自考高等数学一复习指导.docx

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1、自考“高等数学一复习指导本大纲适用于工学理学生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外专业的考生。总要求考生应按本大纲的要求，理解或理解“高等数学中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数及空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的根本概念及根本理论；学会、驾驭或娴熟驾驭上述各部分的根本方法。应留意各部分学问的构造及学问的内在联络；应具有肯定的抽象思维实力、逻辑推理实力、运算实力、空间想象实力；能运用根本概念、根本理论和根本方法正确地推理证明，精确地计算；能综合运用所学学问分析并解决简洁的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“

2、理解和“理解两个层次；对方法和运算分为“会、“驾驭和“娴熟驾驭三个层次。复习考试内容一、函数、极限和连续一函数1.学问范围1函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数2函数的性质单调性 奇偶性 有界性 周期性3反函数反函数的定义 反函数的图像4根本初等函数幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数5函数的四那么运算及复合运算6初等函数2.要求1理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简洁的分段函数的图像。2理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。3理解函数 及其反函数 之间的关系定义域、值域、图像，会求单调函数的反函数。4娴熟驾驭

3、函数的四那么运算及复合运算。5驾驭根本初等函数的性质及其图像。6理解初等函数的概念。7会建立简洁实际问题的函数关系式。二极限1.学问范围1数列极限的概念数列 数列极限的定义2数列极限的性质唯一性 有界性 四那么运算法那么 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理3函数极限的概念函数在一点处极限的定义 左、右极限及其及极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义4函数极限的性质唯一性 四那么运算法那么 夹通定理5无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量的定义 无穷小量及无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶6两个重要极限2.要求1理解极限的概念对极限定义中“ 、“ 、“ 等形式的描绘不作要

4、求。会求函数在一点处的左极限及右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2理解极限的有关性质，驾驭极限的四那么运算法那么。3理解无穷小量、无穷大量的概念，驾驭无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进展无穷小量阶的比较高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法。三连续1.学问范围1函数连续的概念函数在一点处连续的定义 左连续及右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的连续点及其分类2函数在一点处连续的性质连续函数的四那么运算 复合函数的连续性 反函数的连续性3闭区间上连续函数的性质有界性定理 最大值及最小值定理 介值定理包括零点定理

5、4初等函数的连续性2.要求1理解函数在一点处连续及连续的概念，理解函数在一点处连续及极限存在的关系，驾驭推断函数含分段函数在一点处的连续性的方法。2会求函数的连续点及确定其类型。3驾驭在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简洁命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。一、单项选择题1 以下集合中为空集的A B 0 C 0Dx x2+1=0，x R 答案选D 解析因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集2 设A=x x2-x-60 ，B=x x-1 1 ，

6、那么A B=A x x 3 B x x 0 得x 3 或 x3 或x -2；由x-1 1 得x 2 ，故B=x x 2 ，所以A B=x x 0|x-5| 1 ，得x 5 或x 0 且x 2 ，得x 2 或x 0 ，那么f x = A x+x2+1 xB 1+x2+1 xC x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1答案选B 解析令1 x=t ，那么f t =1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f x =1+x2+1 x另解因为f 1 x =x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，故f x =1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2=1 x+1 xx2

7、+1=1+x2+1 x13设函数f x =1， |x|1-1， |x|1 ，那么f1 fx = A 1B-1C f x D 1 f x 答案选A 解析因|fx |=1 ，1 f x =1，故f1 fx =114设f x =|x| x，g x =x2 ，那么f g x = A 1B1C 1 xD|x| x2答案选B 解析f g x =fx2=|x2| x2=x2 x2=115设f x = 2x 21x 2，那么f f x = A 2B1Cf x D f x 2答案选A 解析由假设f f x = 2f x 21 f x 2，对随意x ，f x 2 ，故有f f x =2.16设f 1-2x=1-

8、2 x，那么f x = A 1+4 1-xB 1-4 1-xC 1-2 1-2xD1+2 1-2x答案选B 解析令1-2x=t，x=1-t 2，由f 1-2x=1- 2 x得f t =1- 21-t2=1- 41-t ，故f x =1- 4 1-x17设f sinx2=1+cosx ，那么f cosx2= A 1-cosxB -cosxC 1+cosxD 1-sinx答案选A 解析f sinx2=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以f x =2-2x2.从而f cosx2=2-2cos 2x 22-1+cosx=1-cosx.18设f x+2 =x2-2x+3，那么f f 2

9、 = A 3 B 0C 1 D 2答案选D 解析因f 2 =f0+2 =02-2 0+3=3 ，故f f 2 =f3 =f1+2 =12-2 1+3=2 另解因为f x+2 =x2-2x+3= x+2 -22-2 x+2 -2+3，故f x = x-2 2-2 x-2 +3=x2-6x+11 ，f 2 =3从而f f 2 =f3 =32-6 3+11=219设g x =lnx+1，f g x =x，那么f 1 = A 1 B eC -1 D-e答案选A 解析由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f 1 = f g 1 =120以下各组函数中，表示一样函数的是A y=lnx2及y=2l

