|a（当a0） , |a|a （当a0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|0；（2）|ab|a|b|；（3）|a/b|a|/|b|(b0)（4）|a|b| |ab|a|b|；（5）|a|b| |ab|a|b|；思考：|ab|a|b|，在什么

2、条件下成立？|ab|a|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|ab|cb|解：a0，b0 ab0c0，b0 cb0故，原式（ba）(bc) ca（2）|ac|ac|解：a0，c0 ac要分类讨论，ac0 当ac0时，ac，原式（ac）(ac)2a当ac0时，

3、ac，原式（ca）(ac)2c2、设x1，化简2|2|x2| 。解：x1 x20原式2|2（2x）|2|x|2x3、设3a4，化简|a3|a6| 。解：3a4 a30，a60原式（a3）(a6) 34、已知|ab|ab，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当ab0时，ab，|ab|ab，由已知|ab|ab，得abab，解得b0，这时a0；当ab0时，ab，|ab|ba，由已知|ab|ab，得baab，解得a0，这时b0；综上所述，（1）是正确的。第二类：考察对绝对值基本性质的运用5、已知2011|x1|2012|y1|0，求xy2012的值？解：|x1|0，

4、|y1|02011|x1|2012|y1|0又已知2011|x1|2012|y1|0，|x1|0, |y1|0x1，y1，原式11201220126、设a、b同时满足：(1)|a2b|b1|b1(2) |a4|0那么ab等于多少？解：|a2b|0，|b1|0|a2b|b1|b10 （1）式|a2b|b1b1 ，得|a2b|0，即a2b |a4|0 a40，a4 a2b b2 ，ab4287、设a、b、c为非零有理数，且|a|a0，|ab|ab，|c|c0,请化简：|b|ab|cb|ac| 。解：|a|a0，a0 a0|ab|ab0 ，b0，a0b0，ab0|c|c0，c0 c0 ，cb0，ac

5、0原式b（ab）（cb）cab8、满足|ab|ab1的非负整数（a，b）共有几对？解：a，b都是非负整数 |ab|也是非负整数，ab也是非负整数要满足|ab|ab1，必须|ab|1，ab0 或者|ab|0，ab1分类讨论：当|ab|1，ab0时，a0，b1 或者 a1，b0 有两对（a，b）的取值；当|ab|0，ab1时，a1，b1有一对（a，b）的取值；综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。9、已知a、b、c、d是有理数，|ab|9，|cd|16，且|abcd|25，求|ba|dc|的值？分析：此题咋一看无从下手，但是如果把ab和cd分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|xy|x|

6、y|即可快速解出。解：设xab，ycd，则|abcd|x-y|x|y|x|9，|y|16 |x|y|25 ,|x-y|x|y|25已知|x-y|25|x|9，|y|16|ba|dc|x|y|x|y|9167第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。根据以上材料解决下列问题：（1）化简：2|x2|x4|（2）求|x1|4|x1|的最大值。解：（1）令x20，x40，分别求得零点值：x2，x-4，分区段讨论：当x-4时，原式2（x2）（x4）x8当-4x2时，原式2（x2）（x4）3x当x2时，原式2（x2）

7、（x4）x8综上讨论，原式（略)（2） 使用“零点分段法”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。令x10，x10，分别求得零点值：x1，x-1，分区段讨论：当x-1时，原式（x1）4（x1）3x5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；当-1x1时，原式（x1）4（x1）5x3，此时无最大值；当x1时，原式（x1）4（x1）3x3，此时无最大值。综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。11、若2x|45x|13x|4的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变

8、成正号，以便于区段内判断正负关系。即原式2x|5x4|3x1|4令5x40，3x10，分别求得零点值：x4/5 , x1/3，分区段讨论：当x1/3时，原式2x（5x4）（3x1）46x9，此时不是恒值；当1/3x4/5时，原式2x（5x4）（3x1）47，此时恒为常数7；当x4/5时，原式2x（5x4）（3x1）410x1，此时也不是恒值。综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。12、若|a|a1，|x|2ax，且|x1|x5|2|xm|的最小值是7，则m等于多少？解：当a0时，|a|aa1,得到01矛盾a0，|a|aa1，解得a1/2。|x|2axx，即x的绝对值等于它的相反数 x0令

9、x10，x50，xm0，分别求得零点值：x1，x5，xmx0 要对m进行分类讨论，以确定分段区间：（1） 若m0，则x取值范围分成x1和1x0当x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1时取到最小值82m当1x0，原式（x1）（x5）2（xm）2x62m， x0时取到最小值62m所以当m0时，最小值是62m，令62m7，得m，符合题意（2） 若1m0，则x取值范围分成x1和1xm和mx0当x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1时取到最小值82m, 因为1m0，所以最小值6当1xm，原式（x1）（x5）2（xm）2x62m， xm时取到最小值6所以当1m0时，最小值是

10、6，和题意不符。（3） 若m1，则x取值范围分成xm和mx1和1x0当xm，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， xm时取到最小值42m当mx1，原式（x1）（x5）2（xm）42m，这时为恒值42m当1x0，原式（x1）（x5）2（xm）2x2m6，无最小值所以当m1时，最小值是42m，令42m 7，得m，符合题意综上所述，m或1.5 。第四类：运用绝对值的几何意义解题1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离，即|x|=|x0|x1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离，|x2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示2的点的距离，|ab|的几何意义是在数

11、轴上表示 a的点到表示b的点的距离。2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆，就是奇中偶范。即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。