[高二数学]分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

《[高二数学]分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[高二数学]分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt（50页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、用一个大写的的英文字母用一个大写的的英文字母或或一个阿拉一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？够编出多少种不同的号码？26+1026+103636 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有还可以乘轮船。一天中，火车有4 4 班班, , 汽车有汽车有2 2班，班，轮船有轮船有3 3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法乙地共有多少种不同的走法? ?分析分析: 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3 3类方法类方法, ,

2、 第一类方法第一类方法, , 乘火车，有乘火车，有4 4种方法种方法; ; 第二类方法第二类方法, , 乘汽车，有乘汽车，有2 2种方法种方法; ; 第三类方法第三类方法, , 乘轮船乘轮船, , 有有3 3种方法种方法; ; 所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 4 + 2 + 3 = 9 种方法。种方法。 分类计数原理分类计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办类办法，在第法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中有类办法中有m n种不同的方法种不同的方法.

3、那么完成这件事共有那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法种不同的方法.例、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了例、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，解到，A A，B B两所大学各有一些自己感兴趣的强两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：项专业，具体情况如下：A A大学大学B B大学大学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学生物学生物学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？思考用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉九个阿拉伯数字，以伯数字，以A A1

4、 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的座位编号，总的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？共能编出多少个不同的号码？字母字母数字数字得到的号码得到的号码A A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图树形图由于前由于前6 6个英文字母中的任意一个都能个英文字母中的任意一个都能与与9 9个数字中的任何一个组成一个号码，而个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有且它们各个不同，因此共有6 69 95454 个不同的号码个不同的号码汽车有汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同

5、的走法？不同的走法？乙甲丙1火车2火车3火车1汽车2汽车所有走法：所有走法：1火车 汽车12火车 汽车12火车 汽车21火车 汽车23火车 汽车13火车 汽车2如何计算所有不同走法的种数？如何计算所有不同走法的种数？乘火车有乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，种走法，乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地，乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地，共有共有32=6种不同的走法。种不同的走法。从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。次日从丙地乘汽车到乙地。 从一天中，火车有从一天中，火车有3班，班，分步计数原理分步计数

6、原理：完成一件事，需要分成：完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法，做第，做第n步有步有m n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法种不同的方法.分步计数原理和分类计数原理的共同点：分步计数原理和分类计数原理的共同点：分类计数原理又称作分类计数原理又称作加法原理；加法原理；分步计数原理又称作分步计数原理又称作乘法原理。乘法原理。计算做一件事情完成它的所有不同方法种计算做一件事情完成它的所有不同方法种数的问题。数的问题。 分类计数原理分类计数原理 分步计

7、数原理分步计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后结果，最后结果，只须一种方法只须一种方法就可完成这件事就可完成这件事。每一步得到的只是中间结每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，步也不能完成这件事，只只有各个步骤都完成了，才

8、有各个步骤都完成了，才能完成这件事能完成这件事。各类办法是互斥的，各类办法是互斥的，并列的，独立的。并列的，独立的。各步之间是关联的、独立各步之间是关联的、独立的，的，“关联关联”确保不遗确保不遗漏，漏，”独立独立“确保不确保不 重复。重复。即：即：类类互斥，步步独立类类互斥，步步独立。例、书架的第例、书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放层放有有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书，本不同的体育书，（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1，2，3层各取层

9、各取1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的取法？解解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法：）从书架上任取一本书，有三类办法：第第1类办法是：从第类办法是：从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2类办法是：从第类办法是：从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第3类办法是：从第类办法是：从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法；种方法；根据分类计数原理，不同取法的种数是：根据分类计数原理，不同取法的种数是：4329N 答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法。种不同的取法。例例1 书架的第书架的第1层放有

10、层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放层放有有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书，本不同的体育书，（2）从书架的第）从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的取法？解：解：（2）从书架的）从书架的1、2、3层各取层各取1本书，可以分本书，可以分3步来完成：步来完成：第第1步：从第步：从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2步：从第步：从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第3步：从第步：从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法；种方法；根据分步计数原

11、理，从书架的根据分步计数原理，从书架的1、2、3层各取层各取1本书，本书，不同取法的种数是：不同取法的种数是：1243224nNmmm 答：从书架的答：从书架的1、2、3层各取层各取1本书，有本书，有24种不同的种不同的取法。取法。例、要从甲、乙、丙例、要从甲、乙、丙3幅不同的画中幅不同的画中选出选出2幅，分别挂在左、右两边墙上幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的的指定位置，问共有多少种不同的挂法？挂法？例、某县的部分电话号码是例、某县的部分电话号码是057764,后面每个数字来自后面每个数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少问可以产生多少个不同的电话号码个不同的电话