10、nxB y=x 及y=x2C y=1 及y=sin2x+cos2xD y=x 及y=cos arccosx 答案选C 解析A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规那么不同，D 中两函数的定义域及对应规那么都不同只有C 中两函数的定义域及对应规那么完全一样21函数y=log4x+log42 的反函数是A y=42x-1By=4x-1C y=2x-1D y=4x-1答案选A 解析由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.22设12A y=110x ，0B y=- 110x ，0C y=110x ，lg34，0D y=-

11、 110x ，lg34，0答案选D 27将函数f x =2-|x-2|表示为分段函数时，f x = A 4-x ， x0x ， x0B4-x ， x2x ， x2C 4-x ， x01-x x 0D4-x ， x24+x x 2答案选B 解析由条件f x =2- x-2 ，x 22-2-x ，x 2 ，即f x =4-x，x 2x ，x 02x+1， x0By=2x+cosxC y=xDy=sinx答案选C 解析比照根本初等函数的定义可知y=x 是根本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是根本初等函数29函数y=sinx-sin|x| 的值域是A

12、 0 B -1，1 C 0 ，1 D -2，2 答案选D 解析因为当x 0 时，y=sinx-sinx=0 ，当x 0 时，y=sinx-sin-x=sinx+sinx=2sinx，这时-22sinx 2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为-2，2 30函数y=x2 -2 x 0x2-4 0A y=x 0 x 4x+4 0B y=x 0 x 4x+4 -4C y=x 0 x 4x+4 -4x 0D y=x 0 x 4- 4+x -4 x 0 ，a 1 是A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数答案选A 解析因该函数定义域为- ，+ ，它关于原点对称，且f -x=lo

13、ga-x+1+-x2=loga1+x2-x=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2=-log3x+1+x2=-f x 故f x =logax+1+x2 为奇函数33设函数f x =xex-1 ex+1 ，那么该函数是A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 单调函数答案选B 解析因为f x 的定义域是- ，且f -x=-x e-x-1 e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=xex-1 ex+1=f x 。所以f x 为偶函数。34设函数f x 在- ，+ 内有定义且为奇函数，假设当x ，0时，fx =xx-1 ，那么当x 0，时，f x = A -xx+1 B

14、x x-1 C x -x+1D x x+1 答案选A 解析因为f x 为奇函数，故当x 0 时，f x =-f -x=-x-x-1=-x x+1 。35设函数f x 、g x 在，上有定义，假设f x 为奇函数，g x 为偶函数，那么g f x 为A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 有界函数答案选B 解析因为g f -x=g-fx =gf x ，故g f x 为偶函数。36函数f x =x1+cos2x 的图形对称于A ox轴B 直线y=xC 坐标原点D oy轴答案选C 解析因f x 的定义域为- ，+ ，它关于原点对称，又f -x=-x 1+cos2-x=-x 1+cos2x =-f x

15、 ，故f x =x1+cos2x 是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称37函数y=|sinx|的周期是A B 2 C2D 4答案选A 解析因为|sinx+|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期最小正周期为38以下函数中为周期函数的是A y=sinx2By=arcsin2xC y=x sinxD y=tan 3x-2答案选D 解析因为tan 3 x+32=tan3x+ -2=tan3x-2+ =tan3x-2，所以y=tan 3x-2是以3为周期的周期函数。39设f x 是以3 为周期的奇函数，且f -1=-1 ，那么f 7 = A 1B-1C 2D-2答案选A 解析因为f

16、7 =f1+2.3 =f1 =-f -1=1.40偶函数f x 在0，4上是单调增函数，那么f - 和f log 128的大小关系是A f - C f - f log 128D 不能确定答案选C 解析因为f x 为偶函数且在0，4上是单调增函数，故f x 在4，0上是单调减函数又log 128=log12123=-3 ，所以f - f log 128。41在R 上，以下函数中为有界函数的是y=A exB 1+sinxC lnxDtanx答案选B 解析由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对随意x R ，有

17、|1+sinx|1+|sinx|2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数根底训练题单项选择题1 设A=x|-3 x 3，B=x|0x 5，那么A A BBA BC A B BDA B B 2 以下集合为空集的是A x|x+5=5Bx|xR 且x2+10=0C x|x3 且x 3D x|x+5|03 假设集合M=0，1 ，2，那么以下写法中正确的选项是A 1 MB1 MC 1 MD1 M 4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是A -3x 1B x 1C -3，1 D x|x-1 2C x -1 2且x 1Dx -1 2且x 1 6 假设0 a 1 2 及函数y=f x 的定

18、义域是0 ，1 ，那么f x+a +fx-a 的定义域是A -a，1-a B -a，1+a C a ，1-a D a ，1+a 7 设函数f x+a 的定义域为0 ，a ，那么f x 的定义域为A a ，2aB -a，0 C -2a ，-aD 0 ，a 8 函数f x =xx 1sinx 1x 4 ，那么f x2的定义域为A 4，4B 1，1C 1，4D 2，29 设g x =sinx ，那么g-sin 2=A -1B 1C sin1D -sin1 10设f x 是定义在实数域上的一个函数，且f x-1 =x2+x+1 ，那么f1 x-1=A 1 x-1 2+3 x-1+3B1 x-1 2+1

