【福建】高考数学复习方略：第5章《数列》第4节《数列求和》.ppt

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1、第四节 数列求和,1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式: . 等比数列的前n项和公式:,(2)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.,【即时应用】 (1) (2)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1，则数列an的前n项 和Sn=_. 【解析】(1) (1+2+3+10)+ (2)Sn=(2+22+23+2n)+1+3+5+(2n-1) 答案:(1) (2)2n+1+n2-2,2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an

2、的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.,(2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn=1002-992+982-972+22-12 =(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象关于点( ,1)对称，则f(-5)+f(-4) +f(0)+f(5)+f(6)=_. (2)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S33+S50等于_

3、. 【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2, 设S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6), 则S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5), 2S=122,S=12.,(2)由题意知 S17=9,S33=17,S50=-25,S17+S33+S50=1. 答案:(1)12 (2)1,3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.,【即时应用】 (1)数列 的前n项和为_. (2)已知数列an的通项公式是 ,若Sn=10,则 n=_.,【解析】(1),由Sn=10，即 -1=10得n=120. 答案:(1) (2)

4、120,4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.,【即时应用】 (1)已知数列an的前n项和为Sn，且an=n2n,则Sn=_. (2)已知 ，则Sn=_. 【解析】(1)Sn=12+222+323+n2n, 2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, -Sn=2+22+23+2n-n2n+1 = -n2n+1=2n+1-n2n+1-2, Sn=(n-1)2n+1+2.,答案:(1)(n-1)2n+1+2 (2),热点考向 1 分组转化求和 【方法点睛】 1.分组转

5、化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和,2.常见类型及方法 (1)an=kn+b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an=aqn-1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an=bncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用 分组求和法求an的前n项和,【例1】(1)已知数列: , 则其前n项和Sn=_. (2)已知 求数列an的前10项和S10； 求数列an的前2k项和S2k.,【解题指南】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组 求和. (2)把奇数项和偶数项分开求和.,【规范

6、解答】(1) 答案:,(2)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25) 由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差 为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列. S2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k) =5k2+k+2k+1-2.,【互动探究】若本例(1)中数列改为:3,33,333,试求其前n项 和Sn. 【解析】数列3,33,333,的通项公式an= (10n-1),【反思感悟】解答本例(2)时应注意，其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式，可写出前n项寻找规律或将n=2k

7、-1,n=2k代入求解.,【变式备选】求和: 【解析】(1)当x=1时，Sn=4n.,(2)当x1时，,热点考向 2 裂项相消法求和 【方法点睛】 1.应用裂项相消法应注意的问题 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时,消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.,2.常见的拆项公式,【例2】解答下列各题: (1)(2013福州模拟)已知数列an的前n项和Sn= 求数列an的通项公式. 令bn= 求数列bn的前2 011项和T2 011. (2)已知数列4n-2n(nN*)的前n项和为Sn，bn= 求数列bn 的前n

8、项和Tn.,【解题指南】(1)求出数列an的通项公式，裂项求和. (2)求出Sn并对Sn进行分解，裂项bn即可. 【规范解答】(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n2时，an=Sn-Sn-1= = 经检验n=1时，a1=S1=1也满足上式， 所以an=n(nN*)., T2 011= (2)根据等比数列求和公式得 Sn= = = 所以bn= =,所以Tn= = =,【变式训练】已知数列an中各项均为正数，Sn是数列an的 前n项和，且Sn= (an2+an). (1)求数列an的通项公式； (2)对nN*，试比较 与a2的大小.,【解析】(1)Sn= (an2+an), 当n=1时，S1=a

9、1= (a12+a1), 又an中各项均为正数解得a1=1, 当n2时， 2an=(an2+an)-(an-12+an-1), 即an2+an-an-12-an-1-2an=0, 即an2-an-12-an-1-an=0,(an-an-1)(an+an-1)-(an-1+an)=0, (an-an-1-1)(an+an-1)=0, an中各项均为正数，an-an-1-1=0, 即an-an-1=1(n2),an=n(n2), 又n=1时，a1=1,数列an的通项公式是an=n(nN*).,(2)对nN*，Sn是数列an的前n项和，,热点考向 3 错位相减法求和 【方法点睛】 应用错位相减法应注

10、意的问题 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,【提醒】在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,【例3】数列an的前n项和为Sn,a1=1，an+1=2Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式an； (2)求数列nan的前n项和Tn. 【解题指南】(1)根据an与Sn的关系求an. (2)用错位相减法求Tn.

11、,【规范解答】(1)由an+1=2Sn得an=2Sn-1(n2), an+1-an=2an, 即an+1=3an(n2). 数列an从第2项起是公比为3的等比数列. 又a2=2S1=2,(2)Tn=a1+2a2+3a3+nan. 当n=1时,T1=1； 当n2时,Tn=1+430+631+2n3n-2, 3Tn=3+431+632+2n3n-1, -得:-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1 又T1=a1=1也满足上式,【反思感悟】解答本题(1)时，易把an错写成an= 解答本题(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视 了讨论n=1的情形.,【变式训练】已知等差

12、数列an满足a2=0,a6+a8=-10 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列 的前n项和. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d, 解得 故数列an的通项公式为an=2-n.,(2)设数列 的前n项和为Sn，即 故S1=1, ，所以,当n1时， 所以 .又S1=a1=1也满足上式, Sn= (nN*).,【变式备选】已知单调递增的等比数列an满足:a2+a3+a4=28， 且a3+2是a2,a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式； (2)若 ,Sn=b1+b2+bn，求使Sn+n2n+150成立的 正整数n的最小值.,【解析】(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q, 依题意

13、，有2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28,得a3=8， a2+a4=20. ，解得 又数列an单调递增,q=2,a1=2, an=2n.,(2) -Sn=12+222+323+n2n -2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1 -得Sn=2+22+23+2n-n2n+1 = -n2n+1=2n+1-2-n2n+1, 又Sn+n2n+150,即2n+1-250,2n+152, 又当n4时，2n+125=3252, 当n5时，2n+126=6452, 故使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值为5.,1.(2012大纲版全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，

14、a5=5，S5=15，则数列 的前100项和为( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选A.设an的公差为d，则有 解得a1=1,d=1，则an=n， 设数列 的前100项和为T100， T100= =,2.(2013福州模拟)已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2= 则该数列的前20项的和为_. 【解析】当n为奇数时，an+2=an+1，故奇数项是首项为1，公 差为1的等差数列，其前10项之和等于 当n为偶数时，an+2=2an，故偶数项是首项为2，公比为2的等 比数列，其前10项之和为 所以，数列an的前20项之和为55+2 046=2 101 答案：2 101,3.(2012山东高考)在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73. (1)求数列an的通项公式； (2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.,【解析】(1)由a3+a4+a5=84,a9=73 得3a4=84,a4=28， 所以 an=a4+(n-4)d=28+(n-4)9=9n-8. an=9n-8.,(2)对任意mN*，数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数为 bm，则9man92m，即9m9n-892m，所以 bm= 于是Sm=b1+b2+bm= 91+93+92m-1-(90+91+9m-1)= = = 即Sm=,