12、号码?变式变式: 若要求最后若要求最后6个数字不重复个数字不重复,则又有多少则又有多少种不同的电话号码种不同的电话号码?057764=15120010 101010 10 10=106分析分析:分析分析:1098765 例、例、 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数可以设置多少种三位数的密码的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？首位数字不为？首位数字不为0的密的密码数是多少？首位数字是码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？的密码数又是多少？ 分析分析: 按密码位数按密码位数,

13、从左到右依次设置第一位、第二位、第三从左到右依次设置第一位、第二位、第三位位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m2 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位种三位数的密码。数的密码。答答:首位数字不为首位数字不为0的密码数是的密码数是 N =91010 = 9102 种种,首位数字是首位数字是0的密码数是的密码数是 N = 11010 = 102 种。种。由此可以看出由此可以看出, 首位数字不为首位数字不为0的密码数与首位数字是的密码数与首位数字是

14、0的的密码数之和等于密码总数。密码数之和等于密码总数。 点评点评: 分类原理中的分类原理中的“分类分类”要全面要全面, 不能不能遗漏遗漏; 但也不能但也不能重复重复、交叉交叉;“类类”与与“类之间是类之间是并列并列的、的、互互斥斥的、的、独立独立的的,也就是说也就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能选择每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法类办法, 即它们两两的交为空集即它们两两的交为空集,n类的并为全集。类的并为全集。 分步原理中的分步原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是之间是连续

15、连续的的,不不间断间断的的,缺一不可缺一不可;但也不能但也不能重复重复、交叉交叉;若完成某件事情需若完成某件事情需n步步, 则必须且只需依次完则必须且只需依次完成这成这n个步骤后个步骤后,这件事情才算完成。这件事情才算完成。 在运用在运用“分类原理、分步原理分类原理、分步原理”处理具体应用题时处理具体应用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分分类类”或或“分步分步”的具体标准。在的具体标准。在“分类分类”或或“分步分步”过程中过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。才能保证不重复、不遗漏。 1 .如图如图,要给地图要给地图A、

16、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？课堂练习：课堂练习：解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N = 3 2 11 =

17、 6 种。种。 1，如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？ 若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种数它们的涂色方案种数分别是分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。种等。思考：思考： 2.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB解解: 从总体

18、上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。 解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有有三类方法三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第

19、二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近最近路线共有路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？条？ 4.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙从乙地到丙地有地到丙地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。条路可通。从甲地到丙

20、地共有多少种不同的走法？从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有由甲到丙有两类不同的走法两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步, 所以所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法; 第二类第二类, 由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步, 所以所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的种不同的走法。走法。 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？本节课

21、学习了那些主要内容？ 答答: 分类原理和分步原理。分类原理和分步原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？不同点什么？ 答答: 共同点是共同点是, 它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少种共有多少种不同的方法。不同的方法。 不同点是不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不它们研究完成一件事情的方式不同同, 分类原理分类原理是是“分类完成分类完成”, 即任何一类办法即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。中的任何一个方法都能完成这件事。分步原理分步原理是是“分步完成分步完成”, 即这些方法需要分步即这些方法需要分步,

22、各个步骤各个步骤顺次相依顺次相依,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情才能完成这件事情。小小 结结例、给程序模块命名，需要用例、给程序模块命名，需要用3个字符，其个字符，其中首个字符要求用字母中首个字符要求用字母AG或或UZ，后两，后两个要求用数字个要求用数字19，问最多可以给多少个，问最多可以给多少个程序命名？程序命名？例、核糖核酸（例、核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分

23、所占据，总置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表表示，在一个示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分分子由子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？UUUAAACCCGGG例、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底例、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态

24、。因此等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有计算机内部就采用了每一位只有0或或1两种数字的计两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字位）最多可以表示多少个不同的字符？符？（2）计算机汉字国标码（）

25、计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？汉字至少要用多少个字节表示？开始开始子模块子模块118条执行路径条执行路径子模块子模块328条执行路径条执行路径子模块子模块245条执行路径条执行路径子模块子模块543条执行路径条执行路径子模块子模块438条执行路径条执行路径结束结束A例、计算机编程人员在编例、计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径到底有多少条执行路径（即程

26、序从开始到结束的（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提路线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次测试方式，以减少测试次数吗？数吗？例、随着人们生活水平的提高，某城市家例、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？办法共能给多少辆汽车上牌照？