19、 x-1+1C 1 x2+x+1D 1 x2+1 x+111设f1 x=x x-1，那么f 2x=A 2 1-xB1 1-2xC 2 x-1 2xD2 x-1 x12设f x-2 =x2+1 ，那么f x+1 =A x2+2x+2Bx2-2x+2C x2+6x+10D x2-6x+1013函数y=4-x2的值域是A 0 ，1 B 0 ，1 C 0 ，+ D - ，+ 14以下函数中及y=x 为同一函数的是y=A x2B lnexC elnxD x 2 15函数y=sin1 x是其定义域内的A 周期函数B 单调函数C 有界函数D 无界函数16以下函数中在0 ，+ 内为单调削减的是A y=logx

20、a ，0C y=arctanxDy=lnx 17以下函数中为奇函数的是A y=ex-1 ex+1By=x2+sinxC y=cos3xDy=lnx2+x4 18函数y=1-x 1+x 的反函数是A y=x-1 x+1By=1+x 1-xC y=1-x 1+xDy=-x 1+x二、一元函数微分学一导数及微分1.学问范围1导数概念导数的定义 左导数及右导数 函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义及物理意义 可导及连续的关系2求导法那么及导数的根本公式导数的四那么运算 反函数的导数 导数的根本公式3求导方法复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数

21、的导数4高阶导数高阶导数的定义 高阶导数的计算5微分微分的定义 微分及导数的关系 微分法那么 一阶微分形式不变性2.要求1理解导数的概念及其几何意义，理解可导性及连续性的关系，驾驭用定义求函数在一点处的导数的方法。2会求曲线上一点处的切线方程及法线方程。3娴熟驾驭导数的根本公式、四那么运算法那么及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。4驾驭隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。5理解高阶导数的概念，会求简洁函数的 阶导数。6理解函数的微分概念，驾驭微分法那么，理解可微及可导的关系，会求函数的一阶微分。二微分中值定理及导数的应用1.学问范围1微分中值定

22、理罗尔Rolle定理 拉格朗日Lagrange中值定理2洛必达LHospital法那么3函数增减性的断定法4函数的极值及极值点 最大值及最小值5曲线的凹凸性、拐点6曲线的程度渐近线及铅直渐近线2.要求1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简洁的不等式。2娴熟驾驭用洛必达法那么求各种型未定式的极限的方法。3驾驭利用导数断定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简洁的不等式。4理解函数极值的概念。驾驭求函数的极值、最大值及最小值的方法，会解简洁的应用问题。5会推断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。6会求曲线

23、的程度渐近线及铅直渐近线。7会作出简洁函数的图形。三、一元函数积分学一不定积分1.学问范围1不定积分原函数及不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质2根本积分公式3换元积分法第一换元法凑微分法 第二换元法4分部积分法5一些简洁有理函数的积分 2.要求1理解原函数及不定积分的概念及其关系，驾驭不定积分的性质，理解原函数存在定理。2娴熟驾驭不定积分的根本公式。3娴熟驾驭不定积分第一换元法，驾驭第二换元法限于三角代换及简洁的根式代换。4娴熟驾驭不定积分的分部积分法。5会求简洁有理函数的不定积分。二定积分1.学问范围1定积分的概念定积分的定义及其几何意义 可积条件2定积分的性质3定积分的计算变上

24、限积分 牛顿莱布尼茨Newton-Leibniz公式 换元积分法 分部积分法4无穷区间的广义积分5定积分的应用平面图形的面积 旋转体体积 物体沿直线运动时变力所作的功2.要求1理解定积分的概念及其几何意义，理解函数可积的条件。2驾驭定积分的根本性质。3理解变上限积分是变上限的函数，驾驭对变上限定积分求导数的方法。4娴熟驾驭牛顿莱布尼茨公式。5驾驭定积分的换元积分法及分部积分法。6理解无穷区间的广义积分的概念，驾驭其计算方法。7驾驭直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。四、向量代数及空间解析几何一向量代数1.学问范

25、围1向量的概念向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦2向量的线性运算向量的加法 向量的减法 向量的数乘3向量的数量积二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件4二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件2.要求1理解向量的概念，驾驭向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。2娴熟驾驭向量的线性运算、向量的数量积及向量积的计算方法。3娴熟驾驭二向量平行、垂直的充分必要条件。二平面及直线1.学问范围1常见的平面方程点法式方程 一般式方程2两平面的位置关系平行、垂直和斜交3点到平面的间隔 4空间直线方程标准式方程又称对称式方程或点向式方程一般式方程 参数式方程5两直线的位置关系平行、垂直6直线及平面的位置关系平行、垂直和直线在平面上2.要求1会求平面的点法式方程、一般式方程。会断定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。2会求点到平面的间隔 。3理解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会断定两直线平行、垂直。4会断定直线及平面间的关系垂直、平行、直线在平面上。三简洁的二次曲面1.学问范围球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面2.要求理解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。